Vázolom a két feladat megoldását, a részletek kidolgozását Rád bízom.
1. Tekintsük a megfelelő Dirichlet-sort:
F(s) := sumk d(k)2/ks.
Ez lokálisan egyenletesen konvergál a Re(s)>1 félsíkban, tehát ott holomorf függvényt ad meg. A sor expliciten kifejezhető mint
F(s) = zeta4(s)/zeta(2s),
a bizonyítás elvégezhető a megfelelő Euler-faktorok összehasonlításával. Ezért F(s) meromorfan kiterjed a Re(s)>1/2 félsíkra, és az egyetlen pólus az s=1 pontban van. Tetszőleges x>0 esetén az F(s)xs/s függvény reziduuma az s=1 pontban c.x.(log x)3, ahol c egy pozitív konstans, nevezetesen
c := (1/6)(1/zeta(2)) = pi-2.
Ezért standard Mellin-transzformáltas technikával (a Perron-formula segítségével) kapjuk, hogy az első összeg aszimptotikusan
sumk<=x d(k)2 ~ c.x.(log x)3,
amint x tart a végtelenhez.
2. Érdemesebb előbb a sumk<=x k/fi(k) összeg aszimptotikus viselkedését megállapítani. A megfelelő Dirichlet-sor most
G(s) := sumk k1-s/fi(k).
Ez lokálisan egyenletesen konvergál a Re(s)>1 félsíkban, tehát ott holomorf függvényt ad meg. A sor expliciten kifejezhető mint
G(s) = zeta(s) prodp (1+p-s/(p-1)),
ahol a jobb oldali szorzat a prímeken fut végig. A bizonyítás megint elvégezhető a megfelelő Euler-faktorok összehasonlításával. Ezért G(s) meromorfan kiterjed a Re(s)>0 félsíkra, és az egyetlen pólus ismét az s=1 pontban van. Tetszőleges x>0 esetén a G(s)xs/s függvény reziduuma az s=1 pontban d.x, ahol d egy pozitív konstans, nevezetesen
d := prodp (1+p-1/(p-1)) = zeta(2)zeta(3)/zeta(6).
Ezért - hasonlóan, mint előbb - kapjuk, hogy
sumk<=x k/fi(k) ~ d.x.
Innen parciális összegzéssel kapjuk, hogy a második összeg aszimptotikusan
sumk<=x 1/fi(k) ~ d.log(x).
P.S. A Dirichlet-soros analitikus bizonyítások átalakíthatók elemibb konvolúciós bizonyításokká, és mindkét módszerből kijön explicit hibatag is. Lásd pl. a 2. fejezetet Montgomery-Vaughan: Multiplicative Number Theory I. könyvében, és a feladatokat is nézd meg. Egyébként a feladataid nem ebbe a topikba valók, de ezt asszem már sokszor elmondtam.
