"MIDEI AGEOMETRITOS EISITO" X. (Szabo)

Emlekezteto:
Hippasos korongjai
2:1
4:3
3:2
Hermionei Lassos vizzel toltott edenyei.
Gaudentius leirasa a kanonrol.
Az oktav aranyszama 12:6.
A kvart konszonancia: 12:9.
A kvint aranyszama 12:8.
Monochord
12:6=2:1
4:3=12:9
3:2=12:8
3:2=12:8
Ha mind a 12 egyseg utan elobb ugyananak a hurnak 9 egysege szolalt meg, egy kvartot hallottak (12:9)
Ha 9 egyseg utan 6 egyseget penditettek meg, ez mar kvint volt (9:6)
A ketto egymas utan es egyutt egy oktavot adott (12:6).
Ha a 12 utan 8 egyseget szolaltattak meg, akkor elobb hallottak egy kvintet (12:8)
A 8 egyseg utan viszont a 6 egyseg megpenditese kvartot adott (8:6)
A 12 es a 9 ugyanugy kvart mint a 8 es a 6 (12:9=8:6)
Ugyanigy kvint mind a 12 es 8, mind pedig a 9 es a 6 (12:8=9:6)
Az elso esetben a ket-ket szampar egyforman ugyanazt az aranyt adja, mint a 4:3, a masodikban pedig, mint a 3:2
A ket kvart ugyanugy hasonlo egymashoz, mint a ket kvint
Hogyan adja meg a kvart es a kvint (vagy megforditva: a kvint es a kvart) aranyszamainak osszekapcsolasa az oktav aranyszamat?
A muvelet a kanonon :
12 es a 9 szamok kozotti intervallumhoz (az elso elnemulo hurszakaszhoz) hozzakapcsoltak a 9 es a 6 kozotti intervallumot ( a masodik elnemulo hurszakaszt).
Megforditva: a 12 es a 8 kozotti szakaszhoz hozafuztek a 8 es a 6 kozotti szakaszt.
A ket osszekapcsolas ugyanazt a nagyobb intervallumot, a 12 es a 6 kozotti szakaszt adta. Az aritmetikaban ez az osszekapcsolas szorzas.
12/9+9/6 es 12/8+8/6.
Az osszeadas eredmenye nem az oktav aranyszama:12/6.
Ha szorzunk:
12/9-et szorozzuk a 9/6-dal,
12/8-ot a 8/6-dal
az eredmeny=12/6
A "kanonon" az "osszeadas" szorzas 4/3x3/2=12/6=2/1
Ket intervallum, a kvart es a kvint kozul a kvint a nagyobb
Osszemerjuk oket a kanonon:
a kvint intervalluma a merovesszon a 12 es a 8 szamok koze eso hosszabb szakasz (a kvint ket hangja kozott neman marado hurdarab)
a kvart intervallumat a 12 es a 9 koze eso rovidebb szakasz szemlelteti
A ketto "kulonbsege":
a 9 es a 8 szamjegyek koze eso szakasz
"kivonjuk" a hosszabb hurdarabbol a rovidebbet Ha a kvint es a kvart aranyszaman akarjuk megallapitani, mennyivel nagyobb az elobbi, mint az utobbi,osztanunk kell a kisebbel
12/8:12/9 (vagy akar 3/2:4:3=9/8)
Az osztas eredmenyet tehat csakugyan eppen annak a ket szamnak egymashoz valo viszonya mutatja, amely ket szam a kanonon a "kivonas" maradekat jelolte
A kanon ebbol a szempontbol emlekeztet a logarlecre

"Erdekesek azonban a kanonon vegzett muveletek azert is, mert nyilvan ezek vetettek fol azt a problemat, amelyet a pythagoreusok a kozep keresesenek neveztek. Egyszeru formaban ez a kerdes igy hangzott: hogyan lehet kisebb egysegekre bontani az oktav intervallumat? - Minthogy ezt a kanonon a 12 es a 6 koze eso szakasz szemleltette, mindenekelott kezenfekvonek latszott ezt a szakaszt gondolatban a 9-es szamnal "kettevagni". Mint mondottak: a 9 a szamtani (aritmetikai) kozep a 12 es a 6 kozott, mert 12-9=9-6, vagy 12+6 torve 2-vel=9. A ket resz intervallum mint a hurdarab-hosszusag a 12 es a 9, illetoleg a 9 es a 6 kozott egyenlo ugyan, de mint zenei intervallum az elso (12:9), a kvart a kisebb, a masodik (9:6) a kvint pedig a nagyobb. Mint erdekesseget ki szoktak emelni ezzel kapcsolatban az okoriak azt is, hogy ebben az esetben eppen a nagyobb szamok (12 es 9) jelolik a kisebb intervallumot, mig a kisebb szamok (a 9 es a 6) a nagyobb zenei intervallumnak, a kvintnek a jeloloi."