Meggondolatlan kijelentésem kapcsán próbáltam utána nézni különféle forrásokban, interneten, hogy vajon a skalár tekinthető-e egydimenziós vektornak és fordítva. De mintha még a kérdés megfogalmazását is kerülgetné mindenki, mint a forró kását.
Néhány hozzám hasonló meggondolatlan fecsegőtől eltekintve nem találtam erre vonatkozó komoly kinyilatkoztatást.
Se pro se contra.
Ígyhát az olvtársakhoz fordulok: kinek mi a véleménye ezzel kapcsolatosan?
Persze a megalapozott véleményeknek jobban örülnék.
Például van a gyümölcsök halmaz, annak része a Nemdéligyümülcsök halmaza, annak része a MagyarországonTermettÉtkezésreNemeladhatóMinőségű gyümölcsök halmaza.
Aztán van egy másik halmaz, a PálinkaFőzésreAlkalmas gyümölcsök halmaza, és annak része a BudapestenGazdaságosanPálinkafőzésreAlkalmas gyümölcsök halmaza.
Namost akkor a két halmaz, a MagyarországonTermettÉtkezésreNemeladhatóMinőségű és a BudapestenGazdaságosanPálinkafőzésreAlkalmas gyümölcsök halmaza azonos akkor is, ha eredetileg más szempontok szerint cimkéztük őket.
Például az elsőt minőség szerint pontoztuk 0,0-től 5,0-ig, és az 2,25 alattiak kerültek a halmazba, másikba meg úgy, hogy alkalmas/nem alkalmas.
Ez azért egy kicsit más, mint a vektortér... ha mondjuk adott egy A alaphalmaz, akkor beszélhetünk az A fölötti véges, végtelen, vagy bármilyen sorozatok halmazáról (jelük lehet pl. A*, A∞, A**), ezeken is értelmezhetünk műveleteket (pl az összekapcsolást), de egyik sem vektortér.
A skalárszorzat, vagy belső szorzat egy további struktúrát jelent a vektortéren felül. Nem minden vektortérben van belső szorzat. Pl. ha az időt (vagy pontosabban az időbeli eltolásokat) tekintjük, mint vektorteret, ott nincs egy természetes belső szorzat. Persze definiálni lehet, de nincs fizikai tartalma.
Mi az, hogy 2 s szorozva 5 s-mal? 10 s^2-en? És az mi?
"Azoknak az azonossága meg nem függ attól, hogy milyen kontextusban jelennek meg, például hogy milyen más, akár különböző halmazoknak a részhalmazai egyébként."
Már hogyne függne! Halmazok azonossága csupán annyit jelent, hogy az elemeik azonosak. A valós számok halmaza, és pl. az (x,y) ; y=2x feltételt kielégítő számpárokból álló halmaz nem azonos, hisz az elemeik se azonosak.
Igen, de én itt nem a struktúrák vagy a kategóriák azonosságának a kérdésére kérdeztem rá, hanem csak a halmazokéra.
Azoknak az azonossága meg nem függ attól, hogy milyen kontextusban jelennek meg, például hogy milyen más, akár különböző halmazoknak a részhalmazai egyébként.
"Annak, hogy két halmaz azonos legyen, annak az a feltétele, hogy az elemeik azonosak legyenek"
Annak igen, de itt nem csak halmazokról, hanem struktúrákról van szó. Annak, hogy két struktúra azonos legyen, szükséges feltétele, hogy azonos típusú struktúrák legyenek. Sőt, már annak is, hogy izomorfak legyenek. A test és a vektortér két különböző struktúra, vagy a kategória-elmélet szavaival élve: két különböző kategória.
Annak, hogy két halmaz azonos legyen, annak az a feltétele, hogy az elemeik azonosak legyenek, vagy az is, hogy az elemeiken végzett műveletek is azonosak legyenek?
Én itt azt látom itt kiírva, hogy "Fórum" és nem azt, hogy "Csendes foglalkozás magántanulóknak".
Engem nem zavar, ha elnyerem az év leghülyébb topicja díjat vagy akár a leghülyébb olvtárs címet.
Az axiómák, definíciók és tételek megcsócsálását persze nem tartom haszontalannak, azonban léteznek ezeknek nemtriviális következménei is.
Én a magam részéről csodálkoztam, hogy ezt a kérdést nem veti fel senki.
Ennek persze lehetne az az oka, hogy mert annyira triviálisan nem igaz, hogy emiatt eszébe sem jut senkinek felvetni.
De más példákat is figyelembe véve én inkább azt gondolom, hogy akkor ezek szerint világszerte az oktatás nem támogatja az egészséges személyiségfejlődést.
Sem a legorombítókét, sem azokét, akik félnek a legorombítástól.
A matematikusok ezt precízen úgy szokták megfogalmazni, hogy a test egy (A, +, *) hármas, ahol az A a "skalárok" halmaza a + és * a rajtuk értelmezett műveletek (vagy másképpen a K X K Descartes-szorzat megfelelő részhalmazai), amik kielégítik a testaxiómákat, mint pl. a+b=b+a, és hasonlókat.
A vektortér pedig egy (K, V, +, .) négyes, ahol K (a skalárok) egy test a rajta értelmezett műveletekkel(tehát nem egy halmaz, hanem 3), V a vektorok halmaza, + a vektorok összeadása, . pedig a skalárok szorzása a vektorokkal, amik kielégítik a vektortér axiómáit.
Tehát ha a valós számokat, mint testként nézem, akkor az (R,+,*). Ha pedig, mint vektortért nézem saját maga felett, akkor (R, R, +, .). Már abból is látszik, hogy a kettő nem ugyanaz, hogy az egyik 3-tagú, a másik pedig 4, de ráadásul a vektortérnél a két R nem is ugyanazt jelöli: az első a valós számokat a testműveletekkel együtt, a második pedig csak a valós számok halmazát magában. Hiába ugyanaz az eredménye a két +-nak, ill. a *-nak meg a .-nak ebben a speciális esetben, ez két különböző struktúra.
"Ennek részhalmaza a szám egyesek, az egydimenziós vektorok halmaza"
Ez így nem igaz. A számegyesek vektorteret alkotnak saját maguk felett, de nem minden egydimenziós vektortér áll számegyesekből. Állhat mondjuk számkettesekből is, pl. a sík egy tetszőleges origón átmenő egyenesének pontjai, amik (x, y) koordinátákkal jellemezhetők is egydimenziós vektorteret alkotnak a megfelelelő műveletekkel.
A válasz: nem. A forgatónyomaték valójában vektorok külső szorzata. Egy n-dimenziós vektortér k darab vektorának az egymással való külső szorzata egy (n alatt a k)-dimenziós vektortér eleme. Az n=3, k=2 esetben (n alatt a k) éppen 3, ezért van az, hogy két vektor külső szorzata a 3-dimenziós esetben éppen egy ugyancsak 3-dimenziós tér eleme, amit nagy előszeretettel azonosítunk az eredeti 3-dimenziós térrel. A 2-dimenziós lények forgatónyomatéka viszont egy 1-dimenziós vektortér eleme.
A kérdésed nagyon is ontopik, mert pont a szorzat műveletének a hiánya az, ami az 1-dimenziós vektorteret megkülönbözteti a skalároktól.
Nem skalárszorzat az ami nincs, hanem vektorok egymással való szorzása. Azért nincs, mert nem fér össze a vektortér-műveletekkel olyan értelemben, hogy egy olyan leképezés, ami megtartja a vektortér-műveleteket az nem tudja megrartani a szorzatot. Hiába van R-en, mint testben szorzás, az nem kompatibilis a lineáris transzformációkkal, mert például 2-szerr 3 = 6, de (5-ször 2)-szer (5-ször 3) nen egyenlő (5-ször 6)-tal.
Ha matematikai kifejezéseket (szavakat) akarunk használni, akkor megkerülhetetlen először megismerkedni azokkal a fogalmakkal, amiket a kifejezések (szavak) takarnak. Azaz: meg kell ismerkedni a nevén nevezett struktúrák axiómáival.
Tessék leírni az axiómákat egymás után egy papírra, mindegyiket tessék megcsócsálni-értelmezni , és akkor magadnak is megválaszolod azt a triviális kérdést, hogy a test és a vektortér miért nem ugyanaz.
egydimenziós vektorokra csak olyan műveletek vannak mint a skalárokra
De nincs minden művelet meg közöttük, ami a skalárok között megvan. Az egydimenziós vektorokat nem lehet összeszorozni egymással, a skalárokat meg igen (mintha ezt már mondtam volna párszor).
A kérdés, hogy az egydimenziós vektor az skalár-e? És megfordítva.
A szorzás műveletének a hiánya miatt az 1-dimenziós vektorok nem alkotnak testet, vagyis nem skalárok. A skalárok viszont (ahogy azt NevemTeve is említette) saját maguk fölötti vektorteret alkotnak, hiszen ehhez minden műveletük megvan.
Mi is a dimenzió? A dimenzió egy másodlagos dolog, amiről akkor lehet beszélni, ha már értelmeztük a lineáris függetlenséget (és összefüggőséget), bevezettük a bázis fogalmát (véges vs végtelen), bizonyítottuk, hogy ha van véges bázis, akkor minden bázis elemszáma egyforma... na ez után beszélhetünk arról, hogy a dimenzió a bázis elemszáma. (De még ekkor sem lesz a vektortér a vektorok és skalárok úniója.)
Nem tudom jó-e, ha előre elsütöm az én ködös elképzelésemet, de hátha nem korlátozom be ezzel mások gondolkodását.
A vektortér a vektorok és skalárok halmazának az uniója.
A vektorokra vonatkoznak műveletek ...
A skalárokra is vonatkoznak műveletek ...
A vektor szorzása skalárral a közös vektor-skalár művelet.
A kérdés, hogy a skalár lehet-e egynél több dimnziós vektor nyilván fel sem merül.(Határozottan nem.)
A kérdés, hogy az egydimenziós vektor az skalár-e? És megfordítva.
Ha egydimenziós vektorokra csak olyan műveletek vannak mint a skalárokra, és az eredmény is rendre ugyanaz mindig, akkor ha van egy skárom s=-3,25 és egy vektorom v=<-3,25>, akkor az az összeuniózott halmaznak egy-egy eleme.
Lenne.
Azonban mivel minden tulajdonságuk azonos a jelölést kivéve, ezért ez ugyanaz az elem.
És ez igaz az összes ilyen vektor-skalár párra, hogy nem különálló hanem ugynaz az elem.
Meggondolatlan kijelentésem kapcsán próbáltam utána nézni különféle forrásokban, interneten, hogy vajon a skalár tekinthető-e egydimenziós vektornak és fordítva. De mintha még a kérdés megfogalmazását is kerülgetné mindenki, mint a forró kását.
Néhány hozzám hasonló meggondolatlan fecsegőtől eltekintve nem találtam erre vonatkozó komoly kinyilatkoztatást.
Se pro se contra.
Ígyhát az olvtársakhoz fordulok: kinek mi a véleménye ezzel kapcsolatosan?
Persze a megalapozott véleményeknek jobban örülnék.
