Amint látod, most fordítva kellene eljutnod a Lorentz-elv posztulátumából a specrel posztulátumába. De axiomatikus modellfelépítést kérek! Nem használhatsz mást, mint a Lorentz-deformációt az éterben.
Én annyit mondtam, hogy a Lorentz-deformációból levezethető a Lorentz-trafó és viszont. Ha emellé még azt is feltesszük, hogy az éterben 1 a fény sebessége, akkor levezethető, hogy minden inerciarendszerből nézve 1 a fény sebessége (ez a SR posztulátuma). Ezeket most részletezem, de csak a kedvedért.
Az alábbiakban egydimenziós éterről lesz szó, amiben x-szel jelölöm a helyeket (egy fix origótól számítva) és t-vel az időpontokat. Egyetlen v sebességről lesz szó és használni fogom a k=(1-v2)1/2 rövidítést az egyszerű írásmód kedvéért.
1. Feltesszük a Lorentz-deformációt, tehát hogy az éterben v sebességgel közlekedő rudak hossza és a v sebességgel közlekedő órák járási sebessége (frekvenciája) k-szorosára csökken. Vegyünk az éterben egy O etalonórát, ami az x=vt egyenlet szerint mozog (tehát O éterbeli sebessége v). Feltesszük, hogy a t=0 időpontban O nullát mutat. A Lorentz-deformáció miatt tehát O a t pillanatban kt időt mutat. Tetszőleges d>0 esetén illesszünk egy nyugvó állapotában d hosszú v sebességgel mozgó rudat az O-hoz úgy, hogy az O a rúd bal végpontja legyen (d<0 esetén pedig egy |d| hosszú v sebességgel mozgó rudat az O-hoz úgy, hogy az O a rúd jobb végpontja legyen). Megjegyezzük, hogy a rúd tényleges hossza kd a Lorentz-deformáció miatt. A rúd másik végébe helyezzünk el egy P etalonórát. Tehát minden d valós számra vettünk egy P=P(d) órát, ami v sebességgel mozog; az O nem más, mint P(0). Legyen most x és t tetszőleges valós számok. Az éter x helyén t pillanatban pontosan egy P(d) óra található: ezt a d-t elnevezzük x'-nek és a rajta levő óraállást t'-nek. Ezt röviden így mondjuk majd: (x',t')M a mozgó rendszerbeli koordináták, míg (x,t)E az éterbeli koordináták. Az M és az E index segít minket, hogy ne keverjük össze a kettőt. A kérdés, hogy az x' és a t' miként függ az x-től és a t-től. Az O óra éterbeli mozgásegyenlete x=vt, tehát a P(d) óra éterbeli mozgásegyenlete x=kd+vt, hiszen OP(d) egy kd hosszú rúd. Persze minden P(d) óra egy ütemben jár O-val, hiszen őt ugyanúgy érinti a Lorentz-transzformáció. Tehát ha f(d) jelöli a P(d) óraállását a t=0 pillanatban, akkor P(d) a t pillanatban kt+f(d) időt mutat. Az eddigieket összefoglalva: az éterbeli (kd+vt,t)E koordinátákhoz a mozgó rendszerben a (d,kt+f(d))M koordináták tartoznak. Más szóval x=kd+vt esetén a fenti x' és t' nem más mint d és kt+f(d). Tehát rögtön kiolvashatjuk, hogy x'=d=(x-vt)/k általánosan igaz. A t'-ről egyelőre csak annyit állapítottunk meg, hogy t'=kt+f(d), ahol d=(x-vt)/k, de az f(d) függvényről egyelőre nem tudunk semmit. Most azzal a természetes feltevéssel fogok élni, hogy a mozgó rendszer koordinátái szerint az éter origója -v sebességgel mozog. Ez azt jelenti, hogy az éterbeli (0,t)E koordinátákhoz a mozgó rendszerben (-vt',t')M alakú koordináták tartoznak. Tehát x=0 esetén x'=-vt'. Korábban már láttuk, hogy x'=(x-vt)/k, ami jelen esetben x'=-vt/k alakra egyszerűsödik, tehát a jelen példában t=kt'. De azt is láttuk, hogy t'=kt+f(x'), tehát f(x')=t'-kt=(1-k2)t'=v2t', tehát végeredményben f(x')=-vx'. Ez az összefüggés minden x' számra igaz, tehát a t'-re korábban f(d) segítségével adott képletünk így alakul: t'=kt+f(d)=kt-vd, ahol d=(x-vt)/k. Igy tehát t'=kt-v(x-vt)/k=((k2-v2)t-vx)/k=(t-vx)/k általánosan igaz.
Összefoglalva: Az éterbeli (x,t)E koordinátákhoz a mozgó rendszerben az (x',t')M koordináták tartoznak, ahol x'=(x-vt)/k és t'=(t-vx)/k. Ezt hívják Lorentz-trafónak. Mint láttuk, ezt pusztán a Lorentz-deformációból és abból a feltevésből vezettük le, hogy a mozgó rendszerből nézve az éter origója -v sebességgel mozog.
2. Most tegyük fel még azt is, hogy az éterben mindig 1 a fény sebessége. Belátjuk, hogy a v sebességgel mozgó rendszerből nézve is mindig 1 a fény sebessége. Mivel a levezetés minden v-re érvényes, ezért ez a fentivel együtt azt mutatja, hogy a Lorentz-deformációból következik a SR posztulátuma (és annak összes folyománya).
Vegyünk egy fényimpulzust. Ennek egyenlete az éterben x=d+t vagy d-t alakú, attól függően, hogy az impulzus jobbra vagy balra közlekedik (d az impulzus helye a t=0 pillanatban). Tekintsük az első egyenletet, a másik egyenletre a számolás ugyanilyen. x=d+t esetén a Lorentz-trafó alapján (amit már levezettünk) a megfelelő mozgó rendszerbeli koordináták x'=(x-vt)/k=(d+t-vt)/k, illetve t'=(t-vx)/k=(-vd+t-vt)/k. Ebből következik, hogy a fényimpulzus mozgó rendszerbeli koordinátái kielégítik az x'=d'+t' egyenletet, ahol d'=(1+v)d/k. Ez azt jelenti, hogy a mozgó rendszerben is 1 sebességgel mozog a fényimpulzus.
Hát így következik a Lorentz-deformációból a Lorentz-trafó és vele együtt a teljes SR, a sebességösszeadás képlete, a relativisztikus Doppler, az E=mc2 és minden más.
