Fel kell írni az energiára vonatkozó mérlegegyenletet:
dw/dt+div(S)=-Ej
ahol w a mező elektromágneses energiasűrűsége,S a mező felületi energiaárama
(ez a Poynting vektor),
-Ej,a Joul-hő,ami az elektromos térerősség és az áramsűrűség szorzatának a minusz egyszerese.Az idő szerinti differenciáloperátorok mindenütt parciálisak lesznek.epszilon a dielektromos állandó,mü pedig a mágneses állandó,c a fénysebesség.
j=epszilon c2 rotB-epszilon dE/dt
Ej=rotB/mü-epszilon dE/dt
Ej=E(rotB)/mü-epszilon EdE/dt
(rotB)E=E(rotB)-B(rotE)
Ej=div(BxE)/mü+BrotE/mü-d/dt(epszilon E2/2)
BrotE=B(-dB/dt)=-d/dt (B2/2)
Ej=div(BxE/mü)-d/dt(B2/(2mü)+epszilon E2/2)
szorozzuk be minusz eggyel,de a divergenciás tag elől a minusz előjelet vigyük a divergencia belsejébe,és tüntessük el a -BxE=ExB összefüggés segítségével.
-Ej=div(ExB/mü)+d/dt(B2/(2mü)+epszilon E2/2)
-Ej=div(S)+dw/dt
S=ExB/mü,w=B2/(2mü)+epszilon E2/2
térfogatintegrál{ div(S)}dV=felületintegrál{ S }dA
És ez az azonosság adja az energiáram vektor(Poynting vektor) szemléletes jelentését,és általában ezzel a képlettel számolnak.Azért írják át a differenciálegyenleteket integrálegyenletekké,mert az egyszerű geometriájú,könnyű feladatokat integrálszámítással kiszámítható,míg a differenciálegyenletrendszert sokkal nehezebb a határfeltételekkel megoldani.
- térfogatintegrál{jE}=d/dt térfogatintegrál{w}dV+felületintegrál{S}dA
térfogatintegrál{jE}=IEdl,ahol I az áramerősség,dl a vezető hossza.
|