Legyen két nagy tömegű objektum. Ha ezek szeparálva vannak, a metrikát ismerjük. De mi történik akkor, ha ezeket ugyanabban az univerzumban helyezzük el. Nem túl közel, de nem is túl távol. A két ismert eredeti metrikában mit kell összeadni?
nem definiálod, hogy mit nevezel ebben a térben párhuzamosoknak
Meg hát azt sem, hogy az mit jelent, hogy "a térben indított párhuzamosok nem maradnak végig párhuzamosak", meg azt sem, hogy ennek mi köze ahhoz, amit utána ír. Tovább nem sorolom.
nem definiálod, hogy mit nevezel ebben a térben párhuzamosoknak, de kimondatlanul is az euklideszi tulajdonságra alapozol, abból sok jó nem fog kisülni.
Azt hiszem, a fizikusok a kölcsönösséget fogadják el. Kb. az elektromágneses hullámok analógiájára: az elektromos tér változása a mágneses tér oka, a mágneses tér változása (és persze ahol van, ott az elektromos töltés jelenléte) az elektromos tér oka.
Ha a görbült teret úgy határozzuk meg, hogy az ebben a térben indított párhuzamosok nem maradnak végig párhuzamosak - ebből automatikusan kell következnie annak az állításnak, hogy ahol gravitációval rendelkező anyagi test található, az egészen biztosan görbült tér is. Vagyis a gravitáció nem ok, hanem következmény.
A girón alapuló helyzet számításnál a folytonosság hiánya gond, a kölcsönös egyértelműség nem érdekes.
Ha három számmal jellemzem, folytonosságon azt értem, hogy bármely helyzetben egy kis változás egyik szám elugrását sem eredményezi.
Az, hogy pont melyikét, az esetleges, Eulerrel pl. a zeniten lesz az egyik ilyen. Másik hárommal is lehet, akkor esetleg máshol.
Elég érdekes, hogy van "tartalék" a 3 számban, hiszen pl. a zeniten csak egyik fix, a másik kettőből egyik végtelen sokfélének választható. Ha nem ismeri valaki hogy miről van szó, lehetne reménytelenül keresgélni olyan rendszert 3 számmal, ami folytonos.
Pontosabban: a korrekt módszer altrellel kiszámítani az egészet. Az adott esetben elég jó közelítés az, hogy a sebességből adódó eltérést specrellel, a gravitációs potenciálkülönbségből adódót a Schwarzschild metrikával a pálya magasságában álló objektumra számoljuk, és egyszerűen összegezzük. Ez nem korrekt, de ebben az esetben elmegy.
gyengébb gravitációs térben az idő gyorsabban telik
Ez nem így van. Nem a térerő számít, hanem a gravitációs potenciál különbség. Ha gravitáció ellenében felfelé van valami, alulról gyorsabbnak mérik akkor is, ha ott ugyanakkora vagy éppen erősebb a gravitáció. Pl. ha lefelé ásnánk, akkor is gyorsabbnak mérné aki lenn van a felszínen levő órát, pedig ebben az esetben fenn erősebb a gravitáció.
Inkább a kölcsönösen egyértelműség veszik el. A függőleges irányhoz megadott bármilyen vízszintes irány (a függőleges tengely körüli bármikyen elforgatás) a gömbfelszínnek ugyanahhoz a pontjához (a helikopternek ugyanahhoz a helyzetéhez) van rendelve, vagyis a (0,z) pár z-től függetlenül ugyanazt a helyzetet jelenti. A leképezés úgy marad folytonos, ha olyan topológiát használsz, amelyben az (0,z) pontnak z-től függetlenül ugyanazok a környezetei (egyébként az (x,0) és az (x, 2pi) pontok környezeteit is azonosnak kell venni bármilyen x értékkel, különben ott is "ugrás" lesz).
bármely irányt egyértelműen meg lehet adni két szöggel, egyik hogy mennyit tekerem a függőleges tengelyt, másik, hogy merre a vízszintest
de nem kölcsönösen egyértelműen (ld. fent)
nem teljesül az a kritériom, hogy egymáshoz közeli irányok egymáshoz közeli számokat eredményezzenek
Nem számoknak, hanem számpároknak kell "közel" lenniük egymáshoz a folytonossághoz. Hogy milyen számpárhoz milyen számpárok vannak közel, azt a topológia mondja meg. A szorzattopológia nyilván nem jó, ld. fent.
Bocs, hogy megint belekotyogok, de a c állandósága csak a speciális relativitás elmélet mellett számítható exact módon. Vegyük példaként az ISS-n mérhatő időeltérést:
Az időeltérés az ISS-en (Nemzetközi Űrállomás) működő atomóra és egy földi atomóra között két fő relativisztikus hatásnak köszönhető: a speciális relativitáselmélet és az általános relativitáselmélet hatásának.
Speciális relativitáselmélet (idődilatáció)
Mivel az ISS rendkívül nagy sebességgel (kb. 28 000 km/h) kering a Föld körül, a sebesség által okozott idődilatáció lép életbe. A speciális relativitáselmélet szerint minél gyorsabban mozog valami, annál lassabban telik az idő a mozgó objektum számára egy álló megfigyelőhöz képest.
Ez a hatás azt eredményezné, hogy az ISS-en lévő óra lassabban járna a földi órához képest.
Általános relativitáselmélet (gravitációs idődilatáció)
Az ISS a Földtől távolabb, gyengébb gravitációs térben kering, mint a Föld felszíne. Az általános relativitáselmélet szerint a gyengébb gravitációs térben az idő gyorsabban telik a gravitáció hatására.
Ez a hatás azt eredményezné, hogy az ISS-en lévő óra gyorsabban járna a földi órához képest.
Most konkrétan kiszámolva egy 100.000km/sec sebességű "dologra" -- szigorúan elméletileg gravitáció mentes térban, ami nincs) azt fogjuk találni, hogy a dolog számára az időlassulás százalékos aránya: (1−γ1)×100%=(1−1.060751)×100%=(1−0.942727)×100%=0.057273×100%=5.7273%
Ugyanakkor A hosszkontrakció miatti rövidülés százalékos aránya (a mozgás irányában): (1−γ1)×100%=5.7273%
A két százalék teljesen megegyezik. Vagyis ha x %-al rövidebb idő alatt jár be a fény egy ugyancsak x százalékkal rövidebb dolgot, akkor a sebessége ugyanakkora maradt.
A példa azt akarta bemutatni szemléletesen, mi a gimbal lock. Ez két szabadsági fokkal is megy.
(ha a távcső teljes helyzetét akarnám megadni, a harmadik a saját tengelye körüli elfordulás lenne).
A lényeg, hogy a folytonosság veszik el. Ebben a 2 szabadságfokú rendszerben könnyen belátható, hogy bármely irányt egyértelműen meg lehet adni két szöggel, egyik hogy mennyit tekerem a függőleges tengelyt, másik, hogy merre a vízszintest.
Viszont nem teljesül az a kritériom, hogy egymáshoz közeli irányok egymáshoz közeli számokat eredményezzenek. Az adott példában a helikopter irány a zenitre érkezés előtt epszilonnal, majd a zenitet a merőleges irányban elhagyva epszilonnal ugrást eredményez az elsőnek megadott szögben.
Ez a probléma egy test orientációjának megadásnál is jelentkezik a 3d térben. Az első két szám mint fent, a harmadik, hogy mennyit forgatjuk a vízszinteshez képest. Lehetséges, működik, de ott van benne a szakadás. A távcsöves példában ez úgy jelentkezik, hogy a távcső temgelye pont egybeesik a függőleges tengellyel.
Érdekes módon 3 számmal lehetetlen ezt folytonosan megadni. Nem csak fenti módszerrel, hanem sehogy sem. Topológiai kellemetlenség, az SO(3) nem homeomorf az R3-mal.
Ezért olyan feladatokban, mint pl. robotpilótákban az orientáció számítás, célszerű ezt több számmal megtenni. Redundáns, de folytonos. A robotpilótában 3 tengelyű giró van, amely elfordulási sebességet mér minden tengelyen. Ebből kell összeintegrálni, hogy áll egy adott pillanatban. Trükkös, mert természetesen nem jó tengelyenként.
A legkevesebb számolás a kvaterniókkal lehetséges a gyakorlatban.
egy forgatható függőleges rúdra szerelt kengyelben egy vízszintes tengely körül billenthető.
Ha jól számolom, ez összesen 2 tengely. Ha lenne harmadik is (az elsőre merőleges vízszintes tengely), akkor nem lenne ez a gimbal lock, nem? De amúgy meg mégis érteni vélem. Ahhoz, hogy a helikopter a látómezőbe kerüljön, nem kell 3 szöget állítani, csak kettőt (hiszen a gömbfelszín 2-dimenziós). Tehát azt hiszem, hogy a példád jó, csak nem arra, hogy 3 szám helyett 4-et használunk, hanem arra, hogy 2 helyett 3-at.
A !D nem jó szó erre, mert D-vel a fögget len dimenziókat szokás jellemezni. A teraédere súlyozás számai nem függetlnek. Nem lehet szak egyik számot változtatni, mert úgy érvénytelen számnégyest kapunk.
A számnégyesekkel való jellemzésnek lehetnek előnyei akkor is, ha egyébként ugyanaz 3 független számmal is megadható lenne.
Ilyen pl. a forgás, amit meg lehet adni 3 számmal (Euler), de gyakran praktikusabb 4 számmal, mert így nem szállnak el a számok, nincs gimbal lock. Pl. ha 3 tengelyű giroszkóp adataiból kell kiszámítani az orientációt, gyakran számnégyeseket használnak.
A gimbal lock akkor fordul elő, amikor három egymásra merőleges tengely mentén történő elforgatást (Euler-szögekkel történő forgatást) használunk, és két tengely egy irányba esik, így egy szabadságfok elveszik. Pl. követünk egy helikoptert egy olyan távcsővel, amely egy forgatható függőleges rúdra szerelt kengyelben egy vízszintes tengely körül billenthető. Repül egyenesen felénk a helikopter, követjük, így a függőleges rúd nem fordul, a vízszintesen egyre feljebb emeljük. A helikopter megáll pont felettünk, a távcső most függőleges. A heli most megindul merőlegesen a korábbi irányára. Oppsz, arra most pont nem akar mozdulni a távcső, előbb a függőleges tengelyét hirtelen 90 fokkal el kell fordítani.
Az origo helyét nem kell külön megmondani: ha ismered a pont helyét az origóhoz képest, mondjuk (x,y,z), akkor az origó helyét is meg tudod mondani a ponthoz képest: (-x,-y,-z)
Én sem értem, hogy mit írsz. A tér minden pontnak 4 koordinátája van, nincs tehát olyan, hogy "nulla tömeggel koordinátázott pontok". A tetraéder csúcspontjai a baricentrikus koordinátákkal megadva (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) és (0,0,0,1). A tetraéder (1,0,0,0) csúcsával szemközti lap közepének a koordinátái (0, ⅓, ⅓ ,⅓), a (0,1,0,0) csúcsával szemközti lap közepének a koordinátái (⅓, 0, ⅓, ⅓), stb. A tetraéder középpontjánk a koordinátái: (¼, ¼, ¼, ¼). A (1,0,0,0) és (0,1,0,0) csúcsot összekötő él felezőpontjának a koordinátái (½, ½, 0,0), és így tovább. A tér tetszőleges pontjának a koordinátái (a,b,c,d), ahol a+b+c+d=1. Az a,b,c és d számokat neveztem "tömegek"-nek.
Bármely kiválasztott csúcs koordinátázásához abba a csúcsba 1, a többibe 0 tömeget kell tenni. Akkor lesz a tömegközéppont a kiválasztott csúcs.
Az ilyen koordináta rendszerben a nulla tömeggel koordinátázott pontok nem különböztethetőek meg a koordináta rendszer többi pontjától - ezért az egyetlen pontjában mindjárt súlyponttal is rendelkező test, nem csak tetraéder, hanem bármilyen alakú "dolog"-gal helyettesíthető. Ez csak matematikailag létezik.
"a templomtoronytól északra öt kilométer, a csonka diófától sréhen száz méterre, fent a sziklakibúvás tetején éppen pünkösd utáni második holdtölte éjszakáján éjfélkor".
Pontosan. Itt a templomtorony, az észak, a csonka diófa, a sréhen, a fenti sziklabúvás és a pünkösd a koordinátázó szabály részei, a koordináták pedig (5,100,0,2).
bármely kiválasztott csúcs koordinátázásához az átellenes csúcsban nulla, vagy negatív tömegnek kellene lennie
Bármely kiválasztott csúcs koordinátázásához abba a csúcsba 1, a többibe 0 tömeget kell tenni. Akkor lesz a tömegközéppont a kiválasztott csúcs.
miért cáfolja egy ilyen koordináta redszer azt a feltételezést, hogy a klasszikus koordináta rendszerben a pont meghatározásához kell az orogó helye is
Arra próbáltam rávilágítani, hogy a koordinátázás egy szabály alapján szám n-esek (szám 3-asok, szám 4-esek, stb.) hozzárendelése a koordinátázandó pontokhoz. A szabályban szereplő pontokhoz (origóhot, vagy a tetraéder csúcsaihoz) nem kell újabb adatot megadni. A "klasszikus" (szokásos nevén affin) koordinátázásban nem kell pluszban megmondani, hogy hol van az origó. Az origó az a pont, amihez a (0,0,0) szám van hozzárendelve. Ugyanúgy, mint ahogy a tetraéder pontjai meg azok a pontok, amihez a baricentrikus koordinátázásban az (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), ill. (0,0,0,1) szám-négyesek vannak hozzárendelve.
Aha azt hiszem kezdem érteni. Egyetlen pont megadásának nincsen információ tartalma. ha pedig leagalább két pontot adunk meg, akkor meg lényegtelen hol van az origó, mert a két pont egymáshoz viszonyított helyzetének már van adat tartalma. És bár az orogó bárhol lehet, ettől még a két pont egymáshoz viszonyított helyzetére ugyazok az adatok jönnek ki.
