Ez a topik a Logikai feladványok offtopik szálából jött létre, melyben Dulifuli kifejtheti, hogy miért nem *lehet* az, hogy az idő és a tömeg relatív, a többiek meg megpróbálhatják megértetni vele, ill. kérdésekkel tesztelni a Dulifuli-jelenséget.
Affinitással: a külső ellipszisedet körbe affinitom, ez nem változtatja meg a feladat állítását. A belső ellipszisedet elhagyom, nincs rá szükség. Felveszek egy tetszőleges A pontot a kör belsejében, ebbő érntőt húzok oly módon, hogy merőlegest állítok a kör nagytengelyére, az kimetszi a T pontot, és a kör T beli érintőjének és nagytengelyének metszése legyen C. C-ből állított összes egyenesre (így az A-n átmenőre is) igaz, hogy a kör E és F beli érintője C polárisán metszik egymást.
Huhh, egyezzünk meg, hogy leghamarabb jövő nyáron nekik fekszem, sok tárgyam van ebben a félévben, a következőben sem akarom kímélni magam, de az oldalt elmentettem.
Kösz a linket, bár csak ezt tudtam megnyitni, ez is érdekesnek tűnik: http://philosophy.elte.hu/~redei/papers/velemenyosszegzes.pdf
A link, amit adtam, teljesen jó. Próbáld meg még egyszer, alul vannak a cikkek.
Rédeinek van egy könyve: Introduction to Quantum Logic. Eötvös kiadó, 1995. Pittsburgh-ben írta, könyvtárban megvan. Petz-nek pedig egy Lineáris analízis c. könyve, utolsó fejezet kvantumlogika, és valószínűségi mérték a hálón.
Pl. a Gleason-tétel, projekció-operátor, sűrűségi mátrix.
Még egyszer mondom, hogy a kvantumvalószínűség (pl. a Trace-es bevezetés) problematikus. Ez csak egy működő formalizmus, semmi több.
De ha minden igaz, már vannak olyan kutatási eredmények, melyek szerint vannak bizonyos tulajdonságok, amelyek egy bizonyos halmaz komplementerében és részhalmazában is "megjelennek". (persze valamilyen valószínűséggel lehetne ezt értelmezni)
A kvantumlogikán, és a Hilbert-alterek ortomoduláris hálóján bevezetett valószínűség (ami különben igen problematikus, sokat vitatott konstrukció) mellett a fuzzy logika foglalkozik ilyen kérdésekkel. Utóbbi legalább rendesen meg van csinálva.
Andai Attila, Petz Dénesék mellett Rédei Miklós foglalkozott a kvantumvalószínűséggel és, annak paradox voltával. Ezt a mértéket például nem foghatjuk fel relatív gyakoriságként, nincs szemléletes értelmezése. Rédei most a London School of Economics-on van, ajánlom a publikációit, ha ez érdekel (a kvantumlogika és valószínűség von Neumann-Birkhoff-féle értelmezése, és továbbfejlesztései).
és érdekes kérdés, hogy nem rekurzív valósok limesze vajon lehet-e rekurzív valós?
Ha már itt merült fel: lehet. Nyilván nem adhatunk effektív szabályt, amely valósokat konstruál (tizedes jegyekkel), és azokból a limeszhez jutunk, igazolással. De formulával a végtelen konvergens sorozatot (a halmazt) definiálhatjuk, és igazolhatjuk, hogy a limesz mondjuk pi (amely bár transzcendens, de rekurzív).
Mivel Q minden eleme rekurzív, a rekurzívak sűrűn vannak R-ben a nem-rekurzívak között, tehát lesz ilyen sorozat (pi minden környezetében van nem-rekurzív valós).
Roger Penrose vetette fel a rekurzív valós számok gondolatát először (amelyek tizedes jegyeit ki tudjuk számítani).
Lehetnek olyan valósok is, amelyeket formulával definiálni tudunk, de kiszámítani nem.
"a matematika nagyon jól megvan fizika nélkül. mondhatnánk azt is, hogy filozófiai szempontból a tiszta matematika jóval kisebb probléma, mint a természettudományok.
legyen erre példa a valószínűségszámítás, amit elvileg sehogyan sem sikerül kapcsolni a valósághoz (gyakorlatilag igen), de maga a matematikai terület ettől még teljesen jó."
Még jó, hogy az ember visszaolvas néha: ez irtózatos nagy badarság Bár igaz, hogy pl. a dobókocka és környezete pontos ismeretének hiánya csak empírikus véletlen, van ún. valódi véletlen, ezt a kvatummechanika bizonyította legszebben, de pl. Chopin balladáit sem lehetett volna soha sem megjósolni.
Hogy néha mennyire az orránál vezeti a fizika a matematikát, az bizonyítja, hogy a Boole-algebrát "meg kell csonkítani" pl. a disztributivitástól, mert ellentmondásba kerülnénk, ezeket nevezzük ortomoduláris hálónak, de azt ne kívánd tőlem, hogy elmagyarázzam, mert én sem értek hozzá.
De ha minden igaz, már vannak olyan kutatási eredmények, melyek szerint vannak bizonyos tulajdonságok, amelyek egy bizonyos halmaz komplementerében és részhalmazában is "megjelennek". (persze valamilyen valószínűséggel lehetne ezt értelmezni)
Pontosabban: a hiperciklus báziegyenesére merőlegenek látják a hiperciklust érintő egyenes pólusából jövő és az érintési ponton átmenő egyenest. Ők a pólust úgy érzékelik egy egyeneshez, mint az arra merőleges egyenesek közös túlvilági pontját.
Az én kis példám az én akkori primitív fejemmel egy látványt ragadott meg: t.i. azt a látványt, amikor a merőlegesség euklideszi kancsalsággal is láható volt.
(Különösen szép ebben, hogy egy hiperbolikus világban a túlvilág kirajzolódik hivőnek hitetlennek egyaránt. A mi Saccherink ott kúrta el a szentté avatást, amikor nem vette észre, hogy egy hiperbolikus világhoz logikai szükségszerűséggel van túlvilág. Micsoda SJ tag az ilyen?)
Coxeter: Non-euclidean geometry könyvében olvasom, hogy Cayley és Klein éppen úgy származtatja a hiperbolikus geometriát a valós projektív geometriából, hogy a merőlegesség definíciójának a 3272-beli tulajdonságot választja, továbbá ugyanilyen módon az elliptikus geometria is megkapható. Ez adalék válasz gligetinek, hiszen mutatja, hogy a Cayley-Klein modell (és a 3273-as megoldás) valójában nem az euklideszi síkon van konstruálva, hanem a valós projektív síkon (ami pedig az összes geometriából megkapható, egyfajta kanonikus atya).
Pontosan a következőről van szó. Legyen S egy valós projektív sík, ezen pedig p egy polaritás (tehát p illeszkedéstartó transzformáció, ami ponthoz egyenest rendel és viszont, és ami önmagának az inverze). Ha S' egy másik valós projektív sík, akkor a p:S->S polaritás egy tetszőleges f:S->S' kollineációval átvihető egy p':S'->S' polaritássá a p':=f*p*f-1 definícióval (* a kompozíció). Legyen most S'=S és p fix, és foglalkozzunk csak azokkal az f:S->S kollineációkkal, amik a p-t helyben hagyják, magyarán amik a p-vel felcserélhetők (p=f*p*f-1 ugyanaz, mint p*f=f*p). Az S-ben nevezzünk két egyenest merőlegesnek, ha az egyik a másik pólusára illeszkedik (ez a reláció szimmetrikus). Két esetet különböztetünk meg.
1. Ha a p polaritás elliptikus, azaz semelyik pont nem illeszkedik a polárisára, akkor S a fent definiált merőlegességfogalommal az elliptikus sík geometriája. A p-vel felcserélhető f-ek a kapott geometria egybevágóságai, ebből teljes távolság- és szögmérés definiálható. Egy konkrét modell kapható a valós projektív sík gömbfelület modelljéből: az átellenes pontpárok a pontok, a főkörök az egyenesek, a p polaritás pedig egy átellenes pontpárhoz az őket összekötő tengelyre merőleges főkört rendeli és viszont. Ez a gömbi geometria szokásos modellje.
2. Ha a p polaritás hiperbolikus, akkor azok a pontok, amik a polárisukra illeszkedek, egy C kúpszeletet alkotnak. A C belső pontjai a fent definiált merőlegességfogalommal éppen a hiperbolikus sík geometriája. A p-vel felcserélhető f-ek éppen a kapott geometria egybevágóságai, ebből teljes távolság- és szögmérés definiálható. Megjegyzem még, hogy a p az egyetlen polaritás, amihez a C tartozik, ezért a p-vel felcserélhető f-ek ugyanazok, mint a C-t fixáló f-ek. Továbbá a C nem belső pontjai ideális pontok a hiperbolikus geometriában, ezekről is sok érdekes mondható, hiszen a teljes valós projektív síkról sok érdekes mondható. Egy konkrét modell kapható az euklideszi sík egy C köréből: a C belső pontjai a pontok, a húrok az egyenesek, a p polaritás pedig a C-hez tartozó polaritás az euklideszi sík projektív lezártján. Ezt hívják Cayley-Klein modellnek, de mint látjuk Cayley-Klein ennél sokkal többet megértett.
"Igazi" alatt olyasmit értettem, mint amit Erdős "a könyvből valónak" nevezett, tehát hogy rátapint a lényegre. A feladat nem a Cayley-Klein modellről szól, csak ennek "belelátása a feladatba" gyújtja a világosságot. Az előző megoldásaim (1782-1783 és 2858) nem voltak ilyen megvilágító erejűek, bár kétségtelenül szórakoztatóbbak voltak kitalálni őket. Persze nem állítom, hogy más értelmes lények számára mást jelent az egyszerűség vagy a lényeg, csak hát őket még nem tudtuk erről megkérdezni. Maradjunk az embereknél és tegyük fel praktikusan a kérdést: tudsz szebb és egyszerűbb megoldást?
Tudom, hogy Te a filozófiai és a kognitív kérdések elől ki szoktál térni, vagy legalábbis matematikusként más a nézőpontod: de mit értesz az "igazi" alatt? És biztos "igazi"-e ez a megoldás, nem csak arról van szó, hogy a Cayley-Klein hozzánknőtt, otthonos, mint egy jó farmernadrág -- de épp azért, mert euklideszire szocializált agyunkkal a maga valójában nem érezzük mankó nélkül a hiperbolikus világot?
Az előző hozzászólás fényében ez a feladat is nagyon egyszerű, hiszen csak azt fogalmazza meg, hogy a hiperbolikus síkon két egyenes merőlegessége szimmetrikus reláció, ami pedig triviális.
Erre a feladatra az "igazi" megoldás a következő. Felhasználom Reiman István: A geometria és határterületei (Gondolat, 1986) 19.4 és 19.6 fejezeteit.
A nagyobbik ellipszisről feltehető, hogy kör, mert ez projektív transzformációval elérhető. A körnek a belsejére tekintsünk mint a hiperbolikus sík Cayley-Klein modelljére. A piros ellipszis egy hiperciklus, tehát merőlegesen metszi a nagytengelyére merőleges egyeneseket. Speciálisan, az EF érintőre az A-ban állított merőleges a nagytengelyt merőlegesen metszi. Ez a merőleges - a Cayley-Klein modellbeli ismert konstrukció szerint - nem más, mint az AB euklideszi egyenesnek a körbe eső része, tehát készen vagyunk.