Na akkor nézzük:

(Nagyon röviden, csak a lényeg.)

Nagy Károly Kvantummechanika könyve alapján.

 

Kiindulás: μd²x/dt² = -Dx.

 

Ahol -D = F/x a rugóállandó, x a tömegpont egydimenziós (természetesen előjeles) kitérése a centrumtól, t az idő, és μ a tömeg. Harmonikus rezgőmozgás, harmonikus oszcillátor, ecetera...

 

[...]

 

(3.13) d²Ψ/dξ² + (k - ξ²)Ψ = 0, ahol (3.12) ξ = x gyök(μω/h_vonás), és (3.11) k = 2E/ωh_vonás.

 

Az egyenlet aszimptotikus alakja (3.14) d²Ψ/dξ² - ξ²Ψ = 0. Ennek megoldása (3.15) Ψ_a = e^-ξ2/2.

 

A (3.13) sajátérték-egyenlet pontos megoldását a (3.16) Ψ = e^-ξ2/2v(ξ) alakban keressük.

 

Ezt a kifejezést vissza kell helyettesíteni (3.13)-ba, és ... végül (3.25) Ψ_n = e^-ξ2/2v_n(ξ), ahol (kiderült) v_n(ξ) a H_n(ξ) n-ed fokú Hermite-polinom (ami valós! nem tekeredik spirálisan, nincs komplex körbeforgás..).

 

Ennyi, tehát az általad félremagyarázott narancssárga függvénygörbe az oszcilláló tömegpont kvantummechanikai megtalálási valószínűség(sűrűség)ének gyöke, azaz az n-edik sajátfüggvény (3.27) Ψ_n = e^-ξ2/2H_n(ξ).

 

Itt nincs mellébeszélés!

 

A QED-nél pedig a hasonló oszcillátoregyenlet (10.16) d²Q_kβ/dt² + ω_k²Q_kβ = 0, ahol dQ_kβ/dt = P_kβ az ("általános impulzusok" és Q_kβ az "általános koordináták")-ra, amik valós mennyiségek. ω_k = kc, ahol k a hullámszámvektor, c a vákuumbeli fénysebesség, β a polarizációs szabadsági fok indexe (1,2 értékeket veszi fel).

 

Akkor ugye az előbbi valós mennyiségek szerinti oszcillátor komplex összetevőkből áll:

 

(10.15) Q_kβ = q_kβ + q^*_kβ  és  P_kβ = -iω_k(q_kβ - q^*_kβ).

 

Ezekre ugyanúgy (a) harmonikus oszcillátoregyenlet áll (10.10) d²q_kβ/dt² + ω_k²q_kβ = 0  és  d²q^*_kβ/dt² + ω_k²q^*_kβ = 0.

Megoldásai (10.14) q_kβ(t) = q_kβ(0)e^-iω_kt  és  q^*_kβ(t) = q^*_kβ(0)e^iω_kt.

 

Ennek megoldása nem Hermite-polinomos, mint a fenti tömegpont oszcillátor esetén, mert az alakja picit azért különbözik (3.13)-tól!!!

 

Na és akkor hol van(nak) ez(ek) az oszcillátor(ok) a QED-ben tulajdonképpen?? Hát a térben, és kiterjedve, mert az elektrodinamikai teret leíró vektorpotenciál szolgáltatja a rá vonatkozó hullámegyenlet alapján:

 

∆A - (1/c²)∂²A/∂t² = 0.  (És most itt div A = 0, valamint a skalárpotenciál nulla.)

 

A vektorpotenciál az oszcillátorok alapján (10.8) A(r,t) = ∑_kβC_kβ[q_kβ(t)e^ikr + q*_kβ(t)e^-ikr], ahol C_kβ = Ce_kβ , ahol e_kβ a polarizációs egységvektor és C a normálási együttható (pl. a 270. oldal alja szerint, vagy egyrészecskés gerjesztettség esetén egységnyi térfogatban egy részecske energia szerint, mint ahogy a Landau könyv írja).

 

 

ÉS itt a lényeg: A szögletes zárójelben látható, hogy az elemi oszcillátorok meg vannak "nyúlva", azaz ki vannak terjedve a térben az e^ikr és e^-ikr tényezők által (spirál forma). Behelyettesítve (10.14)-et:

 

A(r,t) = ∑_kβC_kβ[q_kβ(0)e^{-i(ω_kt - kr)} + q^*_kβ(0)e^{i(ω_kt - kr)}] = ∑_pΨ_p^μ(x) = Ψ^μ(x).

 

Ahol p a négyesimpulzus, μ a négyesvektor index, x a négyeskoordináta.

 

Ebben bevezetve a részecskék (most fotonok) n⁺_kβ keltő és n_kβ eltüntető operátorokat áttérünk az operátor A(r,t)-re (és egyből egyben Heisenberg-képre is):

 

A(r,t) = ∑_kβ[n_kβ(C_kβe^{-i(ω_kt - kr)}) + n⁺_kβ(C_kβe^{i(ω_kt - kr)})] = ∑_pΨ_p^μ(x) = Ψ^μ(x).      :)