És egyszerűen arról, hogy van egy tömegpont, ami álló közegben mozog, és a közeg súrlódik, ütközik vele, aminek következtében fékezni igyekszik a tömegpont mozgását úgy, hogy az a sebességgel egyenesen arányos.
Talán ez a legegyszerűbb ilyen modell. Sokféle más fékező súrlódó mechanizmus van.
És úgy vesszük, hogy itt hővé alakul, azaz disszipálódik az így elveszett kinetikus energia
Meg ez azért sem jó így, mert Fs nem konstans, hanem a sebesség függvénye: Fs(v), tehát van v szerinti deriváltja, amit elfelejtettél.
Amikor én jártam iskolába - még az előző évezredben -, akkor a súrlódási erő mű*Ft alakú volt, ahol az Ft a testeket összenyomó erő. Hacsak nem szárnyakkal leszorított versenyautóról van szó, akkor Ft nem függött a v-től, sem a mű, tehát a súrlódási erő sem.
A lejtőn lecsúszó test esetében a súrlódási erő mű*mg*cos(alfa), konstans, és nem függ a sebességtől. Ezért az általa végzett munka konstans*elmozdulás alakban beírható a Lagrange-ba, és az Euler-Lagrange egyenletet a megfelelő módon felírva ki is hozza azt a mozgásegyenletet, amit még én tanultam az iskolában.
Utána már amikor már van csúszás is akkor a rendszer egy parabolán legördülő henger középpontjából induló spirálissal írható fel.
Álló pólusgörbén legördül a mozgó, tehát a parabolán a spirál. Ez fogja x pont mozgását leírni.
L(x,x',x")
Van súrlódás a csiga és a kötél között is van a henger és a kötél között is, a henger és az eredeti álló pólus görbe az a vízszintes egyenes amin a henger mozognak.
A felső, vízszintes kötél egy pontja L függvénye, ha x általános koordináta az x(t), L(x,x',x") alakú.
Ebbe a pontba mutat r1,r2,r3 vektor egy tetszőleges rögzített pontból a szabadtestekhez. x tehát a vízszintes vetületek vektori összege.
Legyen a rögzített pont az egyensúlyi helyzetben kiszemelt három pont. Egy a rugón, egy a kötél és a henger felső érintési pontja egy pedig az ellensúlyon.
Itt a rugó húzórugó. Akkor x egy másik rugó.
Pont úgy kell mozogjon, mint x(t), ez egy eredő rugó.
Tehát egy harmonikus rezgő mozgással ami lényegében nem is létezik, egy anharmónikus rezgés.
x(fi(t)) összetett függvény deriválása egyszerszer , kétszer (és az anharmónikus rezgés mozgási energiáját kell csak felírni) és be kell írni a gyorsulás összefüggésbe. Kis rugó elmozdulás, kicsi fi.
Súrlódás gördülő legyen. A megússzák határhelyzetéig. A rugó, a henger, ellensúly T-U függvénye persze a kötélen kiszemelt pont
L függvénye a szabadtestek L függvényei függvénye lesz.
Olyan Lagrange-függvény, melynek a mozgásegyenletében megjelenik (sebességben) lineáris disszipációs erő, viszonylag egyszerűen (ugyanakkor kissé mesterségesen) felírható:
L = e^{alpha t} (T-V)
ahol az "alpha" a közegellenállási tényezőnek felel meg.
Általánosabb disszipációs erőket viszont nem, vagy csak kivételes esetekben lehet belefoglalni a Lagrange-függvénybe akkor, ha csak egyetlen test dinamikáját akarjuk modellezni. A környezet (végtelenül sok, a vizsgált rendszerrel külön-külön gyengén kölcsönható testek rendszere) figyelembevételével viszont egyéb disszipációs folyamatok is modellezhetőek.
Viszont csak korlátozott analitikus eredmények léteznek, és a környezeti kölcsönhatás ismeretében sem egyszerű felírni az előálló disszipációs erőt.
A fordított probléma viszont (i.e. meghatározni a környezet kölcsönhatását ha ismerjük a súrlódási erő konkrét sebesség/hely/időfüggését) jelenleg nem megoldott (és feltehetően nem egyértelmű).
#Meg ez azért sem jó így, mert Fs nem konstans, hanem a sebesség függvénye: Fs(v), tehát van v szerinti deriváltja, amit elfelejtettél. Nálad is ugyanúgy kiesik. Ugyanazt írtad fel, mint amin a fennakadás van, csak te -μsv -t egy Fs jelölés mögé rejtetted.
Viszont az E-L egyenletben (mozgásegyenletben) nem Fs -ként, hanem μsv vagy μsx• alakban kellene megjelenjen (ugyanaz). Viszont olyan tagot a Lagrange-függvénybe a sebességekből és koordinátákból valamint μs -ből, ami ezt hozza ki, és csak az egyik oldalra (hogy ne essen ki), nem tudunk gyúrni.
Jó, már látom igazad volt a súrlódásos Lagrange-os dologban. Kiesik az egyenletből. Csak az egyik felén kellene megjelenjen. Ezt végül elbaltáztam. Nem figyeltem oda rendesen. :/ Velem is megesik.
Tessék, írd fel a nem konzervatív súrlódás Lagrange-függvényét!
Tehát akkor azt kéred, hogy írjak bele egy nem konzervatív súrlódást valahogy egy rendszer Lagrange függvényébe.
Szerintem ezt nem lehet általánosan megtenni. Én legalábbis nem tudom.
Pl. a légellenállás, ami függ a sebességtől, ezt nem tudom megtenni.
Ahhoz egy olyan munkavégzést kellene beírni a Lagrange-ba, amit a légellenállás végez.
Ami W=C*Integrál(s_pont*ds). Egy ilyen tagot kellene beletenni. Ami azt jelenti, hogy Integrál((s_pont)2dt) alakú integrál. Ezt a primitív függvényt pedig nem lehet felírni általánosan s és s_pont függvényeként, akármi lehet.
Tehát ezt így nem lehet megcsinálni, elvileg sem.
Lehet, hogy valami más módon, a Földet a légkörével és a mozgó testet egy rendszernek tekintve, mindegyik testre és a közöttük való kölcsönhatásra vonatkozó tagokat egy közös Lagrange függvénybe foglalva megy valami, de olyanokhoz én nem értek.
Tessék, írd fel a nem konzervatív súrlódás Lagrange-függvényét!
Nincsen a súrlódásnak Lagrange függvénye. A súrlódás nem birtokol semmiféle Lagrange függvényt alanyi jogon.
1 vagy több testből álló rendszernek van Lagrange függvénye, ami a test(ek) (esetleg mezők) mozgásegyenleteit határozzák meg, amennyiben felírjuk az Euler-Lagrange függvény(eke)t.
Egy erő általi munkavégzés az elmozdulással arányos, dW=Fds. A munka pedig energia. A Lagrange-ba energiákat írunk bele.
Nézzünk egy lejtőn lecsúszó testet, súrlódással. Írjuk fel a Lagrange függvényt.
1 szabadsági fokú rendszer, a lejtőn való s és s_pont paraméterekkel írjuk fel.
mozgási energia: (1/2)m(s.)2
Súrlódás általi munkavégzés: W=-Fss
függőleges h magasság az s függvényében: -sin(alfa)*s
Lagrange: L=(1/2)m(s.)2-Fss + mgsin(alfa)*s
Euler-Lagrange: mgsin(alfa)-Fs=ms..
És azt hiszem, hogy tényleg ez a lejtőn súrlódva lecsúszó test mozgásegyenlete.
Ebben a példában az Fs konstans volt. Más esetekben függhet mástól is. Pl. a légellenállás (az erő) a sebességtől függ. Az általa végzett dW munka a sebességtől (s_pont) és az elmozdulástól. Akkor azt úgy kell beleírni a Lagrangeba. Szerintem.
Nem lehet 5 év alatt mindent is megtanítani. :o)
7 év. És matekot, kémiát, informatikát és közgazdaságtant tanultam.
És összebarmolja az egész Index fórumot önmaga tehetségével
És tele van lelkes, ám minél-fogalmatlanabb-annál-önteltebb kovetőkkel, akik a tetejébe arról is meg vannak győződve, hogy őrájuk viszont mindenki napi több kötet erejéig kíváncsi.
"Viszont sikerült újat mondanod, amit nem tudtam, ezért hülyeséget is beszéltem. Mondjuk nem is tanultam soha, de nem is jöttem rá magamtól."
Nem lehet 5 év alatt mindent is megtanítani. :o)
"Viszont véleményem szerint ez egy tök egyszerű, valójában csak a definícióba behelyettesítős feladat. Pont olyan, mint amiket az előadás után az első gyakorlati órán kitárgyalnak. A betűfelismerős szint az idegen nyelv tanulásban."
Akkor itt egy probléma, amit még senki nem tudott megoldani.
(Vagy legalább is Kolja jól titkolja a megoldást.)
Tessék, írd fel a nem konzervatív súrlódás Lagrange-függvényét!
(Nekem még nem sikerült.)
----------
Azt hiszem, hogy az A=By mégsem lesz jó.
Nézzük meg relativisztikusan,
∂L/∂x helyett vegyük a
∂L/∂Xμ
formulát. Nem számolom végig.
Itt most elég annyi, hogy nem csak ∂L/∂x lesz benne, hanem ∂L/∂y is.
Ebből már látszik a zsákutca vége,
felesleges padlóig nyomni tovább a gázt. Kitolatunk.
"Ad1.: A gravitációs potenciális energia a kimozdulással lineárisan arányos (g-vel), míg a rugóban tárolt energia pedig a kimozdulással négyzetes (k-val). Hogy a fenébe lehetne egy lineáris tagot egy egyszerű eltolással beolvasztani egy négyzetes tagba?"
#Ezt a dipplomás betanított munkásoknak úgy magyarázzák,
hogy az általános megoldáshoz egy partikuláris megoldást hozzáadunk. Recept, szakács kézikönyv.
Lineáris differenciálegyenletek esetén.
DGY kicsit részletesebben elmagyarázza valamelyik online kurzuson.
Mi a lófaszt harangoznak szabiku fejében, amikor arra gondol, hogy a rugó egyensúlyi helyzetének "előfeszített állapotbeli" megváltoztatásával kitranszformálhatja a gravitációt a feladatból?
Tehát arra gondol, hogy a lógattyú lóg, előfeszíti a rugót, és a rugó ezen állása lesz az új "egyensúlyi pont", ami körül a "harmonikus oszcsillátor" rezeg. Na, hát ebben szerintem egy szó sem igaz, de még a vessző sem.
Én, a nagy szabiku:
😆😆😆
(és végül kiderül, hogy ez jó. xd)
G.Á:
Nem tudom, hogy mire gondol. Talán a rugó véges hosszát szeretné figyelembe venni, ...
Én, a nagy szabiku:
Jellemző rád ez a hamisság, G.Á, közben oda-vissza nyalogatjátok egymást.
G.Á:
Ezt éppen "beolvasztás" néven is olvashatta valahol, bár feltehetően nem tankönyvben.
Én, a nagy szabiku:
Nem olvastam sehol. Egyszerűen kitaláltam, megoldottam a feladatot, és leírtam azt, amit te is. Nem volt nehéz.
SanyiLaci:
Időközben egy kicsit jobban rendbe raktam magamban, hogy mitől működik ez a "beolvasztás" eljárás. Azaz, hogy mitől lehet pl. jelen esetben "beolvasztani" a gravitációt a rugóerőbe egy koordináta-eltolással, vagy ha úgy tetszik "előfeszítéssel".
Én, a nagy szabiku:
Örülök, hogy sikerült megértened, Laci, a gondolatmenetemet. Akkor most már a te fejedben is szólnak azok a harangok... XD
Azért jól esett volna, ha a végén kicsit felmagasztalsz, ha már az elején olyan szépen megemlítettél.
