Keresés

Részletes keresés

Categlory Creative Commons License 2005-04-10 13:07:00 12

A kategoriaelmelet megalkotasahoz az egyik fo motivacio az a felismeres volt, hogy

bar sok matematikai konstrukcio termeszetes, egyes konstrukciok termeszetsebbek

a tobbinel.  Az egyik elso cel az volt, hogy ennek a kulonbsegtetelnek matematikailag is szabatos jelentest talaljanak.

Leirok erre egy teljesen elemi peldat.

 Legyen n  pozitiv egesz. Ha megnezzuk az (1-1)^n=0 azonossagot, akkor a binomialis tetel segitsegevel belathatjuk a kovetkezot:

 Egy n elemu halmaznak pontosan ugyanannyi paros elemu reszhalmaza van, mint paratlan elemu (pl az n=2 esetben a fenti azonossag : 1-2+1=0 ahol az egyik

1 a ketelemu reszhalmazok szama, a masik az ures halmazok szama, a 2 pedig a

ket 1-elemu reszhalmaz szama). 

 Ebbol persze kovetkezik, hogy a paros es a paratlan elemszamu reszhalamazokat

parba lehet ugy allitani, hogy minden paratlan elemu reszhalmaznak pontosan egy

paros elemu parja legyen es viszont.

 Ha n=2 es a ketelemu alaphalmazunk {A,B}, akkor a kovetkezo egy lehetoseg

( legyen {} az ures halmaz):

 {} parja legyen {A}, mig {A,B} parja legyen {B}.

 Ez sikerult, de van a dolognak egy "szepseghibaja" : a fenti konstrukcio

 "egy bizonyos ertelemben" NEM TERMESZETES.  Mi lenne termeszetes? Legyen n=3,

az alaphalmazunk pedig legyen {A,B,C}.  Nezzuk a kovetkezo parbaallitast:

  {} <---> {A, B, C}, {A} <--->{B,C} ... es igy tovabb: minden halmaznak feleltessuk

 meg a komplementeret. Mivel az n paratlan volt, igy paros elemu halmaznak paratlanok felelnek meg a kivant modon. Ez utobbi  minden paratlan n-re mukodik, es kedves a szemnek.

    Felmerulhet a kerdes: van e valamilyen termeszetes konstrukcio akkor, ha az n paros? Ahhoz, hogy azt allithassuk, ilyen nincs, mindenekelott egy definiciora

lenne szuksegunk. A kategoriaelmelet pedig ad egyet, amint megmondjuk mi a ket

funktor es mi a ket kategoria.   

Gergo73 Creative Commons License 2005-04-10 05:06:46 11
Javaslom ezt az összefoglalót. Mint az absztrakt elméleteket általában, a kategóriaelméletet is érdemes konkrét példákat fejben tartva megérteni. Például a topológikus terek és a köztük értelmezhető folytonos leképezések kategóriát alkotnak, a csoportok és a köztük értelmezhető homomorfizmusok úgyszintén. A két kategória közötti funktorra fontos példa a fundamentális csoport: ez minden topológikus térre értelmezve van, továbbá a terek közti folytonos leképezések homomorfizmusokat indukálnak a megfelelő fundamentális csoportok között. Két folytonos leképezés egybefűzése (kompoziciója) a megfelelő homomorfizmusok egybefűzését eredményezi, és igy tovább.

A kategóriaelmélet egységes nyelvezetbe szedi az ilyen kapcsolatokat és általános tételeket bizonyit róluk. Az általános tárgyalásmódnak fontos jellemzője a hatékonyság, de talán még fontosabb, hogy megfelelő kérdéseket feltéve képes rejtett objektumokat felszinre hozni. Az emberiség például már évezredek óta gyönyörködik a szimmetriákban (elég csak az épitészetre és az épületek diszitőelemeire gondolnunk bárhol és bármikor a világon), de sokkal több szimmetria fedezhető fel, ha egyszerűen feltesszük a kérdést: milyen lehet egy objektum összes szimmetriáinak a csoportja. Igy született meg - mintegy 180 éve - a csoportelmélet és hasonlóképpen született meg - mintegy 60 éve - a kategóriaelmélet.
KoporShow Creative Commons License 2003-05-28 14:12:31 0
Szerintem nem akarod tudni. :)

Meg egy matematikusnak sincs sok szuksege ra, nemhogy egy nem matematikusnak.

Egyebkent az absztrakt algebrai strukturak tovabbi absztrakciojarol van szo.

A hozzászólás:
nadamhu Creative Commons License 2003-05-28 13:43:57 -
Miaza' Category Theory?

El tudna valaki magyarazni egy nem matematikusnak, hogy mi is ez?

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!