A metrikus tenzor (abban az értelemben, ahogy Te használod) nem más, mint a téren adott skalárszorzat koordinátái egy adott bázisra nézve, mátrixalakban elrendezve: (<i,i> <i,j> | <j,i> <j,j>). Ez egy szimmetrikus mátrix, ami tehát diagonizálható, és ha diagonizáljuk, akkor az átlóban a sajátértékek fognak állni. A sajátértékek előjeleit (a sorrendtől eltekintve) a mátrix szignatúrájának hívjuk, és ez csakis a kiindulási skalárszorzattól függ. Magyarán egy báziscsere nem változtatja meg a metrikus tenzor szignatúráját. Továbbá ez a metrikus tenzor egyetlen invariánsa a jelen szituációban, lásd itt.

Amúgy a bizonyítás nagyon egyszerű: a szignatúra azt adja meg (tetszőleges bázisban), hogy hány dimenziós a legnagyobb altér, amin a skalárszorzat pozitív definit (ez a pozitív sajátértékek száma), illetve negatív definit (ez a negatív sajátértékek száma).

Röviden: amin töprengsz, az egy egyszerű tény a lineáris algebrából: két valós szimmetrikus mátrix akkor és csak akkor írja le ugyanazt a szimmetrikus bilineáris formát két különböző bázisban, ha a szignatúrájuk megegyezik.