Szóval lehet, hogy f(K-{k}) mindig <m, például.
Igazad van, nem voltam elég precíz. Elmondom a javított verziót konkrétabban és részletesebben.
Tegyük fel, hogy az f:(0,1)2->(0,1) injekció folytonos a K nyílt körlemezen. Jelölje g az f megszorítását a K-ra, tehát g:K->(0,1) folytonos és injektív. Legyen a,b,c három pont a K-ban, amik nincsenek egy egyenesen. Ekkor f(a),f(b),f(c) három különböző szám a (0,1)-ben. Az általánosság megszorítása nélkül f(a)<f(b)<f(c). Az a-t és a c-t összekötő szakasz pontjai az (1-t)*a+t*c alakban adhatók meg, ahol t a [0,1] intervallumon fut végig. Ez a szakasz a K-ban helyezkedik el, ezért h(t):=f((1-t)*a+t*c) egy folytonos függvény a [0,1]-ből a (0,1)-be. Tudjuk, hogy h(0)=f(a) és h(1)=f(c), vagyis a Bolzano-tétel miatt valamilyen 0<t<1 számra h(t)=f(b). Az f injektivitása miatt erre a t-re teljesül, hogy (1-t)*a+t*c=b, vagyis b az a-t és a c-t összekötő szakaszon fekszik. Ellentmondás.
