Akkor leírom lépésenként, csak szólj, hogy hol akadtál el.
A) Van egy derékszögű koordinátarendszerben két pont, (x1,y1) és (x2,y2).
A két pontot összekötő szakasz felezőpontjának a koordinátái
x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2.
B) A feladat szerint adva van a síkon n pont, amik egy n oldalú sokszög oldalfelező pontjai. Legyenek ezek koordinátái rendre (u1,v1), (u2,v2), ... (un,vn).
Keressük a sokszög csúcsainak (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn) koordinátáit.
C) Írjuk fel az A) pontbeli egyenleteket az összes felezőpontra. Az egyszerűség kedvéért 2-vel szorozzuk be a két oldalt, akkor nem kell zárójelezni:
2u1=x1+x2 2v1=y1+y2
2u2=x2+x3 2v2=y2+y3
2u3=x3+x4 2v3=y3+y4
...
2un-1=xn-1+xn 2vn-1=yn-1+yn
2un =xn +x1 2vn =yn +y1
D) Mindkét koordinátára adjuk össze a páratlan indexű felezőpontokra vonatkozó egyenleteket, aztán a páros indexű felezőpontoktra vonatkozóakat. Ha n páratlan, akkor az utolsó egyenlet sz első összegbe kerül, így az első összeg eggyel több tagból fog állni, mint a második:
2u1+2u3+...+2un=x1+x2+x3+x4+...+xn+x1
2u2+2u4+...+2un-1=x2+x3+x4+x5+...+xn-1+xn
és
2v1+2v3+...+2vn=y1+y2+y3+y4+...+yn+y1
2v2+2v4+...+2vn-1=y2+y3+y4+y5+...+yn-1+yn
E) Kivonva az első egyenletből a másodikat, a bal oldalon lesz egy a megadott pontok koordinátáitól függő szám, a jobb oldalon minden kiesik kivéve az x1 és az y1, ami csak a páratlan indexű összegben szerepel:
2u1-2u2+2u3-2u4+...-2un-1+2un=2x1
2v1-2v2+2v3-2v4+...-2vn-1+2vn=2y1
Ezzel megvan az első csúcspont (x1,y1) koordinátája, a C) pontbeli egyenletekbe visszahelyettesítve szépen sorban megkapjuk a többit.
F) Páros számú pont esetén páros számú egyenletünk van, az utolsó elűtti egyenlet az első összegbe keröl, az utolsó a másodikba, a klt összeg azonos számú tagbül fog állni:
2u1+2u3+...+2un-1=x1+x2+x3+x4+...+xn
2u2+2u4+...+2un=x2+x3+x4+x5+...xn-1+xn+x1
és
2v1+2v3+...+2vn-1=y1+y2+y3+y4+...yn
2v2+2v4+...+2vn=y2+y3+y4+y5+...yn-1+yn+y1
G) Ezeket kivonva egymásból a bal oldalon lesz egy a megadott pontok koordinátáitól függő szám, a jobb oldalon viszont minden kiesik, marad egy nagy nulla. Na, mármost a pontok koordinátáiból kijövő szám vagy tényleg nulla, és akkor azonosságra jutottunk, vagy nem nulla, és akkor ellentmondásra, de a csúcspontok koordinátáiról csak annyit mondhatunk, hogy ez egyk esetben az (x1,y1) csúcspontot bárhol vesszük fel, a C)-ben megadott egyenletekből a többit kiszámolva jó megoldást kapunk, a másik esetben meg nincs ilyen (x1,y1) pont, nincs ilyen sokszög.
