Egyébként először dettó ugyanígy írtam fel a bizonyítást, csak nekem szemet szúrt az -ai/b, mert mi van, akkor, ha a b=0, de hát igaz, a b nem is lehet 0. Köszönöm.
Ez tulajdonképpen csak a definíció gyakoroltatása... mondjuk az első résznél nekem hiányzik egy lépés: Létezik egy summa(aiai) + bb = 0 komináció, és ráadásul b nem nulla (miért is?), tehát b = summa(-ai/b ai)
Legyen n >= k >= 1 és a1,...,ak lineárisan független vektorrendszer Rn-ben. Bizonyítsa be, hogy egy b (eleme) Rn vektorra az a1,...,ak,b vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha b (eleme) Span(a1,...,ak) .
Ez egy helytálló és jó bizonyítás? Ha nem mi lenne a helye bizonyítás?
=>
a1,..., ak L és a1,...,ak,b Ö => x1a1 + ... + xkak = b tehát b (eleme) Span(a1,...,ak)
<=
x1a1 + ... + xkak = b
x1a1 + ... + xkak + (-1)b = 0
Ebből viszont következik, hogy összefüggő, mert nem csak triviális módon állítja elő a nullvektort. (a b együtthatója -1)
A kérdésem az,hogy alkalmazható e ebben az esetben a háromszög köré írható kör számítása?
A válasz az, hogy igen. A keresett kör középpontja ugyanaz, mint a háromszög köré írt kör középpontja. A különbség csak a sugárban van: a háromszög köré írt kör sugarához hozzá kell még adni a kis piros körök sugarát (amiről feltételeztem, hogy egyenlők).
Egy körívet megérintek egy kissebb körrel három helyen,ezzel megtudom a kis kör középpontjának a koordinátáit.
Meg kellene állatpítanom a nagy kör átmérőjét,és középpontjának koordinátáit.
A kérdésem az,hogy alkalmazható e ebben az esetben a háromszög köré írható kör számítása?
Azért vannak kétségeim ezzel kapcsolatban,mert nem a kis kör és a nagy kör érintési pontjának a koordinátáit ismerem,hanem csak a kis körök középpontjának a koordinátáit.
A dimenzió fogalmát kellene felhasználni: ha egy alteret három vektor kifeszít, akkor legfeljebb háromdimenziós (kevesebb is lehet), ha kettő, akkor legfeljebb kétdimenziós (kevesebb is lehet), tehát a te esetedben meg kellene vizsgálni, hogy dimenziós lehet a kérdéses altér (szvsz három lehetőség van), és az egyes esetekben mi a helyzet.
Döntsük el, hogy lineárisan független, vagy összefüggő az a, c, e vektorrendszer!
Lineárisan összefüggő, mert a feltétel szerint Span(a, b) = Span(c, d, e) legfeljebb 2-dimenziós vektortér, amelyben a, c, e 3 darab vektor.
ha van egy vektorrendszerem Rn-ben és a vektorrendszer vektorainak száma nagyobb, mint n, akkor az vr. biztos lineárisan összefüggő, ugye?
Igen. A dimenzió a lineárisan független vektorok maximális száma, vagyis Rn esetén n.
Pontosabban: egy vektortérben egy maximális lineárisan független rendszert a vektortér bázisának nevezünk. Belátható, hogy egy vektortérben minden bázis számossága ugyanaz, és ezt nevezzük dimenziónak.
Az is belátható, hogy minden generátorrendszerben van bázis, tehát a dimenzió egy generátorrendszer minimális számossága is egyben.
Van egy feladat, amit nem tudom, hogy kéne megoldani:
Tudjuk, hogy valamely a, b, c, d, e (eleme) Rn-re Span(a, b) = Span(c, d, e). Döntsük el, hogy lineárisan független, vagy összefüggő az a, c, e vektorrendszer!
(Span(a, b) := az a, b vektorok által kifeszített altér)
És van egy kérdésem: ha van egy vektorrendszerem Rn-ben és a vektorrendszer vektorainak száma nagyobb, mint n, akkor az vr. biztos lineárisan összefüggő, ugye?
Ez alapján kellene korrelációt számolnunk, de őszinte leszek, egyelőre nem tudom, hogyan álljak neki. Ha valaki esetleg tudna segíteni, levezetéssel együtt, nagyon hálás lennék! :)
Ha ellentmondásba ütköztél volna, akkor K=1-re nem lett volna megoldás?
Igen.
Az elegáns alakot így csináltad?
Igen. Vedd észre még, hogy |t|<pi/2 esetén cos(t)>0.
Azt kellett volna kérjem Gergőtől, hogy a K=-1 esetet számolja ki
A K=-1 nyilván ugyanúgy kijön, minden szögfüggvényt és inverz szögfüggvényt a hiperbolikus párjával helyettesítve (pl. cos helyett cosh, vagy arctg helyett arctanh), de most nincs kedvem ezt végiggondolni, 27 órája ébren vagyok.
Nincs általános módszer. Mint minden matematikai feladatnál, ismerkedni kell a szereplőkkel. Elég álmos vagyok, ezért ömlesztve elmondom, hogy oldottam meg a K=1 esetet. A többi K-ra nyilván hasonló mondható.
Legyen K=1, és az egyszerűség kedvéért legyen f pozitív és folytonos. Ekkor a függvényegyenletből az x1=x2=0 helyettesítéssel kapjuk, hogy f(0)=f(0)2, vagyis f(0)=1. Innen az x1=x, x2=-x helyettesítéssel kapjuk, hogy 1=f(0)=f(x)f(-x)(1+x2), vagyis f(x)f(-x)=1/(1+x2). Innen megpróbáltam ellentmondást kihozni az
f(x1)f(x2)f(-x1)f(-x2)=f(x1)f(-x1)f(x2)f(-x2)
azonosság segítségével. Ahelyett, hogy ellentmondást kaptam volna, a számolás közben felbukkant az
Innentől kezdve erős volt bennem a gyanú, hogy g(x):=1/gyök(1+x2) megoldja a függvényegyenletet. Ez így is van, az ok éppen a fenti azonosság.
Tehát van egy megoldásunk, a fenti g(x). Most a kérdés az, hogy van-e más megoldás is. Ha f(x) egy tetszőleges megoldás, akkor azt viszonyítsuk a már megkapott konkrét g(x) megoldáshoz, magyarán tekintsük a h(x):=f(x)/g(x) hányadost. Az f(x)-re és g(x)-re is felírva a függvényegyenletet, kapjuk, hogy h(x) egy sóhajnyival egyszerűbb függvényegyenletet elégít ki:
h((x1+x2)/(1-x1x2)) = h(x1).h(x2)
Ebben az a szép, hogy mindkét oldalon csoportstruktúrát fedezhetünk fel. A jobb oldalon pozitív számokat szorzunk, a bal oldalon pedig az (x1+x2)/(1-x1x2) kifejezés az, ami a tangens addíciós képletében szerepel. Konkrétan ha x1=tg(t1) és x2=tg(t2), akkor a fenti függvényegyenlet a következő alakot ölti:
h(tg(t1+t2)) = h(tg(t1)).h(tg(t2))
Tehát a h(tg(t)) függvény összeget szorzatba visz, vagyis ő egy exponenciális függvény:
h(tg(t)) = ct, ha |t|<pi/2, ahol c>0 konstans.
Ezért h(x)=carctg(x), végezetül
f(x) = h(x)g(x) = carctg(x)/gyök(1+x2).
Ez tehát a megoldás a pozitív értékű folytonos f függvények körében. Talán érdemes a megoldást elegánsabb alakban megadni:
Csak akkor exponenciális a megoldás K=0 esetén, ha felteszed, hogy a függvény folytonos. Vannak nem folytonos megoldások (amik elég vadak, tegyük hozzá).
Köszi! A vége lehet, hogy az lesz. Most egyelőre úgy döntöttem elkészítem simán "E-betűssen" és ha minden megy, akkor majd a végén ráérek átalakítani így vagy úgy.
