Keresés

Részletes keresés

Gergo73 Creative Commons License 3 órája 0 0 14719

Kategórián azonos típusú strukturák osztályát értjük, a köztük levő struktúratartó morfizmusokkal. Sok ilyet ismersz Te is: a csoportok kategóriája (a morfizmusok a csoporthomomorfizmusok), a topologikus terek kategóriája (a morfizmusok a folytonos leképezések), a sima sokaságok kategóriája (a morfizmusok a sima leképezések), a valós vektorterek kategóriája (a morfizmusok a lineáris leképezések), stb.

 

A kévék (és az előkévék) nem pontokhoz rendelnek vektortereket, hanem nyílt halmazokhoz rendelnek objektumokat egy kategóriából. Az objektumok többnyire algebrai struktúrák, pl. vektorterek, gyűrűk, testek stb., amiket gyakran az adott nyílt halmazon felvett bizonyos függvények alkotnak (függvénygyűrű, függvénytest), és a hozzárendelésnek ki kell elégíteniek bizonyos feltételeket (a kévének erősebbeket, mint az előkévéknek). Tehát a kéve messzemenően általánosítja a vektornyaláb fogalmát.

 

Nem vagyok geométer vagy fizikus, de a legtöbb dolgot a sokaságokról kévék segítségével tudunk (definiálunk stb.). Pl. nagyon alapvető a Riemann-Roch tétel, amit nagy általánosságban lehet bizonyítani a kévékre vonatkozó Serre-dualitás segítségével (lásd pl. itt). A geométereknek olyan a kéve, mint a fizikusoknak mondjuk a Hamilton-egyenlet. Lényeg, hogy ha geometriát akarsz tanulni (ami elengedhetetlen a fizika egyes területein), akkor a kéve az egyik első dolog, amit megtanulsz. Én egyébként nem tanultam sok geometriát, a kévéket leginkább az autodidakta algebrai geometria tanulmányaimból ismerem, és a mindennapi munkámban nem használom őket (ahogyan a kategóriákat és a funktorokat sem).

Előzmény: Hun az apám? (14718)
Hun az apám? Creative Commons License 5 órája 0 0 14718

Ez is köszönöm!

 

A funktorok mibenlétén még jócskán agyalnom kell.  Azt hiszem, hogy előbb a kategóriákról kellene (valami ismeretterjesztő szinten) tudnom. Egyelőre még az sem világos nekem, hogy mi is a különbség az (általánosított) függvényfogalom és a kategória között. :(

 

Lenne egy másik, kapcsolódó kérdésem: a kévék szerinted használhatóak Riemann-sokaságok tulajdonságainak konkrét, számolós (szóval "fizikusi") vizsgálatára?  Eddig annyi jött le a kévékről nálam, hogy Riemann-sokaságok pontjaihoz vektortereket rendelnek. Miben több a kéve (sheaf) az előkévénél (presheaf)?

Előzmény: Gergo73 (14713)
Gergo73 Creative Commons License 26 órája 0 0 14717

P.S. És persze Hom(A,B), tehát az A és B objektumok közötti morfizmusok halmaza, általában csak egy halmaz extra struktúra nélkül. Ha A és B egy gyűrű feletti modulus (pl. Abel-csoport vagy valós vektortér), akkor Hom(A,B)-n is van modulus struktúra. Tehát ilyenkor a Hom felfogható úgy, mint ami az adott kategóriából képez ugyanabba a kategóriába, míg általában a Hom a halmazok kategóriájába képez.

Előzmény: Gergo73 (14715)
Gergo73 Creative Commons License 26 órája 0 0 14716

morfizmusokból pedig morfizmusok

 

morfizmusokhoz pedig morfizmusokat

Előzmény: Gergo73 (14715)
Gergo73 Creative Commons License 26 órája 0 0 14715

Persze, hülyeséget mondtam (mert gyorsan írtam). Szóval egy funktor egy kategóriából képez egy (általában) másik kategóriába: objektumokhoz objektumokat rendel, morfizmusokból pedig morfizmusok. Az általam az utolsó bekezdésben felhozott példák is különböző kategóriák között hatnak. Pl. a fundamentális csoport a topologikus terek kategóriájából képez a csoportok kategóriájába.

Előzmény: Yorg365 (14714)
Yorg365 Creative Commons License 26 órája 0 0 14714

A funktor az olyasmi, mint egy függvény, ezért is hasonlít elnevezésében a "function"-re: egy kategórián belüli objektumokból csinál ugyanazon kategórián belüli objektumokat

 

Ez biztos? Én úgy tudtam, hogy a funktor kategóriák közötti leképezés, tehát nem kell ugyanabba a kategóriába képeznie, ahonnan képez, és a wiki is ezt írja: "In mathematics, a functor is a type of mapping between categories arising in category theory. Functors can be thought of as homomorphisms between categories."

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Functor

Előzmény: Gergo73 (14713)
Gergo73 Creative Commons License 26 órája 0 0 14713

A funktor az olyasmi, mint egy függvény, ezért is hasonlít elnevezésében a "function"-re: egy kategórián belüli objektumokból csinál ugyanazon kategórián belüli objektumokat (azért nem függvény, mert egy kategóriának lehet "túl sok", azaz nem halmaznyi eleme).

 

Pl. a valós vektorterek és a köztük levő lineáris leképezések kategóriát alkotnak, ezért V*=Hom(V,R) egy funktor, ami minden vektortérhez hozzárendeli a duálisát. A Hom a vektorterek esetén a lineáris leképezéseket jelenti, általában pedig a morfizmusokat az adott kategórián belül (a morfizmus hozzátartozik a kategória fogalmához). Pl. a csoportok kategóriájában a Hom a csoporthomomorfizmusokat jelenti, a topologikus terek kategóriáján belül a folytonos leképezéseket, a halmazok kategóriáján belül egyszerűen a függvényeket. A reprezentálható funktor fogalma ezek után egyszerű, lásd itt.

 

A funktorok nagyon fontosak a matematikában, itt van pár példa: Galois-csoport (ami testekhez rendel csoportot), a fundamentális csoport (ami topologikus terekhez rendel csoportot), algebrai varietás függvénygyűrűje és függvényteste (ami algebrai varietásokhoz rendel gyűrűt és testet).

Előzmény: Hun az apám? (14712)
Hun az apám? Creative Commons License 27 órája 0 0 14712

"Ha V és W két véges dimenziós valós vektortér, akkor Hom(V,W) jelöli a V és W közötti lineáris leképezések vektorterét (aminek elemei a bázisok rögzítése után mátrixokkal azonosíthatók). Ez kanonikusan izomorf a V*=Hom(V,R) duális tér és a W tenzorszorzatával."

 

Köszönöm! 

Igazán előkelő név egy egyszerű dologra. :)  A Wikipédián próbáltam utánanézni a "Hom funktor"-nak és ott nagyon repkedtek a kategórielméleti fogalmak: https://en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor

A  reprezentálható ko-előkéve ("representable copresheaf")  például nekem teljesen kínaiul van. :o

Előzmény: Gergo73 (14711)
Gergo73 Creative Commons License 1 napja 0 1 14711

Nem kell hozzá kategórielmélet. Ha V és W két véges dimenziós valós vektortér, akkor Hom(V,W) jelöli a V és W közötti lineáris leképezések vektorterét (aminek elemei a bázisok rögzítése után mátrixokkal azonosíthatók). Ez kanonikusan izomorf a V*=Hom(V,R) duális tér és a W tenzorszorzatával.

 

Amikor a fizikusok (n,m) típusú tenzorról beszélnek egy M sokaságon, akkor valójában n darab TM és m darab TM* tenzorszorzatának egy szeléséről beszélnek (TM az érintőnyaláb, TM* a ko-érintőnyaláb). A típus csak arra utal, hogy báziscsere esetén a tiszta tenzor hány változóban transzformálódik kontravariánsan és hány változóban kovariánsan. A matematikusok szeretik a bázisfüggetlen definíciókat, hiszen azok kanonikusabbak.

 

Pl. a metrikus tenzor (0,2) típusú, azaz a TM* x TM* egy szelése (ahol x a tenzorszorzat), más szóval a Hom(TMxTM,R) egy szelése. Tehát a metrikus tenzort felfoghatod két darab kovektorból képezett tiszta tenzorok lineáris kombinációjának (egy konkrét bázist használva az együtthatók a szokásos gij számok a metrikus tenzor mátrixában), de felfoghatod úgy is, mint ami két darab vektor tenzorszorzatához rendel valós számot, azaz két darab vektorhoz rendel bilineárisan egy számot (ez lenne a skalárszorzat).

 

Hasonlóan, a görbületi tenzor (1,3) típusú, azaz a TM* x TM* x TM* x TM egy szelése. Ez utóbbi tér persze azonosítható Hom(TM x TM x TM x TM*, R) vagy a Hom(TM x TM x TM, TM)  térrel, kinek mi az ízlése.

Előzmény: Hun az apám? (14710)
Hun az apám? Creative Commons License 1 napja 0 0 14710

Megnéztem, hogy mi az a "Hom functor" (és nem, nem értem, mert  fizikusi végzettségem miatt hiányoznak nálam a kategóriaelméleti alapok).  A Riemann-sokaságot, metrikus és a görbületi tenzor fogalmát viszont szvsz értem.

 

Előzmény: Gergo73 (14709)
Gergo73 Creative Commons License 1 napja 0 1 14709

úgy tudom, hogy két vektor skaláris szorzata azt jelenti, hogy az első vektorhoz hosszáadom a második vektor azon összetevőjét ami párhuzamos az első vektorral

 

Két vektor skaláris szorzata hagyományosan ezt jelenti: a két vektor hosszának szorzata szorozva a két vektor által bezárt szög koszinuszával. Izlés dolga, hogy melyik fogalmat tartjuk alapvetőbbnek: a vektorhossz fogalmát és a vektorok által bezárt szög fogalmát, vagy a vektorok skaláris szorzatának fogalmát. Az elsőből megkapjuk a másodikat és viszont. Hagyományosan (pl. a középiskolai tananyagban) előbb van a hossz és a szög fogalma, és abból származtatjuk a skalárszorzatot, a modern felfogásban (pl. egy Riemann-sokaság adott pontbeli érintőterén) pedig fordítva.

 

A metrikus tenzor egy skalárszorzat fogalom a teljes érintőnyalábon. Az érintőnyaláb az egyes pontokbeli érintőterek uniója. Minden pontban van egy érintőtér (ami az adott pontbeli lehetséges sebességvektorok halmaza), azon pedig egy skalárszorzat (ami által az adott pontbeli sebességvektoroknak hossza lesz, illetve bármely két ilyen sebességvektor által bezárt szög is értelmezve lesz), és ezek együtt alkotják a metrikus tenzort. Tehát a metrikus tenzor megadása ekvivalens a sebességvektorok hosszának, illetve a közös pontból kiinduló sebességvektorok által bezárt szögek megadásával.

 

Egyébként ha nem tanultál lineáris algebrát (beleértve a duális tér, a Hom funktor és a tenzorszorzat fogalmát), akkor bajosan fogod megérteni a Riemann-sokaság és vele együtt a metrikus és a görbületi tenzor fogalmát.

 

Előzmény: thomas89 (14707)
heted7 Creative Commons License 1 napja 0 0 14708

"úgy tudom, hogy két vektor skaláris szorzata azt jelenti, hogy az első vektorhoz hosszáadom a második vektor azon összetevőjét ami párhuzamos az első vektorral"

Nem. https://hu.wikipedia.org/wiki/Skal%C3%A1ris_szorzat "a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint a-nak b irányába eső komponensének és b-nek a szorzatát."

Előzmény: thomas89 (14707)
thomas89 Creative Commons License 1 napja 0 0 14707

úgy tudom, hogy két vektor skaláris szorzata azt jelenti, hogy az első vektorhoz hosszáadom a második vektor azon összetevőjét ami párhuzamos az első vektorral. Ha a koordinádtarendszert úgy választom meg, hogy az első vektor párhuzamos legyen az x tengellyel, akkor a skaláris szorzat képletében szereplő szög az x tengely és a második vektor által bezárt szöget jelenti.

 

De viszont nem értem, hogy ebben az esetben a skaláris szorzatnak mi köze van a térbeli távolsághoz?

 

Úgy tudom, hogy ha koordinátákkal írok le egy vektort, akkor az minden esetben azt jelenti, hogy ha ezt a vektort felbontom a koordinátangelyekre párhuzamos összetevőkre, akkor ezek az összetevők az origóból indulnak ki (ami igaz az eredeti vektorra is). Aztán attól függően, hogy ésőbbiekben minek a meghatározására van szükség ezeket az összetevő-vektorokat el lehet tolni de csakis a hatásvonalán, ami igaz az eredeti vektorra is (ami az összetevőkből áll). vagy ezt is rosszul tudom?

 

 

Előzmény: Gergo73 (14706)
Gergo73 Creative Commons License 2 napja 0 0 14706

továbbá bármely két érintővektor skaláris szorzata nxn számmal fejezhető ki

 

Pontosabban fogalmazva: a skaláris szorzat mint függvény elkódolható egy nxn-es mátrixba (a mátrix i. sorának j. eleme nem más, mint az i. és a j. bázisvektor skaláris szorzata).

Előzmény: Gergo73 (14705)
Gergo73 Creative Commons License 2 napja 0 0 14705

Egy adott pontban az érintővektorok a lehetséges irányok, amerre lehet menni a térben. A metrikus tenzor az a függvény, ami tetszőleges pontban tetszőleges két érintővektorhoz hozzárendeli azok skaláris szorzatát. Ezek a definíciók, nincs benne semmiféle mátrix. Ez geometria.

 

Na most ha egy adott P pontbeli érintőteren felveszel egy n elemű bázist (tehát n a sokaság dimenziója), akkor bármely P-beli érintővektor n számmal fejezhető ki (a számokat koordinátáknak hívják), továbbá bármely két érintővektor skaláris szorzata nxn számmal fejezhető ki: ezek alkotják a metrikus tenzor P-beli mátrixát (az adott bázisra nézve). Ez lineáris algebra.

Előzmény: thomas89 (14703)
amplitudinis2 Creative Commons License 2 napja 0 0 14704

Ennyire nem lehet leegyszerűsíteni.

Tehát van n db térbeli görbéd n dimenzióban.

Akárhol választasz egy pontot bármelyik térbeli pontba X helyvektor mutat (egy teszőleges rögzített pontból).

Azt kell megmondani, hogy a koordinátavonalakkal párhuzamos vonalak metszéspontja X végpontja, soroljuk fel  az X koordinátáit.

Ez n db koordinátavonal, ebben a pontban mindegyiknek (ha) létezik az érintővektora. Célszerűen egységvektorok.

Na ezekkel az egységvektorokból képzett nxn mátrixot ha kitöltöd ebben az érintővektor rendszerben kovariáns metrikus tenzort parciális deriválásokkal (az összes parciális derivált kell tehát az összes vegyes is).

Tulajdonképpen X koordinátái legyenek kontravariáns koordináták. Ezért ahogy az előbb mutattam, a helyvektor hossza meghatározható. A pont elcsúszik valamelyik koordinátavonalon akkor értelmes hogy mekkora az ívhossza annak a koordinátavonalnak a két pont között. Ezt a tér minden pontjában ki kell molyolgatni. Ez fogja magát a teret leírni. Önmagát a teret.

 

De nem erre használják a mérnökök!

Hanem arra, hogy az előző egy ismert konfiguráció. Ugyanaz a tér különböző transzformációkkal görbül.

 

Ezt úgy kell elképzelni, mint pl. egy kéttámaszú tartót. Tudjuk hol volt egy pontja, hova került terhelés estén.

Mekkora egy térfogatelem változás, nyúlás, relatív nyúlás..... Mindent lehet számolni. Csak nem egyszerű.

De építőknek van kontinuum mechanika nem?

 

Hát úgy a legjobb gondolkodnod, hogy egy terhelt tartót tetszőleges felülettel (ebből a legegyszerűbb a sík) elmetszve a terhelt keresztmetszetet, minden egyes pontjában meg kell adni a feszültségtenzort. pl. ehhez minden pontjában ismerni kelél a normál és a csúsztató feszültségeket. Ez pont az a témakör amiben ezt a jelölésrendszert a mérnökök használják is.

Ez a mérnöki megfontolás elsősorban ilyen három dimenzióra vonatkozik persze.

Az előző pontbeli homogonitás, izotrópia, egyszeresen összefüggő zárt síkbeli tartomány... pl. ez nem játszik mert

pl. marék alu hab felülete sok sok (pl. Everet féle) felülethez hasonló térbeli zárt tartomány, de nem egyszeresen összefüggő..

Na az a kérdés ezt megterhelve egy felületi erőrendszerrel milyen lesz a terhelés után elmozdulás és feszültségmező.

 

 

 

 

 

 

Előzmény: thomas89 (14703)
thomas89 Creative Commons License 2 napja 0 0 14703

Ezt úgy kéne értelmezni, hogy ha elképzeljük ezt a fizikai teret, akkor az oszlopvektorban lévő tagok valójában a koordinátatengelyekkel párhuzamos vektorok, amik a koordinátarendszer origójából indulnak ki?

 

Amúgy világos, hogy ha a metrikus tenor elemeivel beszorzom az egyes négyzetes tagokat, akkor azok módosulni fognak, vagyis ez azt jelenti, hogy adott pontban a koordinátatengelyekkel párhuzamos irányokban vagy rövidülni vagy növekedni fog az adott távolság, ami végső soron azt jelenti, hogy maga a tér fog "összenyomódni" vagy "széthúzódni" és hogy ha ezek az eltérések a tér pontjaiban eltérőek, akkor így az adott fizikai tér görbültségét is le lehet írni. Vagy rosszul gondolom?

 

Egyébként a gyökkifejezést hívják értinővektornak?

 

Másrészről gondolom, hogy a metrikus tenzornak a tér egy pontjában csak egy mátrixát lehet értelmezni, ami megszabja, a tér "görbületét". Magát a tezort nem lehet valahogy kifejezni, ami már több ponton van értelmezve?

 

 

Előzmény: thomas89 (14694)
thomas89 Creative Commons License 2 napja 0 0 14702

Annyira nem a jelölésekre voltam kíváncsin inkább a metrikus tenzor használhatósága érdekelt.

 

de az utolsó bekezdésben mit értettél ez alatt:

"Az baj, hogy ez egy jelöléstechnikailag is roppant nehézkes téma. Általában ezt már nem tanulják meg a mérnökök. A jövő anyagai szerkezete csak így lesz leírható pedig. Feladjuk a homogenitást, izotrópiát, és a geometriai megkötések: n szeresen összefüggő lesz a tartomány amit az anyag kitölt."

Előzmény: amplitudinis2 (14698)
amplitudinis2 Creative Commons License 5 napja 0 0 14701

de van erre szoftver egyébként.....

amplitudinis2 Creative Commons License 5 napja 0 0 14700

javítás:

felső index kontravariáns index , azaz egy vektor kovariáns bázisra vonatkoztatott kontravariáns koordinátája.

 

 

 

Előzmény: amplitudinis2 (14698)
amplitudinis2 Creative Commons License 5 napja 0 0 14699

Ahogy pedig te írtad fel az úgy is lehet, xigjigijxj

hogy ez sor oszlop kombináció is legyen. ez xi xi

 

Előzmény: amplitudinis2 (14698)
amplitudinis2 Creative Commons License 5 napja 0 0 14698

Hát ami fel van írva valóban egy vektor mégpedig az x vektor normája. Azaz önmagával vett skalárszorzatának abszolút értékének a négyzetgyöke lenne az Euklideszi norma vagy Euklideszi távolság.

 

Csak kiindulok a definicióból azaz x^2=xx=gikxixk=xixi =gikxixk

Ezzel az összes jelölés elmondható egyébként

(alsó index ha latin betű akkor 2 nél nagyobb pozitív számokat jelent azaz legalább 3

Ha görög betű akkor legfeljebb kettő

Ez csupán mérnököknek (térbeli és síkbeli feladatok))

 

alsó index kovariáns (mérnököknek: sorvektor, azaz oszlopvektor transzponáltja)

felső index kontravariáns bázisra vonatkoztatott mennyiség (oszlopvektor, jobb úgy gondolni rá, hogy default, aza nem sorvektor transzponáltja mert oszlopvektorok terében írjuk inkább fel a problémát pl: egy helyvektor koordinátái kontravariáns koordináták)

felül és alul azonos index akkor Einstein konvenció szerint ezen koordináta szerint összegezni kell

vagyis xixi szorzatokat össze kell adni

gik ha( akár metrikus akár nem) tenzor ebből három féle lehet

gik, gik, gik

g attól lesz metrikus tenzor, ha definició szerint számolod, egységnyi hosszúságú érintővektorai az i,j=1,2,3,(4) (jelen esetben az i, j irányú koo vonalaknak) külső szorzatai (egységvektorai)

térben vektoriális szorzat (i=3 ig)

Akkor még egy cirkusz van itt felírva : a kontrahálás, vagy kontrakció (ez lehet többszörös is)

mindahány kifejezésben felül és alul azonos az index az egybe van ejtve, azaz elhagyható a maradék indexekkel lehet manipulálni tovább. (gikxixk=xixi ez itt)

Ez egyébként úgy is mondjuk egy vektor, hogy a kovariáns mértéktenzor hoz tartozó kovariáns bázisban felírt kontravariáns vektor koordinátái szorzata a kovariáns koordinátája a vektornak.

Azaz a ko vagy kontravariáns mértéktenzor emeli vagy süllyeszti az indexeket.

 

 

Az baj, hogy ez egy jelöléstechnikailag is roppant nehézkes téma. Általában ezt már nem tanulják meg a mérnökök. A jövő anyagai szerkezete csak így lesz leírható pedig. Feladjuk a homogenitást, izotrópiát, és a geometriai megkötések: n szeresen összefüggő lesz a tartomány amit az anyag kitölt.

 

 

 

Előzmény: thomas89 (14694)
srudolf1 Creative Commons License 5 napja 0 0 14697

 + a Professzor Úrnak ezért a tömör bemutásért. 

Előzmény: Gergo73 (14692)
Gergo73 Creative Commons License 6 napja 0 1 14696

P.S. És persze érintővektor hosszúságához a két oszlopvektort azonosnak kell választani, tehát a balról szorzó sorvektor legyen transzponáltja a jobbról szorzó oszlopvektornak.

Előzmény: Gergo73 (14695)
Gergo73 Creative Commons License 6 napja 0 1 14695

A 4x4-es mátrixot (ami a metrikus tenzor egy adott pontban egy adott bázisra nézve) balról egy 4 hosszú sorvektorral kell szorozni, jobbról pedig egy 4 hosszú oszlopvektorral, és akkor az eredmény már egy szám lesz. Hiszen bilineáris formáról van szó, ami 2 vektorból csinál egy számot (ha 2 oszlopvektorból indulsz ki, akkor az elsőt transzponáld először, hogy sorvektor legyen belőle).

Előzmény: thomas89 (14694)
thomas89 Creative Commons License 6 napja 0 0 14694

Értem, most legalább közelebb kerültem ennek a témának a megértéséhez. Viszont a wikipédián van egy oldal erről. Ezt képként feltöltöm a mellékletben és a képen szerepel az is, hogy a gykorlatban, hogyan is kell számolni ezzel. Ha viszont ez jó, akor az nem világos a számomra, hogy a négyzetes kifejezés már egy számot jelent vagyis az adott térben lévő hosszúságot jelöli, viszont ha a metrikus tenzort szorzom a (X)v mátrixal és a (X)µ vektorral. akkor szontén vektort kapnék nem pedig egy számot...

Előzmény: Gergo73 (14692)
Hun az apám? Creative Commons License 2017.02.16 0 0 14693

Ez az eszmefuttatás csak azt mutatja meg, hogy hogyan kapcsolódik össze a megoldhatóság a feloldhatósággal fogalmilag

 

 

Köszi a választ. Ezek szerint mégis lehet még lényeges dolgokat mondani a témáról nem túl technikai nyelven! :)

Előzmény: Macska Bonifác (14689)
Gergo73 Creative Commons License 2017.02.14 0 3 14692

Intuitívan a metrikus tenzor arra szolgál, hogy bármilyen sokaságon a mozgó pontok sebességét - és ezáltal a pont által megtett utat - mérni (avagy definiálni) lehessen. A sokaság a szokásos n-dimenziós euklideszi tér általánosítása: olyan tér, ami lokálisan úgy néz ki, mint az n-dimenziós euklideszi tér (pl. az ellipszoid az egy 2-dimenziós sokaság, mert minden pontja körül úgy néz ki, mint az euklideszi sík egy kis darabja). Persze ha egy sokaságot egy euklideszi tér részének képzeljük el - pl. az ellipszoidot a 3-dimenziós tér részeként - akkor nincs szükség a metrikus tenzorra, hiszen az euklideszi metrika megadja a sokaság érintővektorainak is a hosszát. Csakhogy általában egy sokaságot nem egy euklideszi tér részeként definiáljuk, hanem a belső struktúrájával. (John Nash híres tétele, hogy minden Riemann-sokaság beágyazható euklideszi térbe, de ez más tészta.)

 

Konkrétan egy mozgó pontnak minden pillanatban van egy pillanatnyi sebessége - ami matematikailag a sokaság egy érintővektora az adott pontban - és a metrikus tenzor adja meg ennek a vektornak a hosszát. Ezt a sebesség-hosszúságot kell integrálni, hogy megkapjuk a megtett távolságot.

 

Ha a sokaság n-dimenziós, akkor egy adott P pontban az érintőtere egy n-dimenziós valós vektortér. A metrikus tenzor ezen az érintőtéren definiálja a vektorok hosszát (vagy általánosabban bármely két vektor skaláris szorzatát, azaz a hosszuk mellett az általuk bezárt szöget is). Precízebben: a metrikus tenzor egy pozitív definit bilineáris forma bármely P pontbeli érintőtéren. Ha felveszel egy bázist ezen a vektortéren, akkor a bilineáris forma egy nxn-es (szimmetrikus pozitív definit) mátrixba kódolható el, hiszen ha tudjuk bármely két bázisvektoron az értékét, akkor bármely két vektoron is tudjuk az értékét (a bilinearitás miatt).

 

Tehát a metrikus tenzor segítségével tudunk távolságokat és szögeket mérni (definiálni) egy sokaságon, és így azt is, hogy globálisan mennyire más a sokaság, mint az euklideszi. Pontosabban: a metrikus tenzorból kiindulva mérhető az adott irányú kicsiny háromszögek szögösszegének eltérése a pi-től a háromszög területéhez viszonyítva, és ez a viszonyszám a szekcionális görbület. Mindezt az információt tömören ragadja meg a görbületi tenzor. Tehát a metrikus tenzorból kiindulva megkaphatjuk a görbületi tenzort, az eredményt megtalálod a Wikipedia oldalain. A pontos definíciókhoz és a számoláshoz szükség van némi matematikai előképzettségre (mi az a sokaság, mi az érintőtér, mit értünk vektorterek tenzorszorzatán stb.), de a lényeget elmondtam fent.

 

Remélem, tudtam segíteni.

Előzmény: thomas89 (14690)
amplitudinis2 Creative Commons License 2017.02.14 0 0 14691

Van rá egyszerű példa.

Például az n dimenziós egység gömb térfogata és felszíne

(An/Ak)^l;(Vn/Vk)^l hogyan is aránylik ha k=3 , n pedig a végtelenhez tart, l=1 vagy l=-1

Ugyanez eljátszható n dimenziós kockával is.

Ekkor a tér persze kompakt (korlátos és zárt).

Egyébként nem lehet látni. Hogy látsz négy dimenziót?

Már a Ricci -nek megfelelő tenzorok is iszonyú mukálatos dolgok.

Vagy csak a Christoffel szimbólumok pillanatnyi értékeit kiszámolni roppant fáradságos.

 

De mondok neked egy szakmai példát.

17 féle feszültség függvény lehetséges 3 dimenzóban.

És mi mégis a Maxwell félét használjuk.

 

 

 

 

 

 

 

 

Előzmény: thomas89 (14690)
thomas89 Creative Commons License 2017.02.14 0 0 14690

A következőben kérnék segítséget:

 

Azt tudom, és a neten is meg lehet találni, hogy a metrikus tenzor mit jelent (a tenzor elemszámától függően egy n- dimenziós tér görbültségét lehet vele meghatározni). . egy leaikus ember sokkal jobban megértené ezt a témakört ha valamilyen példát lehetne erre találni, de nem csak magára a metrikus tenzorra, hanem, hogy pl. annak segítségével, hogyan változnak meg a távolságok egy görbült térben.

 

Pl. nem találtam erre vonatkozóan semmilyen információt:

-a metrikus tenzort ki lehet terjeszteni n- dimenziós térre is, de minden esetben egy qxp elemszámú transzformációs mátrix lesz belőle.

-az n dimenziós tér koordinátáit ki lehet fejezni, egy n elemszámú vektorral és ha ezt megszorozzuk ezzel a "transzformációs mátrixal" akkor az egyes távolságok lerövidülnek a tenzor elemeinek értékétől függően

- egy m dimenziós tér görbülete azt jelenti, hogy a térben értelmezett távolságok megnyúlnak, vagy lerövidülnek. attól függően, hogy a tér görbültsége milyen alakot vesz fel.

 

 

A kérdésem az lenne, hogy a fent felsorolt állítások mennyire megfelelnek meg a valóságnak?

Elnézést kérnék, ha helyenként nem fogalamaztam elég egyértelműen. De a lényeget asszem le tudtam írni.

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!