"zerintem ha x(t) lineáris függvény (azaz valami a+bt alakú), akkor x'(t') is ilyen függvény lesz, mivel szerintem a Lorentz transzformáció nem rontja el ezen tulajdonságát..."

Ez így igaz. Lorentz-transzformáció egyenest egyenesbe visz. Ez alapkövetelmény, mert meg kell őriznie a fényegyeneseket, ami biztosan teljesül, ha a transzformáció lineáris.