Ez a megoldás nem jó. A második paragrafusból annyi következik, hogy a-1 és a+1 egyike egy köbszám kétszerese, másika egy köbszám négyszerese. Az nem következik belőle, hogy b 2-hatvány. Az előző üzenetemben adtam linket egy helyes megoldáshoz.
Ez a feladat nehezebb, mint amilyennek látszik, Euler oldotta meg először. Nagyjából azon a nehézségi fokon van, mint a Fermat-sejtés köbszámokra vonatkozó esete (amit szintén Euler csinált meg először).
A könnyű eset az, amikor b páratlan. Ekkor ugyanis a-1 és a+1 páratlan, vagyis relatív prímek (mert a különbségük 2), tehát mindketten köbszámok (a számelmélet alaptétele miatt). Viszont nincs két köbszám, aminek a különbsége 2 (ez könnyű).
A nehéz eset az, amikor b páros: ilyenkor a-1 és a+1 egyike egy köbszám kétszerese, a másika egy köbszám négyszerese. Ehhez az esethez kell egy kis algebrai számelmélet.
A teljes feladat viszonylag egyszerű megoldását találod itt.
Úgy tűnik, megjavult. Szóval jól kezdted szerintem. Azt gondolom, hogy amit leírtál, az az egyetlen megoldás. Ezért:
Indirekt biz, tfh van még a, b megoldás. b prímtényezői 3-szoros kitevővel szerepelnek (a-1)(a+1)-ben. Minden 2-nél nagyobb prímre igaz, hogy vagy (a-1)-et osztja, vagy (a+1)-et, vagy egyiket sem, de nem mind a kettőt. Emiatt b prímtényezőinek egy része (a-1) prímfelbontásában szerepelnek 3-szor kitevővel, egy másik részük pedig (a+1) felbontásában. Tehát mindkettő köbszám. Viszont a különbségük kettő, de nincs két olyan köbszám, aminek a különbsége 2.
Szóval b csak kettő hatvány lehet. Ekkor a-1 és a+1 is kettő hatvány, de ugye itt is 2 a különbség, ami miatt az egyik 2, a másik 4, és kész vagyunk.
egy kis segítség kellene a következő feladat megoldásához, a természetes számok halmazán:
a2-1=b3
probálom felírni mint (a-1)(a+1) de ezekről csak azt tudom hogy azonos paritásuak, utolsó számjeggyel nem sokra megyek mivel köbök esetén sokfélék, a=3 és b=2 esetén látom hogy igaz, de hogyan lehetne megoldani ??
Atyaúristen, micsoda mélységek! Kicsit megszédültem... :) Kitűztem magamnak, hogy a Riemann-Roch tételhez, ill. a Serre-dualitáshoz szükséges matekot - amolyan "fizikusi szinten" - megértsem, mert ez a kéve-dolog, nem tudom ugyan miért, de valamiért érdekel. :o Köszönöm azt a linket, de nekem annál jóval távolabbról kell nekifutni. Majd jelentkezem.
Kategórián azonos típusú strukturák osztályát értjük, a köztük levő struktúratartó morfizmusokkal. Sok ilyet ismersz Te is: a csoportok kategóriája (a morfizmusok a csoporthomomorfizmusok), a topologikus terek kategóriája (a morfizmusok a folytonos leképezések), a sima sokaságok kategóriája (a morfizmusok a sima leképezések), a valós vektorterek kategóriája (a morfizmusok a lineáris leképezések), stb.
A kévék (és az előkévék) nem pontokhoz rendelnek vektortereket, hanem nyílt halmazokhoz rendelnek objektumokat egy kategóriából. Az objektumok többnyire algebrai struktúrák, pl. vektorterek, gyűrűk, testek stb., amiket gyakran az adott nyílt halmazon felvett bizonyos függvények alkotnak (függvénygyűrű, függvénytest), és a hozzárendelésnek ki kell elégíteniek bizonyos feltételeket (a kévének erősebbeket, mint az előkévéknek). Tehát a kéve messzemenően általánosítja a vektornyaláb fogalmát.
Nem vagyok geométer vagy fizikus, de a legtöbb dolgot a sokaságokról kévék segítségével tudunk (definiálunk stb.). Pl. nagyon alapvető a Riemann-Roch tétel, amit nagy általánosságban lehet bizonyítani a kévékre vonatkozó Serre-dualitás segítségével (lásd pl. itt). A geométereknek olyan a kéve, mint a fizikusoknak mondjuk a Hamilton-egyenlet. Lényeg, hogy ha geometriát akarsz tanulni (ami elengedhetetlen a fizika egyes területein), akkor a kéve az egyik első dolog, amit megtanulsz. Én egyébként nem tanultam sok geometriát, a kévéket leginkább az autodidakta algebrai geometria tanulmányaimból ismerem, és a mindennapi munkámban nem használom őket (ahogyan a kategóriákat és a funktorokat sem).
A funktorok mibenlétén még jócskán agyalnom kell. Azt hiszem, hogy előbb a kategóriákról kellene (valami ismeretterjesztő szinten) tudnom. Egyelőre még az sem világos nekem, hogy mi is a különbség az (általánosított) függvényfogalom és a kategória között. :(
Lenne egy másik, kapcsolódó kérdésem: a kévék szerinted használhatóak Riemann-sokaságok tulajdonságainak konkrét, számolós (szóval "fizikusi") vizsgálatára? Eddig annyi jött le a kévékről nálam, hogy Riemann-sokaságok pontjaihoz vektortereket rendelnek. Miben több a kéve (sheaf) az előkévénél (presheaf)?
P.S. És persze Hom(A,B), tehát az A és B objektumok közötti morfizmusok halmaza, általában csak egy halmaz extra struktúra nélkül. Ha A és B egy gyűrű feletti modulus (pl. Abel-csoport vagy valós vektortér), akkor Hom(A,B)-n is van modulus struktúra. Tehát ilyenkor a Hom felfogható úgy, mint ami az adott kategóriából képez ugyanabba a kategóriába, míg általában a Hom a halmazok kategóriájába képez.
Persze, hülyeséget mondtam (mert gyorsan írtam). Szóval egy funktor egy kategóriából képez egy (általában) másik kategóriába: objektumokhoz objektumokat rendel, morfizmusokból pedig morfizmusok. Az általam az utolsó bekezdésben felhozott példák is különböző kategóriák között hatnak. Pl. a fundamentális csoport a topologikus terek kategóriájából képez a csoportok kategóriájába.
A funktor az olyasmi, mint egy függvény, ezért is hasonlít elnevezésében a "function"-re: egy kategórián belüli objektumokból csinál ugyanazon kategórián belüli objektumokat
Ez biztos? Én úgy tudtam, hogy a funktor kategóriák közötti leképezés, tehát nem kell ugyanabba a kategóriába képeznie, ahonnan képez, és a wiki is ezt írja: "In mathematics, a functor is a type of mapping between categories arising in category theory. Functors can be thought of as homomorphisms between categories."
A funktor az olyasmi, mint egy függvény, ezért is hasonlít elnevezésében a "function"-re: egy kategórián belüli objektumokból csinál ugyanazon kategórián belüli objektumokat (azért nem függvény, mert egy kategóriának lehet "túl sok", azaz nem halmaznyi eleme).
Pl. a valós vektorterek és a köztük levő lineáris leképezések kategóriát alkotnak, ezért V*=Hom(V,R) egy funktor, ami minden vektortérhez hozzárendeli a duálisát. A Hom a vektorterek esetén a lineáris leképezéseket jelenti, általában pedig a morfizmusokat az adott kategórián belül (a morfizmus hozzátartozik a kategória fogalmához). Pl. a csoportok kategóriájában a Hom a csoporthomomorfizmusokat jelenti, a topologikus terek kategóriáján belül a folytonos leképezéseket, a halmazok kategóriáján belül egyszerűen a függvényeket. A reprezentálható funktor fogalma ezek után egyszerű, lásd itt.
A funktorok nagyon fontosak a matematikában, itt van pár példa: Galois-csoport (ami testekhez rendel csoportot), a fundamentális csoport (ami topologikus terekhez rendel csoportot), algebrai varietás függvénygyűrűje és függvényteste (ami algebrai varietásokhoz rendel gyűrűt és testet).
"Ha V és W két véges dimenziós valós vektortér, akkor Hom(V,W) jelöli a V és W közötti lineáris leképezések vektorterét (aminek elemei a bázisok rögzítése után mátrixokkal azonosíthatók). Ez kanonikusan izomorf a V*=Hom(V,R) duális tér és a W tenzorszorzatával."
Köszönöm!
Igazán előkelő név egy egyszerű dologra. :) A Wikipédián próbáltam utánanézni a "Hom funktor"-nak és ott nagyon repkedtek a kategórielméleti fogalmak: https://en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor
A reprezentálható ko-előkéve ("representable copresheaf") például nekem teljesen kínaiul van. :o
Nem kell hozzá kategórielmélet. Ha V és W két véges dimenziós valós vektortér, akkor Hom(V,W) jelöli a V és W közötti lineáris leképezések vektorterét (aminek elemei a bázisok rögzítése után mátrixokkal azonosíthatók). Ez kanonikusan izomorf a V*=Hom(V,R) duális tér és a W tenzorszorzatával.
Amikor a fizikusok (n,m) típusú tenzorról beszélnek egy M sokaságon, akkor valójában n darab TM és m darab TM* tenzorszorzatának egy szeléséről beszélnek (TM az érintőnyaláb, TM* a ko-érintőnyaláb). A típus csak arra utal, hogy báziscsere esetén a tiszta tenzor hány változóban transzformálódik kontravariánsan és hány változóban kovariánsan. A matematikusok szeretik a bázisfüggetlen definíciókat, hiszen azok kanonikusabbak.
Pl. a metrikus tenzor (0,2) típusú, azaz a TM* x TM* egy szelése (ahol x a tenzorszorzat), más szóval a Hom(TMxTM,R) egy szelése. Tehát a metrikus tenzort felfoghatod két darab kovektorból képezett tiszta tenzorok lineáris kombinációjának (egy konkrét bázist használva az együtthatók a szokásos gij számok a metrikus tenzor mátrixában), de felfoghatod úgy is, mint ami két darab vektor tenzorszorzatához rendel valós számot, azaz két darab vektorhoz rendel bilineárisan egy számot (ez lenne a skalárszorzat).
Hasonlóan, a görbületi tenzor (1,3) típusú, azaz a TM* x TM* x TM* x TM egy szelése. Ez utóbbi tér persze azonosítható Hom(TM x TM x TM x TM*, R) vagy a Hom(TM x TM x TM, TM) térrel, kinek mi az ízlése.
Megnéztem, hogy mi az a "Hom functor" (és nem, nem értem, mert fizikusi végzettségem miatt hiányoznak nálam a kategóriaelméleti alapok). A Riemann-sokaságot, metrikus és a görbületi tenzor fogalmát viszont szvsz értem.
úgy tudom, hogy két vektor skaláris szorzata azt jelenti, hogy az első vektorhoz hosszáadom a második vektor azon összetevőjét ami párhuzamos az első vektorral
Két vektor skaláris szorzata hagyományosan ezt jelenti: a két vektor hosszának szorzata szorozva a két vektor által bezárt szög koszinuszával. Izlés dolga, hogy melyik fogalmat tartjuk alapvetőbbnek: a vektorhossz fogalmát és a vektorok által bezárt szög fogalmát, vagy a vektorok skaláris szorzatának fogalmát. Az elsőből megkapjuk a másodikat és viszont. Hagyományosan (pl. a középiskolai tananyagban) előbb van a hossz és a szög fogalma, és abból származtatjuk a skalárszorzatot, a modern felfogásban (pl. egy Riemann-sokaság adott pontbeli érintőterén) pedig fordítva.
A metrikus tenzor egy skalárszorzat fogalom a teljes érintőnyalábon. Az érintőnyaláb az egyes pontokbeli érintőterek uniója. Minden pontban van egy érintőtér (ami az adott pontbeli lehetséges sebességvektorok halmaza), azon pedig egy skalárszorzat (ami által az adott pontbeli sebességvektoroknak hossza lesz, illetve bármely két ilyen sebességvektor által bezárt szög is értelmezve lesz), és ezek együtt alkotják a metrikus tenzort. Tehát a metrikus tenzor megadása ekvivalens a sebességvektorok hosszának, illetve a közös pontból kiinduló sebességvektorok által bezárt szögek megadásával.
Egyébként ha nem tanultál lineáris algebrát (beleértve a duális tér, a Hom funktor és a tenzorszorzat fogalmát), akkor bajosan fogod megérteni a Riemann-sokaság és vele együtt a metrikus és a görbületi tenzor fogalmát.
"úgy tudom, hogy két vektor skaláris szorzata azt jelenti, hogy az első vektorhoz hosszáadom a második vektor azon összetevőjét ami párhuzamos az első vektorral"
úgy tudom, hogy két vektor skaláris szorzata azt jelenti, hogy az első vektorhoz hosszáadom a második vektor azon összetevőjét ami párhuzamos az első vektorral. Ha a koordinádtarendszert úgy választom meg, hogy az első vektor párhuzamos legyen az x tengellyel, akkor a skaláris szorzat képletében szereplő szög az x tengely és a második vektor által bezárt szöget jelenti.
De viszont nem értem, hogy ebben az esetben a skaláris szorzatnak mi köze van a térbeli távolsághoz?
Úgy tudom, hogy ha koordinátákkal írok le egy vektort, akkor az minden esetben azt jelenti, hogy ha ezt a vektort felbontom a koordinátangelyekre párhuzamos összetevőkre, akkor ezek az összetevők az origóból indulnak ki (ami igaz az eredeti vektorra is). Aztán attól függően, hogy ésőbbiekben minek a meghatározására van szükség ezeket az összetevő-vektorokat el lehet tolni de csakis a hatásvonalán, ami igaz az eredeti vektorra is (ami az összetevőkből áll). vagy ezt is rosszul tudom?
továbbá bármely két érintővektor skaláris szorzata nxn számmal fejezhető ki
Pontosabban fogalmazva: a skaláris szorzat mint függvény elkódolható egy nxn-es mátrixba (a mátrix i. sorának j. eleme nem más, mint az i. és a j. bázisvektor skaláris szorzata).
Egy adott pontban az érintővektorok a lehetséges irányok, amerre lehet menni a térben. A metrikus tenzor az a függvény, ami tetszőleges pontban tetszőleges két érintővektorhoz hozzárendeli azok skaláris szorzatát. Ezek a definíciók, nincs benne semmiféle mátrix. Ez geometria.
Na most ha egy adott P pontbeli érintőteren felveszel egy n elemű bázist (tehát n a sokaság dimenziója), akkor bármely P-beli érintővektor n számmal fejezhető ki (a számokat koordinátáknak hívják), továbbá bármely két érintővektor skaláris szorzata nxn számmal fejezhető ki: ezek alkotják a metrikus tenzor P-beli mátrixát (az adott bázisra nézve). Ez lineáris algebra.
Akárhol választasz egy pontot bármelyik térbeli pontba X helyvektor mutat (egy teszőleges rögzített pontból).
Azt kell megmondani, hogy a koordinátavonalakkal párhuzamos vonalak metszéspontja X végpontja, soroljuk fel az X koordinátáit.
Ez n db koordinátavonal, ebben a pontban mindegyiknek (ha) létezik az érintővektora. Célszerűen egységvektorok.
Na ezekkel az egységvektorokból képzett nxn mátrixot ha kitöltöd ebben az érintővektor rendszerben kovariáns metrikus tenzort parciális deriválásokkal (az összes parciális derivált kell tehát az összes vegyes is).
Tulajdonképpen X koordinátái legyenek kontravariáns koordináták. Ezért ahogy az előbb mutattam, a helyvektor hossza meghatározható. A pont elcsúszik valamelyik koordinátavonalon akkor értelmes hogy mekkora az ívhossza annak a koordinátavonalnak a két pont között. Ezt a tér minden pontjában ki kell molyolgatni. Ez fogja magát a teret leírni. Önmagát a teret.
De nem erre használják a mérnökök!
Hanem arra, hogy az előző egy ismert konfiguráció. Ugyanaz a tér különböző transzformációkkal görbül.
Ezt úgy kell elképzelni, mint pl. egy kéttámaszú tartót. Tudjuk hol volt egy pontja, hova került terhelés estén.
Mekkora egy térfogatelem változás, nyúlás, relatív nyúlás..... Mindent lehet számolni. Csak nem egyszerű.
De építőknek van kontinuum mechanika nem?
Hát úgy a legjobb gondolkodnod, hogy egy terhelt tartót tetszőleges felülettel (ebből a legegyszerűbb a sík) elmetszve a terhelt keresztmetszetet, minden egyes pontjában meg kell adni a feszültségtenzort. pl. ehhez minden pontjában ismerni kelél a normál és a csúsztató feszültségeket. Ez pont az a témakör amiben ezt a jelölésrendszert a mérnökök használják is.
Ez a mérnöki megfontolás elsősorban ilyen három dimenzióra vonatkozik persze.
Az előző pontbeli homogonitás, izotrópia, egyszeresen összefüggő zárt síkbeli tartomány... pl. ez nem játszik mert
pl. marék alu hab felülete sok sok (pl. Everet féle) felülethez hasonló térbeli zárt tartomány, de nem egyszeresen összefüggő..
Na az a kérdés ezt megterhelve egy felületi erőrendszerrel milyen lesz a terhelés után elmozdulás és feszültségmező.
Ezt úgy kéne értelmezni, hogy ha elképzeljük ezt a fizikai teret, akkor az oszlopvektorban lévő tagok valójában a koordinátatengelyekkel párhuzamos vektorok, amik a koordinátarendszer origójából indulnak ki?
Amúgy világos, hogy ha a metrikus tenor elemeivel beszorzom az egyes négyzetes tagokat, akkor azok módosulni fognak, vagyis ez azt jelenti, hogy adott pontban a koordinátatengelyekkel párhuzamos irányokban vagy rövidülni vagy növekedni fog az adott távolság, ami végső soron azt jelenti, hogy maga a tér fog "összenyomódni" vagy "széthúzódni" és hogy ha ezek az eltérések a tér pontjaiban eltérőek, akkor így az adott fizikai tér görbültségét is le lehet írni. Vagy rosszul gondolom?
Egyébként a gyökkifejezést hívják értinővektornak?
Másrészről gondolom, hogy a metrikus tenzornak a tér egy pontjában csak egy mátrixát lehet értelmezni, ami megszabja, a tér "görbületét". Magát a tezort nem lehet valahogy kifejezni, ami már több ponton van értelmezve?
Annyira nem a jelölésekre voltam kíváncsin inkább a metrikus tenzor használhatósága érdekelt.
de az utolsó bekezdésben mit értettél ez alatt:
"Az baj, hogy ez egy jelöléstechnikailag is roppant nehézkes téma. Általában ezt már nem tanulják meg a mérnökök. A jövő anyagai szerkezete csak így lesz leírható pedig. Feladjuk a homogenitást, izotrópiát, és a geometriai megkötések: n szeresen összefüggő lesz a tartomány amit az anyag kitölt."
