A 0^0 -át izlésünk szerint definiálhatjuk 0-ának, 1-nek, vagy hagyhatjuk definiálatlannak. Hirtelenjében erre egy idézetet találtam a weben:
"A 0^0 definiálását néha elhagyják [1], én a 0 értéket szoktam tanítani függvénytani megfontolások alapján. A permanencia-elv szerint 1 is lehetne, erre a figyelmet érdemes felhívni."
Hello GPF!
Ez jó kérdés, mármint az én viszonyom a matematikához.
Kösz, jól megvagyunk. Hobbi, őrület, kételkedés. Néhány egyéni bizonyítás a számelmélet jelenségeiből. Kutakodás a geometria algebrai részterületein (innen volt az alapkérdés).
Nekem mániám, hogy ilyen konvergencia nincs, hogy akárhányszor is nulla a függvényérték, gyakorlatilag +- végtelen a helyi derivált.
A feladatodhoz van egy kérdésem: a folytonosságot a bal-jobb folytonossághoz együttesen kötöd? Mert különben a számosságok különbsége alapján triviális megoldások adhatók meg.
Bocs, de tényleg érdekelne, hogy Te milyen viszonyban vagy a matematikával?
Szerintem is az x*sin(1/x)-nek 0 a határértéke 0-ban. A deriváltakkal ne nagyon magyarázd a határártéket, mert ez általában fordítva szokott lenni. Szerintem is az a szép a matekban, hogy egész váratlan dolgok derülnek ki egyszerűnek tűnő fogalmakról. Van amikor ez ellentmondáshoz vezet, ilyenkor a matematikusok újragondolják a fogalmakat. (Ez volt pl. a naív halmazelméletben a Russel féle paradoxonok megjelenésekor.) Ez a határérték, meg folytonosság definíció nem vezetett ellentmondáshoz, ezért ma ez él, és általánosan elfogadott matematikus körökben.
A 0^0 nincs értelmezve. A permanencia elv csak pozitív alapokra használható, ezért a hatványozást is csak pozitív alapra terjesztették ki.
Még egy fv-es feladat:
Adjatok meg olyan fv-t, amely minden irracionális helyen folytonos, és semelyik racionálison nem.
Azt hiszem Hacsek nem hinnéd el, hogy ilyen van, de a "szokásos definíció szerint" mégis van. Szerintem nagyon érdekes a Te álláspontod is.
Ismétlem Lalo, én nem mondom, hogy nincs igazatok a "szokásos definíció" mellett, csak azt hiszem (érzem), hogy egy ilyen különleges viselkedésű függvény (amely az abszolut érték kicsinysége ellenére is végtelen kicsi helyen végtelen sokszor vált előjelet) nem szorítható be a határérték definíciójába.
Azért is hoztam rá magam ellenpélda gyanánt a 0^0-t, mert ott tényleg az dönti el a kérdést, hogy hová mutat a konvergencia.
Egyszerűen szólva az a meglátásom, hogy minél közelebb megyünk a 0-hoz, a sin(1/x) annál divergensebb lesz, mert a helyi deriváltértékek egyre csak nőnek, mintha az y-tengely egyre jobban taszítaná el magától a függvényt.
Ha a végtelenhez tartana a függvény, ezt nem furcsállanánk, de ez nem tart sehová, még a nullához sem.
Én nem akarom megváltoztatni az ismert matematikai fogalmaitokat, csak azt szeretném, ha mögé godolnátok annak, hogy erre a spéci esetre tényleg vonatkoznak-e a konvergencia feltételei!
A határérték szokásos definíciója szerint az x*sin(1/x) határértéke 0. Kész. Egy objektumra egy-egy tulajdonság definíciója MINDIG alkalmazható, s vagy eleget tesz neki, vagy nem. Ha a te intuíciód szerint ennek az objektumnak a viselkedése különleges, adjál erre a különleges viselkedésre egy saját definíciót, s akkor pl. ezentúl úgy fogjuk hívni, hogy a Hacsek-tulajdonságú Ebey-függvény. Idézem Zétát:
'sajnos, a függvényhatárérték fogalmát már előtted mások definiálták, úgyhogy ez egy "védett elnevezés" ' :-(.
Egyébként éppen ez a szép a dolgokban, hogy a látszólag egyszerű tulajdonságok - folytonosság, határérték - milyen bonyolult viselkedésű objektumokat is jellemezhetnek. Lásd pl. Zéta feladatát, idézem:
"Egyébként pedig, mutassatok inkább olyan függvényt, amelyik a valós számok halmazán mindenütt folytonos, de semmilyen intervallumon sem monoton. (Ez, azt hiszem, egy eléggé klasszikus feladat.)"
Kedves Lalo, Zéta, Ebey!
Így van, a határérték szokásos definíciója szerint az x*sin(1/x) határértéke valóban 0-nak LÁTSZIK.
SZERINTEM viszont erre a függyvényre nem alkalmazható a szokásos definíció, mert a sin(1/x) annyira extrém módon viselkedik a 0 mellett. Például az első deriváltja minden határon belül változik a plusz és mínusz végtelen között, mégpedig végtelenszer. Ez az, amin nem változtat az x-el való szorzás, és ezért mondom, hogy erre a függvényre problematikus a határérték szokásos definíciója.
Ismétlem, szerintem itt csak LÁTSZÓLAGOS konvergencia áll fenn, erre mondtam a filozófiát.
A filozófia egyébként pl. a komplex számoknál és az n-dimenziós tereknél is befolyásolja a matematikai fogalmakat.
Erre nézve a permanencia -elv ad (részben) eligazítást. Olyan értéket kell választanunk a definícióhoz - mert ez már definíció! - amely összhangban van a szokásos hatványozási szabályokkal. Ilyen érték kettő is van, a nulla és az egy. Kényelmi okokból az egyet szoktuk választani, mert ezzel egyéb könnyebbségek is járnak. Pl. az x^x függvénynél is ez a választás jó, mert így a nullában megegyezhet a határérték és a függvényérték, azaz (jobbról) folytonos lehet a függvény.
Nem kell lemenni filozófiába - mit szólna ehhez egy filozófus? - mivel a határérték matematikai fogalom. A határérték létezésének nem feltétele a monotonitás, viszont alulról korlátos és szigorúan monoton fogyó függvényeknek (és sorozatoknak) van határértéke. (Hasonlóan a felülről korlátos és szigorúan növő esetben is.)
A határérték definíciója (egyváltozós, valósból valósba képező függvényeknél) a következő:
Egy f(x) függvénynek az u helyen a határértéke U, ha bármely epszilon>0 értékhez található olyan delta>0 érték, amelyekre igaz az, hogy minden x-re, amelyre Ix-uI < delta ekkor If(x)-UI < epszilon is. Szóban megfogalmazva: Az U határérték tetszőlegesen kis környezetét kiválasztva találhatunk olyan u körüli környezetet, hogy az ebbe eső x-ekre az f(x) függvényértékek az U előzőleg kiválasztott környezetébe esnek.
Ez nem filozófiai kérdés, hanem definíció kérdése - sajnos, a függvényhatárérték fogalmát már előtted mások definiálták, úgyhogy ez egy "védett elnevezés" :-). Az elfogadott definíció alapján x*sin(1/x) határértéke a 0 helyen 0.
Egyébként pedig, mutassatok inkább olyan függvényt, amelyik a valós számok halmazán mindenütt folytonos, de semmilyen intervallumon sem monoton. (Ez, azt hiszem, egy eléggé klasszikus feladat.)
Kedves Lalo!
Nem mennék le filozófiába, de azért van ellenvetésem.
Az, hogy egy függvényérték abszolut értéke minden határon túl csökken, még nem jelenti azt, hogy a határértéke 0. Az én felfogásom szerint ennek a függvénynek nincs határértéke, mert tetszőlegesen kicsi intervallumban sincs monotonitása (ez volt egyébként az eredeti kérdés). Az x-el való szorzás ezt a tényt legfeljebb rosszul láthatóvá teszi, de nem szünteti meg.
De elismerem, ez tényleg filozófia.
És ha már itt tartunk, az űjabb kérdés: mennyi nulla a nulladikon?
A mozgó alakzat az egyszerűség kedvéért legyen soxög. A mozgás történjen az y tengely pozitív irányába 1 sebességgel; az irányszögeket viszont az x tengelytől mérem. Kérdés: mekkora a mozgó sokszög kerületén annak az u irányszögű egyenesszakasznak a w hossza, amelyet a v sebességgel mozgó küldönc egységnyi idő alatt tesz meg?
Itt felrajzoltam egy háromszöget, melynek csúcsai: A) a mozgó szakasz kezdőpontja az időtartam elején; B) a mozgó szakasz végpontja az időtartam elején; C) a mozgó szakasz végpontja az időtartam végén. Akkor AB = w, BC = 1 és AC = v, továbbá az ABC szög u + Pi/2.
Felírtam a cosinus-tételt az ABC szögre, innen (remélem, nem szúrtam el):
v^2 = 1 + w^2 - 2*w*cos(u + Pi/2), azaz
v^2 = 1 + w^2 + 2*w*sin(u).
Ebből, mint másodfokú egyenletből kifejeztem w-t, természetesen lazán a nagyobbik gyököt vettem figyelembe, nehogy már itt a diszkusszióval foglalkozzak :-). A kapott kifejezést azért a biztonság kedvéért ellenőriztem Pi/2 többszöröseire: visszakaptam a négyzetes alakzat négy élén kapott kerületi sebességeket.
Ebey-nek igaza van, az x*sin(1/x) függvény határértéke 0-ban 0 (könnyen bizonyítható), s ha egy pontban a függvény határértéke és helyettesítési értéke megegyezik, akkor folytonos.
Az, hogy végtelen sok hullámhegy és hullámvölgy van a 0 tetszőlegesn kicsiny környezetében, az ebből a szempontból nem jelent semmit, legfeljebb azt, hogy ez egy érdekes függvény.
Egyszerű analógja lehet e függvénynek a következő sorozat:
1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, -1/6, ...
váltakozó előjellel az egész számok reciprokai. Ez a sorozat nyilván a zérushoz tart, annak ellenére, hogy a nulla tetszőlegesen kis környezetében is végtelen sokszor előjelet vált.
A divergens pedig azt jelenti, hogy nem konvergens, semmi egyebet.
Ebey!
A sin(1/x), bármivel is szorzod, a 0 környezetében divergens. Egyszerűen nem tart sehová, mert tetszőlegesen kicsi pozitív x-től balra még mindig végetelen sok hullámhegy-völgy van. Szerintem ezt a speciális divergenciát nem intézi el az x-el való szorzás, ami az értékek abszolút értéket csökkenti ugyan, de a divergenciát nem. Szerintem a függvényed nem tart 0-hoz, hanem minden határon innen divergens.
Úgy látom, elegendő a hiba javításához, ha feleakkora integrandussal számolunk. 1/2 sugarú kör esetén W nem a szögsebesség, inkább kerületi sebességnek nevezném.
Ezt bizonyára elszúrtam, mert egység sugarú körrel számoltam egység átmérőjű helyett. Na mindegy, Lalo majd helyesbít, ha addig én nem tudok foglalkozni vele.
A körbejárás ideje, ha a küldönc sebessége v (szerintem):
Integrál du/W(u,v), u = 0..2*Pi,
ahol W(u,v) = négyzetgyök(v^2 - cos^2(u)) - sin(u).
Tehát meg kell találni a v paraméter azon értékét, amelyre a fenti integrál értéke 1. Na most, jelenleg nincs a kezem ügyében olyan program, amely tud numerikusan integrálni, úgyhogy ezen a ponton félbehagyom.
A fenti képletben természetesen az u változó jelöli a küldönc helyzetét a kör kerületén, a W függvény pedig a küldönc változó szögsebességét.
Nem tudom, nem értettél félre? én az {f(x)=x*sin(1/x), f(0)=0} függvényt ajánlottam a Te álalad ajánlott f(x)=sin(1/x) helyett.
Az "én függvényem" 0-ban folytonos, mert értéke megegyezik a határértékével, mindkettő 0. A függvény határértéke azért létezik és 0-val egyenlő, mert |x|
Kedves Bölöm B.!
Ez a feladat nemrég már unalomba fulladt a Logikai játékok topicban.
Viszont adnék én egy másikat:
Le van írva egy lapra soronként n db egymást követő pozitív egész szám prímtényezős felosztása, az azonos tényezők kitevővel vannak jelölve. Azt tapasztaljuk, hogy a 2 prímtényező előforduló legnagyobb kitevője a lapon csak egyszer szerepel. Legalább és legfeljebb mekkora n?
Bár ezt írtad:
"A függvényeshez: igazad van, a sin(1/x) nincs értelmezve 0-ban. ... Tehát: legyen f(0)=0
Az így kapott függvény mindenütt folytonos.
Így jó?"
Sajnos még mindig nem. Ettől csak az értelmezési tartomány lett folytonos, tudniillik lim(f(0)) nem 0, sőt ez egy meglehetősen furcsa divergens függvényhely, nincs hozzárendelhető határérték.
OK, Ebey, ez azt hiszem jó megoldás (az általam ismert három egyikének gondolom), bár nem tudtam tisztán végigkövetni. Ha megtennéd, hogy a szerkesztésedet emilhez csatolva elküldöd, cserébe megadok egy másik megoldást, ahol a háromszög két befogója (sqr7)/2 és 1/2.
Sajnos, igazatok van, tegnap este magamtól is rájöttem.
Vezeklésképpen :-)) addig nem mentem aludni, míg a jó megoldást meg nem találtam:
Tehát: Tetszőleges A pont, köréje 1 sugarú kör, ezen tetszőleges B pont.
Hacsek sugallatára gyök(2) hosszú szakaszt szerkesztek meg. (Akkor A-ból gyök(2) sugárral, B-ből 1 sugárral körívezve a két kör metszéspontja lesz a C, innen és A-ból húzott 1 sugarú körök B-től különböző metszéspontja lesz D és kész is.)
Az 1, gyök(2), gyök(3) hosszú oldalakból álló háromszög derékszögű ld. Pithagorasz tétel), tehát ha egy gyök(3) átmérőjű kör átmérőjének egyik végpontja körül 1 sugarú kört húzok, akkor két kör a metszéspontja(i) az átmérő másik pontjától gyök(2) távolságra lesz(nek).
gyök(3) hosszú szakaszt nem nehéz csinálni, ha az 1 sugarú köríven felveszek egy P pontot, abból rajzolt 1 sugarú körnek és az első körnek az egyik metszéspontja legyen Q, a Q körül rajzolt 1 sugarú kör az első kört a P és az R pontokban metszi egymást. Akkor PR távolsága gyök(3). (Ha még R körül is rajzolunk kört, akkor ez P-ben és S-ben metszi az első kört, és a PS szakasz a kör átmérője, tehát 2 hosszú, később még ez is jó lesz valamire)
Még a gyök(3) hosszú szakasz felezőpontját kell megszerkeszteni, hogy tudjunk a szakasz köré kört rajzolni. A végpontjaiból körívezzünk 2 sugárral (PS távolság), a metszéspontok egyikével egy olyan háromszöget alkot a szakasz, amelynek két oldala 2, egy oldala gyök(3) Mivel 1 hosszú szakaszunk van, ezért a 2 hosszú oldalak felezőpontját megszerkeszthetjük. Ezek a felezőpontok egymástól éppen gyök(3)/2 távolságra vannak. Ezt a távolságot felmérve a gyök(3) hosszú szakaszra annak egyik végpontjából, megkapjuk a szakasz felezőpontját.
És kész.
Kedves Ebey!
Asszem már elavult a felszólításod a bizonyításra, de azért megteszem:
1. Ha egyféle körzőnyílással dolgozol, és csak a már rendelkezésre álló pontokba szúrod, akkor a "méhkaptár"-ból (a körök kerületén elhelyezkedő 6 ívpontból) nem tudsz szabadulni.
2. Tetszőleges nagyságúra növelheted a "kaptár"-at olyan pontokból, amelyek az adott távolságra vannak egymástól, de 3 szomszédos pont alkotta távolság 60 vagy 120 fok lesz.
3. Nincs (nem lehet) az ábrán olyan pont, amelyből 2 másik az adott távolságra van és derékszögben látszik.
Kedves Ebey, sajnos tényleg nem jó a szerkesztésed. Ha pedig valahogyan meg is szerkesztenénk az említett kis háromszög középpontját, akkor azzal téglalapot kapnánk, mert ha AB-t 1-nek vesszük, akkor ennek az oldalnak a hossza 2/gyök(3) , ami nagyobb mint 1.
