MIDEI AGEOMETRITOS EISITO" XXV. (Szabo)

Mai levelunkkel vegere ertunk Szabo Arpad matematikatorteneti munkaja, pontosabban abbol is a zenei fejezet kijegyzetelesenek. Az elozmeny a gorog szovegkiadas kozelito, tartalom forditasi kiserlete volt, ezt most, hogy sikerult a magyar szoveget is megtalalni, finomitjuk.

"Minthogy viszont az elobb mind a harom arany nagyobb es kisebb szamanak egy-egy kavicsokkal kirakott teglalap hosszabb es rovidebb oldalat feleltettuk meg, kepezzuk most az oldalak osszeszorzasaval a megfelelo teglalapokat. A fenti aranyparokbol sorban a kovetkezo "teglalap-szamokat" kapjuk.

A)3x2=6* es 12x8=96*
B)3x2=6* es 9x6=54*
C)9X6=54*es 12x8=96*

A csillagos osszesen hat szambol tehat ketto-ketto (6,96; es 54, 96) "hasonlo teglalap szam", minthogy tenyezoik ugyanazt az aranyt adjak. Az ilyen "hasonlo teglalap-szamokrol" allapitja meg Euklidesz egik tetele (Elemek VIII.18):

"Ket hasonlo teglalap-szam kozot mindig van egy kozeparanyos szam." - Csakugyan, pl. a 6 es a 96 kozott kozeparanyos a 24; a 6 es 54 kozott pedig kozeparanyos a 18, mert
6:24=24:96
6:18=18:54.

Rogton megallapithatjuk azt is - a fenti harom aranypar (az a, b, es c pontok) alapjan -, hogyan kapjuk meg ket-ket hasonlo teglalap-szam kozott a kozeparanyost. -Osszeszorozzuk az egyik teglalap rovidebb oldalat (Pl 2) a masik,hozza hasonlo teglalapnak a hosszabb oldalaval (12). Termeszetesen mindegy, hogy melyik teglalapnak vesszuk a rovidebb es melyiknek a hosszabb oldalat. A fontos csak az, hogy a ket hasonlo teglalap-szamnak 'nem megfelelo' oldalait szorozzuk ossze; az ilyen szorzat adja a ket teglalap szam kozeparanyosat.
Egy tovabbi erdekes megfigyeles lehet: ha osszeszorozunk ket hasonlo teglalap-szamot - azaz: ha ket ilyen szamnak a teglalapjat kepezzuk -, pl.6x96=576, ugyanazt a szamot kapjuk, mintha a kozeparanyost szorozzuk meg onmagaval (ha ezt emeljuk negyzetre); 24x24=576.Mas szoval: ket hasonlo teglalap szam szorzata egyenlo valamely negyzet-szammal. Ez persze egyszeruen annak a tetelnek a kovetkezmenye, hogy az aranyparban a kulso tagok szorzata (a ket hasonlo telalap szam szorzata) egyenlo a belso tagok szorzataval, illetoleg a kozeparanyos negyzetevel. (Eppen ezt mondja ki Euklidesznel az Elemek VII.19. tetele.)
Az elmondottak azt akarjak illusztralni, hogyan vezetett a zenei aranyelmelet "hasonlosag" problemaja az aritmetika, majd ezen keresztul a geometria rokon problemajahoz. Kiegeszithetjuk ezt meg azzal a megjegyzessel : ugy latszik, a "hasonlosag" problemaja a geometriaban akkor emelkedett az itt vazoltnal magasabb (altalanosabb) szinvonalra,amikor mar nem egyszeruen a teglalapok, hanem a haromszogek hasonlosagat kezdtek vizsgalni.

Az aritmetikai aranyelmelet. Osszefoglalva, megallapithatjuk: valoszinu, hogy a gorog aritmetika aranyelmelet - amely csak egesz szamokkal fogalkozoik - a fontebb vazlatosan ismertetett zenei aranyelmeletbol bontakozott ki. Az aritmetikai aranyokat Euklidesz Elemeiben a VII., VIII. es a IX. konyv targyalja. Sok tetelet ennek az elmeletnek ma is szinte pontosan ugy tanuljuk az iskolaban, mint ahogy Euklidesz mefogalmazta, es ahogy mar joval korabban a pythagoreusok tanitottak ezeket. Peldakent alljon itt egy tetel a VII. konyvbol (19):

"Ha negy szam aranypart alkot - tehat ha a:b=c:d -, akkor az elso es a negyedik szorzata (ad) egyenlo a masodik es a harmadik szorzataval (bc); es megforditva: ha negy szam kozul az elso es a negyedik szorzata egyenlo a masodik es a harmadik szorzataval, akkor a negy szam aranypart alkot".

De ugyanigy ismertek, sot be is bizonyitottak a pythagoreusok - reszben ugyan a mienknel kevesbe egyszeru megfogalmazasban - az ilyen trivialis teteleket, mint:

"Ha adva van valamely aranypar (a:b=c:d), amelyben a es c elotagok,b es d pedig utotagok, akkor az elotagok osszege (a+c) az utotagok osszegehez (b+d) ugyanazt az aranyt adja, mint az eredeti." (Tehat (a+c):b+d)=a:b). Lasd ehhez Elemek VII.5.) Vagy:

"Az aranyparban a belso tagok egymas kozott (es ugyanigy a kulso tagok is egymas kozott) folcserelhetok." (Tehat, ha a:b=c:d, akkor a:c=b:d is. Vo.VII.13.)
Ugyanigy megtalaljuk itt ezt a trivialis tetelt is (VII.17):

"Ha a, b es m barmilyen egesz szamok, akkor ebbol kovetkezik, hogy a:b=ma:mb."

Tulsagosan messzire vezetne, ha reszletesen meg akarnank beszelni ebben az osszefuggesben azt az egesz aranyelmeletet, amelyet az euklideszi Elemek aritmetikai reszei* oriztek meg a szamunkra, es amely nagy valoszinuseg szerint pythagoreus eredetu. Ezuttal inkabb azt jegyezzuk meg e fejezet lezarasakent: a torteneti kutatasok eddig behatobban csak az Elemek VII. es VIII. konyvenek a regi eredetevel fogalalkozott. Foltehetoen sok regi tetel van aIX. konyvben is; de ezt eddig meg csak a IX. konyv 21-36. theoremainrol, az un. "paros-paratlan" tetelsorozatrol mutattak ki."

Elozmeny "suritve" (katapyknosis):
Hippasos korongjai. 2:1. 4:3. 3:2. Hermionei Lassos vizzel toltott edenyei. Gaudentius leirasa a kanonrol. Az oktav aranyszama 12:6. A kvart konszonancia: 12:9. A kvint aranyszama 12:8.Monochord. 12:6=2:1. 4:3=12:9. 3:2=12:8. 3:2=12:8. Ha mind a 12 egyseg utan elobb ugyananak a hurnak 9 egysege szolalt meg, egy kvartot hallottak (12:9). Ha 9 egyseg utan 6 egyseget penditettek meg, ez mar kvint volt (9:6). A ketto egymas utan es egyutt egy oktavot adott (12:6). Ha a 12 utan 8 egyseget szolaltattak meg, akkor elobb hallottak egy kvintet (12:8). A 8 egyseg utan viszont a 6 egyseg megpenditese kvartot adott (8:6). A 12 es a 9 ugyanugy kvart mint a 8 es a 6 (12:9=8:6).
Ugyanigy kvint mind a 12 es 8, mind pedig a 9 es a 6 (12:8=9:6). Az elso esetben a ket-ket szampar egyforman ugyanazt az aranyt adja, mint a 4:3, a masodikban pedig, mint a 3:2. A ket kvart ugyanugy hasonlo egymashoz, mint a ket kvint.
Hogyan adja meg a kvart es a kvint (vagy megforditva: a kvint es a kvart) aranyszamainak osszekapcsolasa az oktav aranyszamat? A muvelet a kanonon : 12 es a 9 szamok kozotti intervallumhoz (az elso elnemulo hurszakaszhoz) hozzakapcsoltak a 9 es a 6 kozotti intervallumot ( a masodik elnemulo hurszakaszt). Megforditva: a 12 es a 8 kozotti szakaszhoz hozafuztek a 8 es a 6 kozotti szakaszt. A ket osszekapcsolas ugyanazt a nagyobb intervallumot, a 12 es a 6 kozotti szakaszt adta. Az aritmetikaban ez az osszekapcsolas szorzas.
12/9+9/6 es 12/8+8/6. Az osszeadas eredmenye nem az oktav aranyszama:12/6. Ha szorzunk: 12/9-et szorozzuk a 9/6-dal, 12/8-ot a 8/6-dal
az eredmeny=12/6. A "kanonon" az "osszeadas" szorzas 4/3x3/2=12/6=2/1. Ket intervallum, a kvart es a kvint kozul a kvint a nagyobb
Osszemerjuk oket a kanonon: a kvint intervalluma a merovesszon a 12 es a 8 szamok koze eso hosszabb szakasz (a kvint ket hangja kozott neman marado hurdarab). a kvart intervallumat a 12 es a 9 koze eso rovidebb szakasz szemlelteti. A ketto "kulonbsege": a 9 es a 8 szamjegyek koze eso szakasz. "Kivonjuk" a hosszabb hurdarabbol a rovidebbet. Ha a kvint es a kvart aranyszamat akarjuk megallapitani, mennyivel nagyobb az elobbi, mint az utobbi,osztanunk kell a kisebbel
12/8:12/9 (vagy akar 3/2:4:3=9/8). Az osztas eredmenyet tehat csakugyan eppen annak a ket szamnak egymashoz valo viszonya mutatja, amely ket szam a kanonon a "kivonas" maradekat jelolte.A kanon emlekeztet a logarlecre. A kozep keresese: hogyan lehet kisebb egysegekre bontani az oktav intervallumat? - a kanonon a 12 es a 6 koze eso szakasz
- gondolatban a 9-es szamnal "kettevagni" - a 9 a szamtani (aritmetikai) kozep a 12 es a 6 kozott.
12-9=9-6. 12+6 torve 2-vel=9 .A ket resz intervallum mint a hurdarab-hosszusag a 12 es a 9, illetoleg a 9 es a 6 kozott egyenlo ugyan, de mint zenei intervallum az elso (12:9), a kvart a kisebb, a masodik (9:6) a kvint pedig a nagyobb.
A nagyobb szamok (12 es 9) jelolik a kisebb intervallumot, a kisebb szamok (a 9 es a 6) a nagyobb zenei intervallumnak, a kvintnek a jeloloi... Harmonikus kozep: 12 es a 6 kozott a 8
a 12 es a 8 koze esik a hosszabb, a 8 es a 6 koze pedig a rovidebb hurdarab. A hosszabb hurdarab (s egyszersmind a nagyobb szamok, (12 es 8) a nagyobb zenei intervallum, a kvintet
a rovidebb hurdarab, es kisebb szamok, 8 es 6 pedig a kisebb zenei intervallum, a kvart
"harmonikus kozep" 12 es 8 kulonbsege ( 12-8) ugyanannyiszor van meg a 12-ben (12:4=3), mint a 8 es a 6 kulonbsege (8-6) a 6-ban (6:2=3).
Oszthato-e az oktav ket olyan reszre,hogy a reszek egymas kozott egyenlok ? - kerdeztek a pythagoreusok. Melyik az a "szam" a 12 es 6 (vagy a 2 es az 1) kozott, amely kielegithetne az aranypart: (12:x=x:6). (2:x=x:1). Geometriai (mertani) kozep. 2:x=x:1. x a negyzeten=2x1.x=negyzetgyok alatt 2. 12:x=x=6
x a negyzeten= 12x6. x=negyzetgyok alatt 72=negyzetgyok alatt 36x2=6x negyzetgyok alatt 2.
A geometriai kozep megtalalasanak vagy megszerkesztesenek a muvelete ugyanaz volt, mint a mi szamunkra a gyokvonas. Folbontottak az adott szamot (a) ket masik szam szorzatara - ha ez maskent nem volt lehetseges, akkor ebben a formaban: a=1xa. Majd kerestek vagy megszerkesztettek a ket tenyezo kozott a geometriai kozepet. Ezen muveletek a kanonon:
aranyok osszeadas-szorzasa, kivonas-osztasa,
az arany ket tagja kozott a kozep keresese - a "kanon metszese" .
Eiklidesz : Sectio Canonis. Felismeres:a hang rezgo mozgas. A "rezgesszam" fogalma nelkul sikerult megtalalniuk a konszonanciak aranyszamait mint hurhosszusagok aranyait. A monochordon vagy a kanon fole kifeszitett huron a hangmagassag valtozasa feltunhetett mint egyetlen tenyezo (a hur hosszusaga) megvaltozasanak a kovetkezmenye. Igazolhatnank-e a konszonanciak hagyomanyos aranyszamait azzal, hogy a hangforras vastagsagat eppen ezeknek az aranyoknak megfeleloen valtoztatjak? Valasz: a metapontumi Hippaszosz bronzkorong kiserletei. Hiaba terheltek meg ket egyforma hosszu (es lehetoleg egyforma vastagsagu hurt 12 es 6 egysegnyi sulyokkal, oktavot megsem adott. A hang magassaga osszefugg a rezgesek szaporasagaval; ha tobb a rezges, magasabb a hang. Ha pedig ez csakugyan igy van, akkor talan megis helyesebb volna az oktav aranyaban (12:6) a nagyobb szamot, a 12-t a magasabb, a kisebbet, a 6-ot pedig a melyebb hangnak feleltetni meg. Az okori szerzok kozul nemelyek az egyik, nemelyek pedig a masik felfogast tettek magukeva. A zenei konszonanciak kifejezhetok egymashoz aranyitott szamokkal , ez elokeszitette az aranyelmelet terminologiajat. A terminus technicusok intervallum ("diasztema"), a szamok mint hatarpontok ("horoi"), a "kozep" fogalma. A "geometriai kozep". Arany=logosz. Kezdetben a "logosz" a pythagorius zeneelmeletben kb. diasztema . Vegyuk peldaul az oktav aranyszamat, 12:6. A pythagoraszi kor ezt altalaban diasztemanak nevezte, igy: a) maga a konszonancia, ket hangnak az osszecsengese, "szymphonia" b) a konszonancia hangkoze, az intervallum c) a ket osszekapcsolt szam mint arany.- A "logosz" magat az aranyt jeletette. Viszont a szo (mint az arany altalanos neve) mar nemcsak a konszonanciak szamaira volt alkalmazhato ( mint a "diasztema"szo), hanem barmilyen ket szamra (pl.25:23), kesobb barmilyen ket, egymassal aranyba allitott mennyisegre. Logoszl ez is: a:b, amelyben az a es a b mar nem okvetlenul kellett hogy szamok legyenek. A "logosz" szonak csak a pythagoraszi kor adta ezt az ertelmet, es innen vette at ezt a fogalmat a matematikai szaknyelv. A gorog koznyelvben a "logosz" nem jelentett olyasmit, mint a mi "arany" szavunk a matematikan kivul. A gorog matematikaban a "logosz" ket szamnak (vagy kesobb ket mennyisegnek) a viszonya , es nem tortszam. A'logosz" a gorog filozofiai szaknyelvben jelentett "ertelmet", "gondolkozast" is, a matematikai logosz-t (az aranyt) latinra a ratio szoval forditottak. "Irraionalis szam", nem valami "ertelemmel folfoghatatant" jelent, arra utal, hogy a kerdeses mennyiseg - tehat pl. negyzetgyok alatt ketto vagy harom - nem fejezheto ki mint ket szamnak az aranya, a "racioja". Bizonytalanna lett az egyertelmu valasz, amelyet erre a kerdesre korabban adni lehetett- pusztan a monochordon vegzett kiserletek alapjan, azert is, mert kesobb rajottek: a hang magassaga osszefugg valamikepp a rezgesek szaporasagaval; ha tobb a rezges, magasabb a hang. Ha pedig ez csakugyan igy van, akkor talan megis helyesebb volna az oktav aranyaban (12:6) a nagyobb szamot, a 12-t a magasabb, a kisebbet, a 6-ot pedig a melyebb hangnak feleltetni meg. (Ugy latszik, az okori szerzok kozul nemelyek az egyik, nemelyek pedig a masik felfogast tettek magukeva.)
A felismeresek amelyekrol ma utolag megallapithatjuk, hogy helyes iranyba mutattak, kezdetben elhomalyositottak a korabbi felfedezesek jelentoseget. Cicero "logosz" ="ratio", ket szamnak (vagy ket mennyisegnek) egymashoz valo viszonya. Analogia
( a latin proportio) - mar nem egyszeruen arany", hanem "aranypar" - mindig legalabb negy tagja volt. A latin
proportio terminus technicus kovetkezetlenebb mint a gorog "analogia" hasznalata.Az analogia ti. sohasem ugyanaz mint a "logosz". "Analogia" pl. a:b=c:d, de csak "logosz" a:b. Nagyjabol igy hasznaltak a veluk parhuzamos proportio es ratio kifejezseket is. Az (n+1):n latin neve az okorban superparticularis proportio . Kovetkezetesen ti. superparticularis ratio kellett volna legyen. Arisztotelesz : vannak, akik azt allitjak, hogy sokszor harom szam is alkothat aranypart (analogiat), pl. a 8, a 4 es a 2:8:4=4:2. Ilyen esetekben azonban a kozepso tag - a kozeparanyos - ketszer szerepel; ezert igazaban itt is negy es nem csak harom tagrol van szo. "Folytonos aranyossag", valamely geometriai sor harom egymast koveto tagja pl.: 2,4, 8; 3,12,48; vagy 5,15,45 stb.
Az "analogia" :"logoszkent valo egyenloseg". A pythagoreusok teremtettek meg," ket szamnak egymashoz valo aranya " ertelmeben. Kezdetben az "analogia" megjelolest "logoszkent valo egyenloseg"-re alkalmaztak, mint a kanonon 12:8 es 9:6. Osszekapcsolhato ez a ket arany az egyenloseg jelevel, mert mind a ketto egy-egy kvint (3:2). A ket kvint "hasonlo" egymashoz. A sikmertanban ket idomnak a hasonlosaga , hogy a megfelelo oldalak aranya azonos. Az "azonos arany", az analogia szinte egyertelmu lett a hasonlosaggal. Igy lett ez a kifejezes altalanossa a nyelvtanon kersztul minden eruropai nyelvben.
A konszonanciak kifejezese ket-ket szam, valamely arany segitsegevel
a zenei harmoniak vizsgalata
Sectio Canonis,
Klaudiosz Ptolemaiosz (I.sz.2.sz.)Harmonica
zenei aranyelmelet.
altalanositottak az aritmetikara,a geometriara.
konszonanciakkal kapcsolatban kialakitott arany ("diasztema", illetoleg "logos") fogalmat altalanositottak elobb barmilyen ket szamra,
a geometriai idomokra es alkotoreszeikre. Az aranyelmeletnek sok problemaja kezdeben zeneelmeleti problema volt
a kvint kifejezheto :
12:8,
9:6,
3:2.
a kvart harom kulonbozo formaja:
12:9,
8:6
4:3 .
mind a kvint mind a kvart eseteben, hogy az arany egyszeru formajaban a legnagyobb szam indossze 1-gyel mulja folul a kisebbet:
3:2,
4:3.
"epimorion diasztema'-nak(superparticularis proportio)
mai szimbolumokkal:
(n+1):n.
2:1, (octav)elso szam 1-gyel nagyobb
ket tagjuk koze sohasem iktathato be olyan szam, amely geometriai kozeparanyos volna kozottuk. Nincs tehat olyan x szam, amely kielegitene az (n+1):x=x:n aranypart.
n es (n+1) kozott nincs egesz szam -
a pythagoreusok bebizonyitottak ezt a superpartikularis proportio tobbszoroseire is. olyan arany, amely az (n=1):n formara redukalhato, a ket tagja kozott soha nincs kozeparanyos szam,
az oktav intevalluma sem bonthato fol ket egymas kozott egyenlo reszintervalumra.
Ket negyzetszam kozott mindig van egy kozeparanyos, (Eukl.VIII.12),
ket kobszam kozott ket kozeparanyos talalhato. zeneelmeleti tetel tovabbepites
9 (=3x3)es 4 (=2x2)
6 (=3x2) (kozeparanyos)
9:6=6:4. De ugyanigy a masik ket negyzetszam, a 121(=11 a negyzeten)
25 (=5 a negyzeten)
55 (=11x5)(kozeparanyos)
121:55=55:25
27 (=3 a harmadikon)
8 (=2 a harmadikon)
18 es 12 (kozeparany)
27:18=18:12=12:8 stb.
(Eukl.VIII.)
(n+1):n tipusu aranyba nem iktathato kozeparanyos szam
ket szam kozt csak akkor van egy kozeparanyos szam, ha a ket szam "hasonlo teglalap-szam",
ha ket szam folbonthato 2-2 olyan tenyezore, amely tenyezok ket, egymas kozott hasonlo teglalapnak az oldalait
3 es az 5 kozt nincs szamszeru kozeparanyos - nem 'hasonlo teglalap-szam'
nem bonthato fel 2-2 olyan tenyezore, hogy a tenyezok ket egymas kozott hasonlo teglalapnak az oldalai legyenek
megoldas:
Legyen 3 es 5 ugyanannak a teglalapnak ket oldala.
e ket szam kozott kozeparanyos szam, eppen annak a negyzetnek az oldalat adna meg, amelynek terulete egyenlo az adott teglalap teruletevel.
3:x=x:5
x a negyzeten= 3x5
Ilyen x szam ugyan nincs, de a keresett negyzetet - melynek terulete egyenlo az adott teglalapeval - megis megszerkeszthetjuk. A kapott negyzet oldala a keresett "kozeparanyos" - akkor is, ha hosszusagat sem egesz, sem tortszammal nem tudjuk megadni.
A pythagoreusok a szamokat regebben kavicsokkal (psephoi) raktak ki
-paros es paratlan-
a "szam" fogala kozvetenul a szamlalasbol adodott: az "egyhez" tovabbi "egyeket" adtak Eukleideszi definicio:"a szam egyekbol osszetett sokasag".
A konszonanciak aranyainal a kanonon, a szamoknak (12,6,9,8 stb.) egy-egy hurdarab felelt meg.
A 12 egyenlo reszre osztas nem volt szuksegszeru.
az oktav illusztralhato volt a kifeszitett es ket egyeno reszre osztott monochordon is.
A kvinthez harmas osztas
a kvarthoz pedig negy egyenlo resz hur
3:2 illetoeg 4:3
Ugyanaz a hur egyforman kepviselhette a 2,3,4 vagy akar 12 kulonbozo egysegbol allo hosszusagot.
Euklidesz az aritmetikaban ( az Elemek VI., VIII. es IX. konyveben) barmilyen szamot egy-egy tetszoleges vonalszkasszal jelkepez.
Addig, amig kavicsokkal raktak ki a szamokat csak valamlyen meghatarozott, konkret paros vagy paratlan szamot ( tehat a 6-ot vagy a 7-et) de nem altalaban meghatarozatlanul "valamely szamot" lehetett bemutatni.
A vonalszakasz viszont tetszolegesen jelkepezhetet bamilyen szamot.
Kifejezheto-e ugyanakkor egy-egy szammal barmely ket vonalszakasz egyszerre?"
Valtakozva kivonas.
kiserletek, amelyekkel megallapitottak a monochordon a konszonanciak aranyszamait,
muvelet (algoritmus) euklideszi modszer legnagyobb kozos oszto megtalalasa
(anthyphaireszisz)
nagyobb szambol vonja ki a kisebbet,
majd a kisebbol a maradekot,
mig vegul a maradek 0,
az utolso kivonando a legnagyobb kozos oszto.
I. 28-20=8
II.20-8.(2)=4
III.8-4.(2)=0
Mutatja ez a pelda azt is, hogy a II. lepesben az I.lepes maradekat (a 8-at) ketszer vonjuk ki a III. lepesben is a II. lepes maradekat (a 4-et) a 8-bol.
A "valtakozva kivonas" muveletet Eukleidesznel a VII. Konyvben a 2. tetel alkalmazza e ket szam legnagyobb kozos osztojanak a megtalalasara.
1. tetel azt mondja ki: ha ezt a muveletet (az un. eukleidesi modszert) alkalmazzuk ket szamra, es nem talalunk kozos osztot - mindaddig, amig a maradek 1 lesz -, a ket vizsgalt szam relativ prim.
Az Elemekben a szamokat vonalszakaszok jelkepezik, mint a zeneelmeleti munkakban.
A Sectio Canonis-ban is mind a monochord, mind pedig az egyes hurszakaszok jelkepe egy-egy vonalszakasz.
Valoszinu, hogy a "valtakozva kivonas" muveletet -mielott ezt az aritmetika altalanositotta volna barmely ket szam kozos osztojanak a megtalalasara - eredetileg a monochordon gyakoroltak annak a megallapitasara, mi az aranya annak a ket hurszakasznak, amelynek segitsegevel sikerul letrehozni valamely konszonancia ket hangjat.

A 'valtakozva kivonas' muveletet eredetileg a monochordon gyakoroltak, ket hurszakasz aranyanak megallapitasara, melynek segitsegevel letrehozhato ket konszonancia hangja.
- a kvint konszonancia regi neve: hemiolion diasztema = "egy egesz es egy fel szakasz" (3:2). Mikor nem tudtak meg, hogy a kvinthez harom egyenlo reszre kell osztani a monochordot - elobb mind a harom egyseget, majd a monochord ketharmad reszet kell megszolaltatniuk (3:2), elobb megszolalt az egesz monochord, az AB szakasz; majd empirikus probalgatassal megallapitottak: ha ezutan elnemul az AC szakasz, es csak a hurnak BC darabja szolal meg, akkor ez az utobbi (BC) adja az egesz hur (AB) hangjahoz kapcsolodo kvintet."Egy egesz es egy fel" hosszunak nevezhettek az egesz monochordot (AB) akkor, ha az AC szakasz eppen a fele a BC-nek. Ha BC-t tekintjuk "egy egesz"-nek, akkor AC a "fel".
Ebben az esetben - mint a "valtakozva kivonasnal" is -elobb a kisebb szakaszt (BC) vontak ki a nagyobbol (AB), majd a maradekot (AC) a kisebbol (BC ketszer).
Az aritmetikaban a "valtakozva kivonasnal" a legnagyobb kozos oszto az a mennyiseg, amelyet maradektalanul ki lehet vonni az utolso kisebbitendobol. Az itt bemutatott peldan tehat AC-nek kellene az egysegnek lennie, mert ez van meg maradektalanul mind AB-ben, ind BC-ben; igy lenne a kvint aranyszama csakugyan 3:2, mert AC haromszor van meg AB-ben, es ketszer BC-ben. A regi nev azonban - "egy egesz es egy fel"(1 1/2=3:2) - arra mutat, hogy abban az idoben, amikor ezt a modszert, a"valtakozva kivonas" algoritmusat a monochordon valo kiserletezes soran kialakitottak, megprobaltak azt a szakaszt tekinteni egysegnek,amely a keresett konszonancia masodik hangjat adta. - Igy volt ez a kvartnak az eseteben is.
A kvartnak a regi neve ti. "epitriton diasztema", "egy (egesz) es egyharmad hosszusag" ( 1 1/3=4:3).
Itt is tehat egy idoben azt a hurdarabot tekintettek eysegnek, amely a konszonancia masodik hangjat adta.

Ket kulonbozo, de egymashoz hasonlo kvintet kaptak ugyanazon a monochordon, akar az egesz hur 12 egysege utan szolaltattak meg masodjara 8 egyseget, akar pedig 9 egysegnyi hurdarabbal adtak az elso hangot, es ehhez kapcsoltak masodiknak 6 egyseg hangjat.
A ket arany - 12:8 es 9:6 - ugyanaz volt, mint 3:2.
Ugynez a monochordon a kvarttal i: 12:9=8:6, azaz 4:3.
A megfigyeles pedig az aranyparok egyenlosegere hivhatta fol a figyelmet, es meg valami masra is.
A pythagoreusok a szamokat regebben kavicsokkal raktak ki, gyakran mint geometriai alakzatokat. Tegyuk fel marmost, hogy egy-egy, kavicsokkal kirakott teglalap ket-ket oldalat feleltettek meg annak a harom szamparnak, amely mind egyforman jelolhette pl. a kvintet. Ily modon kaphattak harom olyan teglalapot, amelynek hosszabb oldalait 3,12 es 9, rovidebb oldalait pedig 2,8 es 6 kavics alkotta.
Ezek a teglalapok eppen ugy hasonloak egymas kozott, mint azok a kvintek, amelyeket a megfelelo aranyparok jelkepeznek a monochordon.
A harom kozul a legnagyobb teglalap ket szomszedos oldala - a 12 es a 8 - eppen negyszer akkora, mint a legkisebb teglalap megfelelo oldalai.
A harmadik teglalap ket megfelelo oldala pedig eppen haromszorosa a legkisebb oldalainak.
Innen mar csak egy lepes az aritmetikaban a "hasonlo szamok", illetoleg pontosabban a "hasonlo sik-szamok" fogalma. Eukleidesznel az Elemek VII. konyveben a 22. definicio " hasonlo sik-es test-szamokrol" beszel.

A pythagoreusok barmely szamot -miutan ket tenyezo szorzatara bontottak fel - ugy kezelek, mint 'teglalap szamot".
A ket tenyezo a teglalap ket oldalanak felel meg. A gorog aritmetika a 'tenyezo'(=faktor) fogalmat ugyanazzal a szoval jelolte, mint a sikidom oldalat: pleura.
Ha ket teglalap volt adva, amelyek eseteben a hosszabb es rovidebb oldalak aranya - kulon-kulon-ugyanaz volt, akkor az ilyen ket teglalapot 'hasonlonak" tekintettek.
Ervenyes volt ugyanez ket 'teglalap-szamra' is; ket ilyen szam is "hasonlo" volt egymas kozott, ha ket-ket tenyezoje ugyanazt az aranyt adta.
Vegyuk szemugyre a kovetkezo harom aranypart:
a) 3:2=12:8
b) 3:2=9:8
c)9:6=12:8.
Az elso (a) azt mutatja, hogy a harom egyenlo reszre osztott huron a kvint ugyanannak a ket hurresznek (3 es 2) a hangjat kepviseli, amelyet a tizenket reszre osztott kanonon a negyszer akkora szamok (12 es 8) mutatnak.
A masodik aranypar (b)azt jelzi, hogy a harom reszre osztott monokhord kvintjehez hasonlo kvintet kapunk akkor is, ha a nem teljes hosszusagu hurt es az ennek megfelelo ketharmad reszt szolaltatjuk meg, hanem csak 9 es 6 egysegnyi darabokat mukodtetunk belole.
A harmadik aranyparbol (c) latjuk, hogy ugyanazon a skalan belul elhelyezheto egy magasabb (9:6) es egy melyebb kvint 12:8).