Indulj ki abból, hogy 1/n² < 1/n(n-1), azaz 1/n² < 1/n - 1/(n-1).

 

Ezt az egyenlőtlenséget vedd az n=2,3,...,1001 értékekre, majd a kapott egyenlőtlenségeket add össze. Igy pontosan a kívánt egyenlőtlenséget kapod, hiszen a bal oldalak összege

 

1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/1001² ,

 

míg a jobb oldalak összege

 

(1/2-1/1) + (1/3-1/2) + (1/4-1/3) + ... + (1/1000-1/1001) = 1 - 1/1001.

 

Ugyanezt a bizonyítást el lehet mondani másképpen is:

 

Ha f(x) jelöli az x felső egészrészét, akkor a bal oldal nem más, mint az

 

int_[1,1001] 1/f(x)² dx

 

integrál. Az f(x)-et x-re csökkentve az integrál növekszik, tehát

 

int_[1,1001] 1/f(x)² dx < int_[1,1001] 1/x² dx = 1 - 1/1001.