Keresés

Részletes keresés

Gergo73 Creative Commons License 2008-05-11 22:03:46 563
Jó a számérzéked!
A hozzászólás:
komeny Creative Commons License 2008-05-11 21:51:47 561
Nagyon érdekes, kíváncsi voltam, hogy hogyan fog bejönni a képbe az 1/9^n, ugyanis én azt figyeltem meg, hogy az egyes átlós sorok nagyon hasonlítanak a kilenchatványok reciprokaira.

pl:
1/9 = 0.111111111111111111111111111111111
1/81 = 0.012345679012345679012345679012346
1/729 = 0.001371742112482853223593964334705

stb.

Köszi a gyors választ!

üdv.
Előzmény:
Gergo73 Creative Commons License 2008-05-11 21:18:06 560

Ha a (k+1). átlót tekinted, akkor az általad tekintett összeg

Sk := sumn>=k binom(n,k) 10-(n-k+1).

 

Pl. a harmadik átló esetében k=2 és az összeg

 

S2 = binom(2,2) 10-1 + binom(3,2) 10-2 + binom(4,2) 10-3 + binom(5,2) 10-4 +...

=  0.1 + 0.03 + 0.006 + 0.0010 + ... = 0.137...

 

Na most ismert és könnyen bizonyítható, hogy minden nemnegatív egész k-ra és minden -1<x<1 számra

 

sumn>=k binom(n,k) xn-k = (1-x)-k-1,

 

amit x=1/10-re alkalmazva kapjuk, hogy

 

Sk = (1/10)*(10/9)k+1.

 

Pl. a fenti S2=0.137... nem más, mint (1/10)*(10/9)3=100/729=0.13717421124...

 

Tehát a kérdésed erre redukálódik: melyik az a legkisebb k, amire

 

(1/10)*(10/9)k+1 > 1, azaz (10/9)k+1 > 10. Ennek megoldása

 

k+1 > ln(10)/ln(10/9) = 21.85..., tehát k=21 a legkisebb megoldás.

 

Összefoglalva: a 22. átlóban kapsz először 1-nél nagyobb összeget, erre az átlóra az összeg

 

S21 = (1/10)*(10/9)22 = 1.01546460987...

 

 

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!