Ha a (k+1). átlót tekinted, akkor az általad tekintett összeg
Sk := sumn>=k binom(n,k) 10-(n-k+1).
Pl. a harmadik átló esetében k=2 és az összeg
S2 = binom(2,2) 10-1 + binom(3,2) 10-2 + binom(4,2) 10-3 + binom(5,2) 10-4 +...
= 0.1 + 0.03 + 0.006 + 0.0010 + ... = 0.137...
Na most ismert és könnyen bizonyítható, hogy minden nemnegatív egész k-ra és minden -1<x<1 számra
sumn>=k binom(n,k) xn-k = (1-x)-k-1,
amit x=1/10-re alkalmazva kapjuk, hogy
Sk = (1/10)*(10/9)k+1.
Pl. a fenti S2=0.137... nem más, mint (1/10)*(10/9)3=100/729=0.13717421124...
Tehát a kérdésed erre redukálódik: melyik az a legkisebb k, amire
(1/10)*(10/9)k+1 > 1, azaz (10/9)k+1 > 10. Ennek megoldása
k+1 > ln(10)/ln(10/9) = 21.85..., tehát k=21 a legkisebb megoldás.
Összefoglalva: a 22. átlóban kapsz először 1-nél nagyobb összeget, erre az átlóra az összeg
S21 = (1/10)*(10/9)22 = 1.01546460987...
|