|
|
 |
Gergo73
2008-05-11 21:52:25
|
562
|
Most látom, hogy ezt a megoldást sokkal egyszerűbben is el lehet mondani, ha közvetlenül a Pascal-háromszög tulajdonságaira hagyatkozunk. A Pascal-háromszögben bármely elem a fölötte közvetlenül levő két elem összege. Ez azt jelenti, hogy bármelyik átlóhoz tartozó (1/10)-hatványokkal súlyozott összeg felírható mint önmagának az 1/10-e plusz a felette levő átlóhoz tartozó súlyozott összeg. Más szóval bármelyik átlóhoz tartozó összeg 9/10-e megegyezik a felette levő átlóbeli összeggel. Tehát a (k+1). átlóhoz tartozó összeg (9/10)k-szorosa megegyezik az első átlóbeli összeggel, ami persze 0.111...=1/9. Tehát a (k+1). átlóhoz tartozó összeg nem más, mint Sk = (1/9)*(10/9)k = (1/10)*(10/9)k+1. Ezt kaptuk az előbb is.
|
|
 |
komeny
2008-05-11 21:51:47
|
561
|
Nagyon érdekes, kíváncsi voltam, hogy hogyan fog bejönni a képbe az 1/9^n, ugyanis én azt figyeltem meg, hogy az egyes átlós sorok nagyon hasonlítanak a kilenchatványok reciprokaira.
pl: 1/9 = 0.111111111111111111111111111111111 1/81 = 0.012345679012345679012345679012346 1/729 = 0.001371742112482853223593964334705
stb.
Köszi a gyors választ!
üdv. |
|
A hozzászólás:
 |
Gergo73
2008-05-11 21:18:06
|
560
|
Ha a (k+1). átlót tekinted, akkor az általad tekintett összeg
Sk := sumn>=k binom(n,k) 10-(n-k+1).
Pl. a harmadik átló esetében k=2 és az összeg
S2 = binom(2,2) 10-1 + binom(3,2) 10-2 + binom(4,2) 10-3 + binom(5,2) 10-4 +...
= 0.1 + 0.03 + 0.006 + 0.0010 + ... = 0.137...
Na most ismert és könnyen bizonyítható, hogy minden nemnegatív egész k-ra és minden -1<x<1 számra
sumn>=k binom(n,k) xn-k = (1-x)-k-1,
amit x=1/10-re alkalmazva kapjuk, hogy
Sk = (1/10)*(10/9)k+1.
Pl. a fenti S2=0.137... nem más, mint (1/10)*(10/9)3=100/729=0.13717421124...
Tehát a kérdésed erre redukálódik: melyik az a legkisebb k, amire
(1/10)*(10/9)k+1 > 1, azaz (10/9)k+1 > 10. Ennek megoldása
k+1 > ln(10)/ln(10/9) = 21.85..., tehát k=21 a legkisebb megoldás.
Összefoglalva: a 22. átlóban kapsz először 1-nél nagyobb összeget, erre az átlóra az összeg
S21 = (1/10)*(10/9)22 = 1.01546460987...
|
|
Előzmény:
 |
komeny
2008-05-11 18:18:40
|
559
|
Sziasztok,
lehet amatőr leszek, de lenne egy feladatom: Írjuk fel a Pascal háromszöget (persze csak képzeletben) végig. Ezután vegyük az átlós sorokat, (pl: 11111..., 123456..., stb.) és csináljunk belőlük egy valós számot úgy, hogy elédobunk egy 0-át, tehát így : 0,11111, stb. Viszont ezt úgy kellene megtenni, hogy a "maradékokkal" is törődünk, vagyis pl. a 3. átlós sor esetén1,3,6,10-ből 0,1370 lesz, és így tovább. Ha valaki érti, akkor neki egy kérdés: Ha előállítjuk a számokat így az egyes átlós sorokból, akkor hanyadik sorhoz tartozó szám értéke lesz legalább 1? (Vagyis melyik fog így kezdődni: 1,...) Másik kérdés: Hogyan lehet ezt a feladatot szépen megfogalmazni a matematika nyelvén?
Köszi |
|
|
Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!
|