Coxeter: Non-euclidean geometry könyvében olvasom, hogy Cayley és Klein éppen úgy származtatja a hiperbolikus geometriát a valós projektív geometriából, hogy a merőlegesség definíciójának a 3272-beli tulajdonságot választja, továbbá ugyanilyen módon az elliptikus geometria is megkapható. Ez adalék válasz gligetinek, hiszen mutatja, hogy a Cayley-Klein modell (és a 3273-as megoldás) valójában nem az euklideszi síkon van konstruálva, hanem a valós projektív síkon (ami pedig az összes geometriából megkapható, egyfajta kanonikus atya).

Pontosan a következőről van szó. Legyen S egy valós projektív sík, ezen pedig p egy polaritás (tehát p illeszkedéstartó transzformáció, ami ponthoz egyenest rendel és viszont, és ami önmagának az inverze). Ha S' egy másik valós projektív sík, akkor a p:S->S polaritás egy tetszőleges f:S->S' kollineációval átvihető egy p':S'->S' polaritássá a p':=f*p*f^-1 definícióval (* a kompozíció). Legyen most S'=S és p fix, és foglalkozzunk csak azokkal az f:S->S kollineációkkal, amik a p-t helyben hagyják, magyarán amik a p-vel felcserélhetők (p=f*p*f^-1 ugyanaz, mint p*f=f*p). Az S-ben nevezzünk két egyenest merőlegesnek, ha az egyik a másik pólusára illeszkedik (ez a reláció szimmetrikus). Két esetet különböztetünk meg.

1. Ha a p polaritás elliptikus, azaz semelyik pont nem illeszkedik a polárisára, akkor S a fent definiált merőlegességfogalommal az elliptikus sík geometriája. A p-vel felcserélhető f-ek a kapott geometria egybevágóságai, ebből teljes távolság- és szögmérés definiálható. Egy konkrét modell kapható a valós projektív sík gömbfelület modelljéből: az átellenes pontpárok a pontok, a főkörök az egyenesek, a p polaritás pedig egy átellenes pontpárhoz az őket összekötő tengelyre merőleges főkört rendeli és viszont. Ez a gömbi geometria szokásos modellje.

2. Ha a p polaritás hiperbolikus, akkor azok a pontok, amik a polárisukra illeszkedek, egy C kúpszeletet alkotnak. A C belső pontjai a fent definiált merőlegességfogalommal éppen a hiperbolikus sík geometriája. A p-vel felcserélhető f-ek éppen a kapott geometria egybevágóságai, ebből teljes távolság- és szögmérés definiálható. Megjegyzem még, hogy a p az egyetlen polaritás, amihez a C tartozik, ezért a p-vel felcserélhető f-ek ugyanazok, mint a C-t fixáló f-ek. Továbbá a C nem belső pontjai ideális pontok a hiperbolikus geometriában, ezekről is sok érdekes mondható, hiszen a teljes valós projektív síkról sok érdekes mondható. Egy konkrét modell kapható az euklideszi sík egy C köréből: a C belső pontjai a pontok, a húrok az egyenesek, a p polaritás pedig a C-hez tartozó polaritás az euklideszi sík projektív lezártján. Ezt hívják Cayley-Klein modellnek, de mint látjuk Cayley-Klein ennél sokkal többet megértett.