Keresés

Részletes keresés
Így működik

Bővebben az új keresőről

hausdorff 2014.07.22 10:37:04 © 11830

Dörrie "A diadalmas matematika" c. könyvének (Gondolat, 1965) 72-73 oldalán megmutatja, hogyan lehet az ismert sorokkal logaritmusértékeket számolni.

Az ln((1+x)/(1-x))=2(x+x3/3+...) képlet x=1/3-ra gyors közelítést ad ln 2-re. ln 5-hoz az ln(1+x) képletét x=3/125-re alkalmazva ln(128/15)=7ln 2- 3ln 5-öt tudjuk számolni. ln 3

pedig úgy kapható, hogy ln(1+x) sorát 1/80-adra alkalmazva ln(81/80)=4ln 3 -ln 5 - 4ln2-t

számítjuk ki, itt mindent ismerünk, kivéve ln 3-at. Végül persze lg 81=ln 81/ln 10= 4 ln 3/(ln 2 +ln 5).

Előzmény: masterflash (11817)
Gergo73 2014.07.21 08:37:26 © 11829

OK, és köszönöm az észrevételt!

Előzmény: magyarpityu (11828)
magyarpityu 2014.07.21 08:35:25 © 11828

Igen, és ez még szebb megoldás is, mint amit írtam :))

Előzmény: Gergo73 (11826)
magyarpityu 2014.07.21 08:32:06 © 11827

A 81-ből és a 10-ből érdemes kiemelni a legnagyobb e-hatványt, ami még kisebb nála - írtad, ami valóban rendben is van erre a két számra (de a módszer így nem alkalmazható általánosan, pl. 7 esetén sem, és még végtelen sok esetben sem). Amúgy én is elírtam, a 2) pontban nem x > e, hanem x > 2 kell szerepeljen!

 

Nem azzal van gond, amit a 81 és a 10 két speciális esettel kapcsolatban írtál, hanem a precízség hagy némi kívánnivalót maga után, mert hiszen más számok esetén is érdekes lehet, hogy miként számítható ki a logaritmus :))

Előzmény: Gergo73 (11825)
Gergo73 2014.07.21 08:31:45 © 11826

Már értem, mit akarsz mondani: hogy nekem szerencsém volt, hogy csak 1 és 2 közötti számok logaritmusai jöttek elő. Ezen lehet segíteni egyszerűbben, mint ahogy Te javaslod:

 

Ha x>0 tetszőleges, és ln(x)-re vagyunk kíváncsiak, akkor írjuk fel x-et egyértelműen mint x=eny, ahol n egész és 1/e<y<=1. Ekkor ln(x)=n+ln(y), és ln(y)-ra már használható a sorfejtés. Nevezetesen, legyen z:=1-y, ekkor 0<=z<1-1/e, vagyis ln(y) = ln(1-z) = -z-z2/2-z3/3-... konvergens.

Előzmény: magyarpityu (11824)
Gergo73 2014.07.21 08:21:16 © 11825

Az ln(1+x) sorfejtését csak 0<=x<1 értékekre használtam, nevezetesen erre a két értékre:

 

x=0.48357, hogy megkapjam az ln(1.48357)-et

 

x=0.35335, hogy megkapjam az ln(1.35335)-et

 

Javaslom, hogy olvasd el újra (és gondosan) az üzenetemet.

Előzmény: magyarpityu (11824)
magyarpityu 2014.07.21 07:58:39 © 11824

Sziasztok!


Van még egy hiba, ami talán fontosabb az elírásnál! Nevezetesen, mivel a jelzett sor csak 0 <= x < 1 esetben ad értelmes megoldást, ezért szükség van erre a kiegészítésre:


1) lg(x) = ln(x)/ln(10). A ln(10) értéket az alábbi algoritmus szerint csak egyszer kell kiszámolni, a továbbiakban ezzel az értékkel konstansként lehet számolni.


2) ln(x) kiszámítása előtt az x-et x > e esetén x = e^n + y, egyébként (ha x > 0) x = e^(-n) + y alakra kell hozni, ahol (mindkét esetben) n az a legkisebb egész, hogy 0 < y < 2 igaz legyen.


3) Mivel 0 < y < 2, ezért használhatjuk a ln(1+z) = z - z^2/2 + z^3/3 - z^4/3 +- ... sort, ahol z = y-1 (mivel -1 < z < 1, ezért a sor konvergens).


Lásd pl. ln(7) kiszámítása.

Előzmény: Gergo73 (11823)
Gergo73 2014.07.18 15:59:36 © 11823

Ebben az üzenetben több elírás van, ezért újraírom.

 

Ki lehet számolni papíron is, hiszen készültek pontos táblázatok már évszázadokkal ezelőtt is.

 

Az lg(81) a 81-nek a 10-es alapú logaritmusa, ami kifejezhető a természetes logaritmussal mint ln(81)/ln(10). A 81-ből és a 10-ből érdemes kiemelni a legnagyobb e-hatványt, ami még kisebb nála:

 

81 = e4 * 1.48357, vagyis ln(81) = 4 + ln(1.48357)

 

10 = e2 * 1.35335, vagyis ln(10) = 2 + ln(1.35335)

 

Tehát elég kiszámolni jó közelítéssel az ln(1.48357) és az ln(1.35335) értékeket.

 

Erre használható az ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + x5/5 - ... képlet: minél több tagot veszünk figyelembe, annál pontosabb a közelítés. Pl. a feltüntetett 5 tagot használva közelítőleg

 

ln(1.48357) = 0.395961, illetve ln(1.35335) = 0.302832, tehát

 

lg(81) = (4 + ln(1.48357))/(2 + ln(1.35335)) = 4.395961/2.302832 = 1.90894

 

A valóságban lg(81) = 1.908485019, tehát a közelítésünk hibája 0.2 ezrelék alatt van.

 

Több tagot figyelembe véve a közelítés tetszőleges pontossá tehető, így működnek a számológépek is. Persze lehet számolni másképpen is.

Előzmény: Gergo73 (11818)
Gergo73 2014.07.18 15:32:05 © 11822

Valóban elírtam, köszönöm a javítást! A pontos képlet

 

ln(1+x) = sumn>0 (-1)n-1 xn/n

Előzmény: Hazavágyó (11821)
Hazavágyó 2014.07.18 11:45:40 © 11821

Bocs elszúrtam, helyesen: x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + x5/5 -...

Előzmény: Hazavágyó (11820)
Hazavágyó 2014.07.18 11:43:30 © 11820

Ebben elírások vannak:

" ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 + x4/4 - x5/5 + ... "

Helyesen:

   ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + x5/5 + ...

Előzmény: Gergo73 (11818)
NevemTeve 2014.07.17 20:59:52 © 11819

Sőt, célhardware is van a dologra: https://hu.wikipedia.org/wiki/Logarl%C3%A9c

Előzmény: masterflash (11817)
Gergo73 2014.07.17 18:13:57 © 11818

Ki lehet számolni papíron is, hiszen készültek pontos táblázatok már évszázadokkal ezelőtt is.

 

Az lg(81) a 81-nek a 10-es alapú logaritmusa, ami kifejezhető a természetes logaritmussal mint ln(81)/ln(10). A 81-ből és a 10-ből érdemes kiemelni a legnagyobb e-hatványt, ami még kisebb nála:

 

81 = e4 * 1.48357, vagyis ln(81) = 4 + ln(1.48357)

 

10 = e2 * 1.35335, vagyis ln(10) = 2 + ln(1.35335)

 

Tehát elég kiszámolni jó közelítéssel az ln(1.48357) és az ln(1.35335) értékeket.

 

Erre használható az ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 + x4/4 - x5/5 + ... képlet: minél több tagot veszünk figyelembe, annál pontosabb a közelítés. Pl. a feltüntetett 5 tagot használva közelítőleg

 

ln(1.48357) = 0.398695, illetve ln(1.35335) = 0.303612, tehát

 

lg(81) = (4 + ln(1.48357))/(2 + ln(1.35335)) = 4.398695/2.303612 = 1.90948

 

A valóságban lg(81) = 1.908485019, tehát a közelítésünk hibája 1 ezrelék alatt van.

 

Több tagot figyelembe véve a közelítés tetszőleges pontossá tehető, így működnek a számológépek is. Persze lehet számolni másképpen is.

Előzmény: masterflash (11817)
masterflash 2014.07.17 17:28:59 © 11817

Sziasztok!

 

Logaritmust lehet papíron számolni? Mondjuk lg81 mennyi?

Számológéppel ki tudom számolni, csak az érdekelne, hogy ez úgy működik, hogy végig számolgatjuk a hatványokat és abból lesz egy táblázat amiből visszakereshető? Vagy ki lehet számolni papíron is?

amplitudinis2 2014.07.12 09:49:01 © 11816

itt ugye r1 helyvektor az erintesi pontba mutató helyvektor.

 

Előzmény: amplitudinis2 (11815)
amplitudinis2 2014.07.12 09:41:07 © 11815

A három kör ugyanazt az oldalegyenest erinti.

A görbületi közeppontok helyvektora r=r1+ro*n

n az oldalegyenes egy normálvektora.

Ezt alfa szögű egyenesvonalú koordinatarendszerben felírva, 

b es c oldal egyenese például a koordinátavonal.

Akkor ebben fel kell írni az eredeti háromszögbe írható kör középpontjának koordinátáit ami az alfa szög

szögfelező egyenesén biztos rajta van.

 

Előzmény: DeeDee78 (11814)
DeeDee78 2014.07.11 20:37:22 © 11814

Köszi szépen a tippeket, elég macerásnak tünik a megoldás.

Előzetes keresgélés közben a következő, elegáns megoldást találtam:

 

1/rb = 1/ρ + 1/b*sinα'
ill.
1/rc = 1/ρ + 1/c*sinα'

 

ahol
rb - a 'b' oldali
rc - a 'c' oldali
részbe írható kör sugara
ρ - az alapháromszög beírható körének sugara
α' = α/2 - a félszög

 

Kipróbáltam, jó a megoldás!
Igazándiból arra lettem volna ill. lennék még mindig kíváncsi, hogy jött ki a fenti két képlet.
Bocs, hogy nem ezzel kezdtem, volna valakinek ötlete vagy netán levezetése?

amplitudinis2 2014.07.07 09:40:41 © 11813

tegyük fel, alfa szöget felezed és a szöggel szemközti oldal a.

akkor 

f=gyök( bc(b+c-a)(b+c+a))./(b+c)

az a oldalhoz tartozó szögfelező hossza.

Ezzeel visszavezetett a téma az előzőkre.

 

Előzmény: DeeDee78 (11811)
NevemTeve 2014.07.07 05:09:21 © 11812

Szvsz az éppen az egyes háromszögbe írható kör lesz, annak sugara a T=(1/2)rK képletből megkapható. Hogy megkapd a hiányzó oldalakat és szögeket, használhatod a koszinusztételt és a szögfelezőtételt.

Előzmény: DeeDee78 (11811)
DeeDee78 2014.07.07 00:57:16 © 11811

Mekkora a szögfelező által kettéosztott, oldalaival adott háromszög részeibe írható legnagyobb kör sugara?

DeeDee78 2014.07.07 00:42:21 © 11810

Úgy tűnik, le lehet zárni a témát, nincs új ötlet.

Nagyon szépen köszönöm a megoldást, a hozzászólásokat, mindegyik tanulságos volt.

 

amplitudinis2 2014.06.25 12:49:02 © 11809

Na most meg az történt, hogy úgy láttam, az előző nem ment el.

Ezért leírtam mégegyszer, de nem ugyanúgy:-) 

 

Előzmény: amplitudinis2 (11808)
amplitudinis2 2014.06.25 12:47:09 © 11808

Mobilról szoktam írni. Ezért tömören. Másrészt nem feltételezem, hogy nem ismeritek.

De majd ezentúl csak kidolgozott megoldásokat írok majd

Hasonlóan akkor az adatokból adott a beirt kör  ro sugara is, mert

ro=(s-a)tg(alfa/2)=(s-b)tg (beta/2)=(s-c) tg (gamma/2)=

=4rsin(alfa/2)sin(beta/2)sin(gamma/2)=stg(alfa/2)tg(beta/2) tg( gamma/2)

Ebből is memondható mondjuk most gamma szög

Akkor  2s,2ro,8r átmérőjű koncentrikus félkörökön f(s,alfa,r) illetve g( s, alfa,ro) függvények 

Ellipszisek, hiszen a beta, gamma szögek szárain vannak ellipszis pontok.

 

 

Előzmény: Gergo73 (11804)
amplitudinis2 2014.06.25 12:05:54 © 11807

Egyrészt spórolósan írok, mert csak mobilról írok,  másrészt nem feltételezem, hogy nem tudjátok.

 

Akkor ugye azt is mondhatom, adott a beírt kör ro sugara is, mert

ro=(s-a)tg (alfa/2)=(s-b)tg(beta/2)=(s-c)tg ( gamma/2)=4r sin (alfa/2)sin(beta/2)sin(gamma/2)=

= stg(alfa/2)*tg(beta/2)*tg(gamma/2)

Ebből mondjuk gamma szöget megkapom. Hogyan?

...... 

 

 

Akkor vegyük 8r, 2ro, 2s sugarú koncentrikus köröket, s félkerület

Ebben gamma szög mindkét körön rajta van

Beta is mindket körön rajta van

Akkor az f(s,alfa) ellipszis pontjai.

.............................

Előzmény: Gergo73 (11806)
Gergo73 2014.06.25 02:17:28 © 11806

Ez rendben van, de miért csak most magyarázod el? Enélkül a számolás nélkül értelmetlen azt mondani, hogy "felmérek beta/2" szöget. Magyarán ennek az üzenetnek meg kellett volna előznie a 11803-es üzenetet. Valójában a két üzenetnek együtt kellett volna megjelennie a 11800-as üzenettel.

 

Csak azért mondom mindezt, mert így senki se fogja érteni, mit akarsz mondani.

Előzmény: amplitudinis2 (11805)
amplitudinis2 2014.06.25 01:49:48 © 11805

Igen. A képlet jobboldala igy egy szakaszra vihető.

De nem kell felmérni. Hanem:

2s/8rcos (alfa/2) =p

Vagyis cos beta/2.cos gamma/2=p

 

Akkor a szögek különbsége koszinusza cos (beta/2-gamma/2)= 2p-cos (pi/2-alfa/2)

Ez szerkeszthető

Ennek arcusz koszinusza is szerkeszthető

Akkor a 

Beta=pi/2.-alfa/2+arc cos (2p-cos(pi/2-alfa/2)

 

Előzmény: Gergo73 (11804)
Gergo73 2014.06.24 22:55:16 © 11804

Ezzel megint körívet rajzolok felmérek beta /2 szöget

 

Hogy méred fel a beta/2 szöget, ha a beta nem ismert? Ami ismert: r, s, a, alfa.

 

Előzmény: amplitudinis2 (11803)
amplitudinis2 2014.06.24 22:37:56 © 11803

Úgy értemeztem, hogy keressünk másik szerkesztési módszert. Nem feltétlenül egyszerűbbet.

Felmérem 8r és 2s hosszakat egy félegyenes kezdőpontjába.

8r sugarú kör alfa /2 szögének koszinusza tehát 8rcos alfa/2

Ezzel megint körívet rajzolok felmérek beta /2 szöget a koszinusza 8r cos alfa/2 cos beta/2

Ez elég is , mert egy oldal és két szög ismeretében a háromszög megszerkeszthető.

 

Előzmény: Gergo73 (11801)
amplitudinis2 2014.06.24 21:36:17 © 11802

Vagy cos (alfa/2)=gyök(s(s-a))/gyök(bc)

b+c adott, alfa, s is

Sokféle összefüggesből megszerkeszthető hiányzó adat.

 

Előzmény: amplitudinis2 (11800)
Gergo73 2014.06.24 21:10:55 © 11801

adott a körülírt kör átmérője és a kerület

 

Nem világos, hogy ettől miért lesz könnyebb a feladat. Tehát hogy hogyan szerkesszünk háromszöget, ha adva van a körülírt köre, a kerülete, és az egyik oldala.

 

2s= 8r.cos(alfa/2)cos(beta/2)cos(gamma/2)

 

Nem világos az sem, hogy ennek a képletnek mi köze van az eredeti feladathoz.

Előzmény: amplitudinis2 (11800)