írt egy hatalmas algebra geometria könyvet amelyben van néhány keresetlen megjegyzés kollégákról, amennyire tudom pl. Deligne-ről.
IMHO, azon kevesek közé tartozott, akik számára csak egy matematika van, legyen az funkcionálanalízis vagy algebra, geometria vagy topológia.
pl. ő találta ki a K-elméletet, amit néha Grothendieck csoportnak hívnak. adott egy R gyűrű
és tekintsük az összes végesen generált projektiv modulust R felett. (ezek a végesen generált szabadok direkt összeadandói). két ilyen modulust A+B, akkor nevezünk ekvivalensnek, ha létezik C, hogy C+A tényleg izomorf C+B-vel. az ekvivalenciaosztályokon a direkt összegzés egy kommutativ monoidot ad, ami beágyazható egy csoportba, ez az adott gyűrű K-csoportja.
ez ugye egy tisztán algebrai ügy, de ha a gyűrű egy metrikus tér folytonos függvényeinek a gyűrűje
akkor ezek a projektív modulusok pontosan a vektornyaláboknak, az ekvivalencia pedig pontosan a stabil ekvivalenciának felel meg.
egyébként G-csoportnak nevezik (G mint Grothendieck) azt amikor nem projektiveket, hanem általában végesen generáltakat veszünk, és
úgy csinálunk csoportot, hogy
az összes lehetséges végesen generált modulus adja a generátorokat, és minden egzakt sorozat
0->M->P->N->0
egy relációt ad. az baromi érdekes kérdés, hogy micsoda G(R) és általában semmit a világon nem lehet tudni róla. igazából azt sem lehet tudni, hogy R mint elem mit reprezentál. az én kedvenc sejtésem a következő: ha R egy csoportalgebra egy test felett, akkor G(R)-ben az R akkor generál egy végtelen ciklikus csoportot, ha a csoport amenábilis. Ami megvan, az, hogy ha amenábilis, akkor ez a helyzet, és ha a csoport tartalmaz nemkommutativ szabad részcsoportot, akkor dittó. Ez a Banach-Tarski paradox tisztán algebrai verziója lenne.
Szóval Grothendieck valahogy a nemkommutativ geometria atyja, és ezen keresztül motiválta Connes-t és Kontchevichet. Az igazság az, hogy Grothendieck nem a Connes féle irányt, hanem az aránylag kevesek által ismert nemkommutativ algebrai geometria irányt alapozta meg, de itten a dolgok tényleg összefüggenek (csak azt nem tudják pontosan, hogyan). |