Keresés

Részletes keresés

Gergo73 Creative Commons License 2015.05.17 0 0 88

Köszönöm szépen az érdekes cikket! Egyetértek abban, hogy az euklideszi geometria érvényességétől függetlenül (a fizikai világban) is lehet "mérni a pi-t", de persze ilyenkor is igazából a keretelméletnek az adott felhasználását vagy felhasználhatóságát teszteljük (a példában a valószínűségszámítást és a tűdobálást). Az is egy mérés, hogy egy számítógépbe beprogramozzuk a pi-re vonatkozó kedvenc formulánkat, és várjuk, mit dob ki a gép: ilyenkor egyszerre "mérjük a pi-t" és teszteljük a számítógépünket. Emlékezetes példa, amikor az ikerprím-konstanst hibásan számolta a Pentium chip és az utóbbit vissza kellett hívni (az ikerprím-konstans pedig maradt).

Előzmény: hausdorff (87)
hausdorff Creative Commons License 2015.05.17 0 0 87
Előzmény: Gergo73 (86)
Gergo73 Creative Commons License 2015.05.17 0 0 86

Szokták próbálni a pi értékét meghatározni a fizikai valóságban?

 

Nem. Egyrészt Einstein óta tudjuk, hogy az euklideszi geometria csak közelítőleg érvényes a világban, olyannyira, hogy a kerület és az átmérő hányadosa minden fizikai körnél más és más (persze a gyakorlatban mindig a pi-nek nevezett szám környékén van). Az általános relativitáselmélet nagyon precíz állításokat fogalmaz meg a tér (pontosabban a téridő) geometriájára vonatkozóan, és ezt igyekeznek ellenőrizni minél pontosabb mérésekkel. Ilyen értelemben az euklideszi geometria lejárt lemez a fizikában, pontosabban csak egy közelítő modell, aminek érvényességi területe ismert.

 

Ugyanakkor azt még régebb óta tudják, hogy a hagyományos mérőeszközökkel (vonalzó, madzag stb.) dolgozva az euklideszi geometria hibátlannak mutatkozik, tehát az eltérés tőle a mérési hibán belül marad. Természetesen a Föld felszínén nem az euklideszi geometriát érdemes használni, hanem a gömbi geometriát, de ezt Einstein előtt is tudta mindenki (szerintem még maga Euklidész is, hiszen biztos tudta, hogy a Föld gömbölyű).

 

Még valami: nem jó keverni a matematikát és a fizikát. A pi egy matematikai fogalom, ezt jobb egyszer és mindenkorra tisztázni, és egyetlen pi-vel jelzett szám van.

 

ha 3 dimenziós tér valójában gömb felület lenne

 

A 3-dimenziós tér nem lehet gömbfelület, mert az utóbbi 2-dimenziós. Lehetne persze egy 4-dimenziós gömb 3-dimenziós határa, de tudjuk, hogy nem az.

 

a nagyon nagy, a végtelen átmérőjű kör kerülete az lenne ugyebár

 

A körnek definíció szerint véges az átmérője, és így a kerülete is. Nincs olyan, hogy végtelen átmérőjű kör.

 

Előzmény: zöldkomcsi. (85)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.16 0 0 85

Szokták próbálni a pi értékét meghatározni a fizikai valóságban? Olyasmire gondolok, hogy ha 3 dimenziós tér valójában gömb felület lenne akkor ugyebár minél nagyobb kört rajzolunk.... a nagyon nagy, a végtelen átmérőjű kör kerülete az lenne ugyebár 0? (-: De hogyan is alakul közben ha a 3 dimenziós tér egy végtelen nagy átmérőjű gömb felülete?

(gondolom ha egy hajó útját számítják ki a földön már akkor se 3.14.... ? )

zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.16 0 0 84

(-: nagyon érdekes! (-:

Előzmény: Gergo73 (81)
Gergo73 Creative Commons License 2015.05.16 0 0 81

A bizonyítást könnyebb végiggondolni, mint sok tizedesjegyre kiszámolni.

 

Egyébként ez egy ismert dolog geometriából, úgy szokták fogalmazni, hogy egy érintősokszög területe megegyezik a félkerület és a beírt kör sugarának szorzatával. Angolul lásd pl. itt.

Előzmény: zöldkomcsi. (80)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.15 0 0 80

A bizonyítást nem volt időm még végig gondolni, de kiszámolva sok tizedesjegyig egyezik az biztos.

Előzmény: pk1 (77)
pk1 Creative Commons License 2015.05.15 0 0 79

A bizonyítás ott van, tagadhatatlan, de nem a szó szerinti kérdésé, hanem az értelem szerintié. ;)

Előzmény: mmormota (78)
mmormota Creative Commons License 2015.05.15 0 0 78

Ezt hogy érted? A másik 77-es (!) hozzászólásban ott a bizonyítás.

Előzmény: pk1 (77)
pk1 Creative Commons License 2015.05.15 0 0 77

Nem, ez soha nem igaz. ;)

Előzmény: zöldkomcsi. (76)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.15 0 0 76

Ilyen egyszerű? (-: Köszi! (-:

Előzmény: Gergo73 (77)
Gergo73 Creative Commons License 2015.05.13 0 0 77

Vagy minden szabályos síkidomra érvényes ez?

 

Igen. Sőt, minden érintősokszögre igaz ez.

 

Bizonyítás. Vegyünk egy érintősokszöget, és jelölje r a beírt kör sugarát. Minden oldal r távolságra van a középponttól, ezért ez az oldal a középponttal egy olyan háromszöget határoz meg, aminek területe (r/2)-szerese az oldal hosszának. A sokszög területe ezen háromszögek területének összege, tehát a terület a kerület (r/2)-szerese. Ugyanakkor a kör területe pi.r2, kerülete 2pi.r, tehát a körre is igaz, hogy a terület a kerület (r/2)-szerese. Kész.

 

Megjegyzés. A megfigyel összefüggés nem véletlen, hiszen a kör előáll az érintősokszögeinek határértékeként. Mivel minden érintősokszögnél a terület a kerület (r/2)-szerese, ezért ez a tulajdonság fenn kell, hogy álljon a kör esetében is.

 

Egyébként van egy csomó topik, ahol feltehetted volna ezt a kérdést: topik1, topik2, topik3, topik4, topik5, topik6.

Előzmény: zöldkomcsi. (76)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.13 0 0 76

Nem hinném, hogy ide tartozik de nem látok más pís topicot. Érdekes? vagy nem? Egy négyzetbe írható kör területe és kerülete pontosan úgy aránylik egymáshoz mint a négyzet kerülete és területe. Nem próbáltam bizonyítani, csak kiszámoltattam géppel sok tizedesjegyig.

Vagy minden szabályos síkidomra érvényes ez?

Gergo73 Creative Commons License 2015.05.09 0 0 75

a pí számértékének meghatározása, az szerintem levezetés

 

Igen, de Te azt mondtad, hogy "a pi levezetése", aminek nincs értelme, én erre reflektáltam. A pi az egy szám (fogalom), nincs mit rajta levezetni.

 

A számérték bármiféle meghatározása természetesen levezetés, de előtte tisztázni kell, hogy mit is értsünk "meghatározáson", hiszen ez egy szubjektív dolog (avagy kulturális dolog).

 

Érthetjük alatta azt, hogy sorra találjuk meg a pi tizedesjegyeit, azaz: 3<pi<4, majd 3.1<pi<3.2, majd 3.14<pi<3.15, majd 3.141<pi<3.142, stb. Ezek mind korrekt tételek, tehát van bizonyításuk (levezetésük).

Előzmény: zöldkomcsi. (74)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.09 0 0 74

.... a pí számértékének meghatározása, az szerintem levezetés.

Előzmény: Gergo73 (72)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.09 0 0 73

"Az aranymetszés az más tészta."

 

hááááát........ nem tu'om.... (-: majd mondom ha eszembejut valami. (-:

Előzmény: Gergo73 (72)
Gergo73 Creative Commons License 2015.05.09 0 0 72

A pi-n nincs mit levezetni, hiszen az csak egy jelölés. Van egy tétel az euklideszi geometriában, miszerint minden kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanaz a szám. Ezt a számot jelöljük pi-vel. (Persze vannak más definíciók is, de mindig ugyanezt a pi-t adják meg.)

 

Levezetni a pi-ről szóló egyéb állításokat lehet. Pl. le lehet vezetni, hogy 3.14<pi<3.15, vagy

 

pi/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 +-...

 

vagy

 

pi2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + ...

 

vagy

 

az egységgömb felszíne 4*pi és a térfogata (4/3)*pi

 

vagy

 

pi nem egyenlő két egész szám hányadosával.

 

Az aranymetszés az más tészta. Az egy tételhez kapcsolódik, miszerint ha egy szakaszt úgy osztunk fel, hogy az egész a nagyobb részhez úgy arányoljon, mint a nagyobb rész a kisebbhez, akkor ez a közös arány az (1+gyök(5))/2. Ezt az arányt hívják az aranymetszés számának, és erre az arányra nincs értelme külön jelölést bevezetni, hiszen a standard korábbi jelölésekből (négy alapművelet és gyökvonás) kifejezhető.

Előzmény: zöldkomcsi. (71)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.09 0 0 71

A pí levezetése kissé bonyolult de a fí az aranymetszés levezetése egyszerűbb, annál azt hiszem világos, hogy az sem lehet pontosan 6.

Előzmény: Gergo73 (70)
Gergo73 Creative Commons License 2015.05.08 0 0 70

Nem mondtam, hogy butaság, hanem csak tisztáztam a dolgot. Ettől persze értettem a topiknyitó kérdést, és mondtam arra is valamit.

 

A lényeg, hogy a pi inkább definíció, mint axióma kérdése. Az axiómák állítások, a pi=3 állítás pedig csak akkor értelmes, ha a pi-t már definiáltuk vagy ha más axiómákban is szerepel. Pl. vehetnénk két axiómát: (1) pi=3, (2) a körkerület az átmérő pi-szerese. Ezt persze rögtön egyszerűsítenénk erre: (3) a körkerület az átmérő háromszorosa. És akkor a kérdés az, hogy mi legyen a többi axióma, és ezekkel megfér-e a (3). Ez harmonizál azzal, hogy "Mit is értsünk geometrián?"

Előzmény: zöldkomcsi. (69)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.08 0 0 69

....na igen....ez már csak azért is butaság, mert a topic arról szólna, nem arról, hogy deffiniáljuk újra, hanem van e olyan geometria...(-:

Előzmény: Gergo73 (67)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.08 0 0 68

(-: nem tudom hová is akartam kilyukadni (-: , hogy axiómát "csinálni" belőle.

Végül is a "2" fogalmát, illetve annak felét az egységet deffiniálná, mert azt mondanánk, hogy a "2" az a szám ahányszor a kör átmérője megvan a kerületében.

Zavaros? Lehet. )-:

Előzmény: Gergo73 (67)
Gergo73 Creative Commons License 2015.05.08 0 0 67

A pi definíció szerint az euklideszi körkerület és körátmérő aránya. Ez a p=2 eset az előző üzenetemben. Tehát nem axióma adja meg a pi-t, hanem egy definíció, amiben megállapodtunk. Egy másik univerzumban (vagy egy másik bolygón) jelölhet a pi bármi mást.

Előzmény: zöldkomcsi. (64)
Gergo73 Creative Commons License 2015.05.08 0 0 66

Itt az a kérdés, hogy mit nevezünk geometriának. Mindenesetre a síkon van olyan norma, amivel minden kör kerületének és átmérőjének az aránya 3. Az Lp normára gondolok alkalmas p-vel:

 

|(x,y)|p := (|x|p+|y|p)1/p.

 

Könnyű látni, hogy a körkerület és a körátmérő aránya egy cp konstans. Továbbá

 

c1 = 81/2 < 3 (mert az egységkör egy 2 átmérőjű négyzet), illetve persze

 

c2 = pi > 3,

 

tehát valamilyen 1<p<2 esetén cp = 3.

 

Előzmény: mmormota (65)
mmormota Creative Commons License 2015.05.08 0 0 65

Gondolom miért ne. Mondjuk egy olyan geometriában, amiben nincs is más mint egyetlen körnek definiált valami, és az olyan... :-)

A kérdés inkább az, hogy létezhet-e értelmes geometria állandó értékű kerület/átmérő arányú körökkel, amelyben nem a normál pi az arány. (fogalmam sincs)

Előzmény: zöldkomcsi. (64)
zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.08 0 0 64

Lehet e axióma a pí értéke?

zöldkomcsi. Creative Commons License 2015.05.07 0 0 63

Vagy egyáltalán ahol egész szám?

mmormota Creative Commons License 2015.05.05 0 0 62

Nem az igazi, mert ahány kör annyiféle a kerület/átmérő. 

Előzmény: Bozonth (61)
Bozonth Creative Commons License 2014.11.15 0 0 61

Ehrenfest-paradoxon? Ha pont a megfelelő szögsebességgel megforgatunk egy korongot, lehet a Pi=3.

nadamhu Creative Commons License 2014.06.12 0 0 60

" Az irányok számának növelésével azonban megmarad az a tulajdonság, hogy 2 pont között (amennyiben az összekötő szakaszuk nem párhuzamos semelyik kiválasztott iránnyal) végtelen sok legrövidebb út van. Ez azért lényeges eltérés az euklídeszitől."

 

Igen, viszont PI értéke tart ez euklideszi PI-hez, ahogy n tart a végtelenhez. (Nem bizonyítottam, de elég egyértelműnek látszik).

 

További sejtéseim:

 

Ahogyan vesszük G(n) - eket 4-től kezdve felfelé páros n-ekre:

 

G(6)-ban minimális a PI. Semelyik másik geometriában nem lesz PI 3 vagy annál kisebb.

 

G(4)-ben maximális PI, Semelyik másik geometriában nem lesz PI 4 vagy annál nagyobb.

 

Ezeket nem bizonyítottam, csak sejtem.

Előzmény: 1man (58)
nadamhu Creative Commons License 2014.06.12 0 0 59

"Az euklídeszivel ellentétben itt nincs egyetlen legrövidebb út"

 

Termeszetesen ezt tudom, megint csak a mondatot nem irtam eleg precizen. Gondold el, hogy mindaz, amit nem irtam eleg precizen, mind ugy van a taxisofor geometriaban is, az en hozzajarulasom csak annyi volt, hogy az iranyok szamat negyrol hatra emeltem.

Előzmény: 1man (58)

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!