|
|
 |
Gergo73
2002-11-16 03:03:12
|
57
|
Kedves karma police,
sikerult megoldanom a feladatodat, legalabbis ha a benne szereplo ferdetestek karakterisztikaja nem 2 (a feltetel szerint ha ez teljesul az egyik ferdetestre, akkor a masikra is). Legyen tehat f egy additiv lekepezes ket ilyen ferdetest kozott, es tegyuk fel, hogy f(1)=1 es f(x-1)=f(x)-1 minden nemnulla x-re. Igazoljuk, hogy [f(xy)-f(x)f(y)][f(xy)-f(y)f(x)]=0 teljesul minden x,y-ra.
Az 54-es uzenetem alapjan elegendo belatni, hogy f Jordan-homomorfizmus, azaz felcserelheto a negyzetreemelessel. Ha a 0-t vagy az 1 negyzeterol van szo, akkor nyilvanvalo az allitas. Jegyezzuk meg, hogy x pontosan akkor nem 0 vagy 1, ha ugyanez teljesul f(x)-re. A 0 es az 1 pontokon kivul tehat elegendo mindket ferdetestben a negyzetreemelest mint muveletet kifejeznunk az osszeadas, a kivonas, az inverz es az 1 konstans segitsegevel, hiszen ezekkel a muveletekkel az f felcserelheto. Egy megfelelo eloallitas a negyzetreemelesre (a 0 es az 1 pontokon kivul) a kovetkezo: x+[(x-1)-1-x-1]-1. Konnyen ellenorizheto, hogy ennek erteke valoban x2. |
|
 |
Gergo73
2002-11-05 20:52:48
|
25
|
Szia, ez nem egy konnyu feladat. Az alabbiakban vazolok egy bizonyitast. Minden allitas konnyen igazolhato szamolassal.
(1) Ha e idempotens, azaz e2=e, akkor (ex-exe)2=(xe-exe)2=0 minden x-re.
(2) Feltesszuk, hogy x4=x minden x-re.
(3) Ha x2=0, akkor x=0 (2) miatt.
(4) y3 idempotens minden y-ra (2) miatt.
(5) x=-x, azaz 2x=0 minden x-re (2) miatt.
(6) (y3x-y3xy3)2=(xy3-y3xy3)2=0 minden x,y-ra (1) es (4) miatt.
(7) y3x-y3xy3=xy3-y3xy3=0 minden x,y-ra (3) es (6) miatt.
(8) y3x=xy3 minden x,y-ra (7) miatt.
(9) (z+z3)3=z+z2 minden z-re (2) es (5) tobbszori alkalmazasaval.
(10) (z+z2)x=x(z+z2) minden x,z-re (8) es (9) miatt.
(11) (10)-et irjuk fel z=a,b-re es a kapott egyenletek osszeget vonjuk ki a z=a+b-re kapott egyenletbol. Igy kapjuk, hogy (ab+ba)x=x(ab+ba) minden a,b,x-re.
(12) (ab+ba)a=a(ab+ba) minden a,b-re (11) miatt.
(13) ba2=a2b minden a,b-re (12) miatt.
(14) ab+a2b=ba+ba2 minden a,b-re (10) miatt.
(15) ab=ba minden a,b-re (13) es (14) miatt.
Egyebkent Jacobson egy tetele szerint ha minden x-hez talalhato n>1 egesz ugy, hogy xn=x, akkor a gyuru kommutativ. |
|
A hozzászólás:
 |
karma police
2002-11-05 12:13:02
|
17
|
Hát ez biztosan nagyon könnyű, mindenesetre nekem nem akar kijönni.
Tegyük fel, hogy egy gyűrű minden elemére teljesül az x^4=x azonosság. Ekkor a gyűrű kommutatív.
Számolom, számolom és csak nem jön ki.
Van még egy:
Adott két nem feltétlen kommutatív test, köztük egy f leképezés, amely felcserélhető az összeadással és az invertálással, valamint f(1)=1. Ekkor állítólag tetszőleges x,y elemekre igaz, hogy [f(xy)-f(x)f(y)][f(xy)-f(y)f(x)]=0.
Megjegyzés, ez utóbbi állításból már következik, hogy f vagy homomorfizmus, vagy antihomomorfizmus. |
|
|
Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!
|