1. A feladat egy fekete és egy fehér feladatra hasítható, de nem szorzata ezeknek.
2. Ezeknek az egyszerűbb feladatoknak nincs megoldása az eredeti feltételek mellett. Azonban ha egy szín többször is léphet, akkor van megoldás. 18 lépésben jutottam el a megoldáshoz (a 2-2 futó cseréjéhez).
3. Az eredeti feladatnak viszont akkor is van megoldása, ha a színek csak felváltva léphetnek. Ezt éppen az itt szintén említett oda-vissza léptetés teszi lehetővé. A 4-4 futót 53 lépésben sikerült megcserélnem.
Az eltérő "fehér" és a "fekete" lépésszám nem lehet gond, mert kezdhetek a fehérrel vagy a feketével is, és 2-vel tudom növelni a lépésszámot ugyanazon oda-vissza lépéssel.
Még annyi, hogy a "turpisság" lehet, hogy az, hogy a feladat megoldhatatlan. S ezen érdemes elgondolkodni, hogy miért.
A "mezőknek nincs színe" szerintem ebben az esetben egy tévút. Ugyanis a feladat két - egymástól független - részből áll. A fehér mezős futókból és a fekete mezősökből. Mivel a két - eszerinti csapatpár egymást nem zavarja, ez két (azonos) feladvány, amely önmagában megoldható (vagy nem). Ám ebben a különválasztott esetekben nem lehet megkötés arra, hogy a fehér és a fekete felváltva lépjen. Ugyanis ha a kettő párhuzamosan megy, akkor lehet, hogy a másik feladatra térünk azért, hogy az egyik szín kétszer jöhessen egymás után.
Lényegében, ha megoldható a feladat pl. a fehér mezőkön a felváltva lépés nélkül, akkor a fekete mezőkön is. Összegyűjtve az összes ilyen megoldást, már csak az a kérdés, hogy összeszinkronizálható két olyan megoldás (egyik a fehér mezőkön megy, a másik a feketén), amelyben teljesül a felváltva lépés a fehér és a fekete futókkal. S lehet, hogy itt van az akadály a megoldhatóságban.
(Megjegyzem, hogy az elemzés közben, meg a fentiek megértésében ne keverjük azt, hogy a fehér mezős és a fekete mezős részfeladat van, illetve azt, hogy fehér futóval, ill. fekete futóval lépünk).
Sziasztok! Van egy feladat, ami meghaladja a képességeimet, így gondoltam megosztom másokkal, hátha valaki rájön a turpisságára:
Egy 5 sorból és 4 oszlopból álló sakktábla legfelső sorába 4 sötét, legalsó sorába 4 világos futót helyezünk. Cseréljük meg a figurákat, olyan módon, hogy azok kizárólag futólépésben léphetnek, nem léphetnek olyan mezőre, amelyet ellentétes színű figura üt, illetve felváltva léphetnek csak! (a futók átlósan léphetnek, a mezőknek nincs színe nem fontos)
Én mindig patthelyzetbe jutok és a legjobb eredmény ameddig eljutottam, hogy 2-2 bábu célba ér, azonban 2-2 bábu pedig egy sorral a cél alá kerül, úgy hogy nem tudok velük érdemben mozogni.
Igen, ez jön ki az Euler-formulából és az élek számára vonatkozó fokszám-formulából, ha általánosítjuk a korábbi gondolatmenetet.
Számomra érdekesebb kérdés az, hogy milyen n-re van (legalább) három berajzolt kör, ami egy ponton megy át (az eredeti körön belül). Nincs rajta időm gondolkozni, de nem tűnik könnyűnek. Valószínűleg kell hozzá némi algebrai számelmélet.
Gyanítom, hogy ha n nagy, akkor semelyik 3 berajzolt kör nem megy át egy ponton. Ezt felteszem a továbbiakban.
Na szóval: ez nem igaz, hiszen ha n osztható 6-tal, akkor n db berajzolt kör is átmegy az eredeti kör középpontján. Na mindegy, ha n egy nagy prímszám, akkor valószínűleg semelyik 3 berajzolt kör nem megy át egy ponton. Mindenesetre a fenti jelenség mutatja, hogy a tartományok száma függ az n számelméleti alakjától is.
Ez a feladat valamelyik matematikai topikba jobban illene. Elmondom, hogy én hogy csinálnám. Nevezzük berajzolt körnek az eredeti körön kívül berajzolt köröket. Az eredeti kör és a berajzolt köröknek az eredeti körbe eső ívei egy G síkgráfot alkotnak. A kérdés, hogy a G-ben mennyi a tartományok száma (T). Elég megállapítani a csúcsok számát (C), illetve az élek számát (E), mert az Euler-formula szerint T=1+E-C.
Legyen n a csúcsok száma, és az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy n páros. Gyanítom, hogy ha n nagy, akkor semelyik 3 berajzolt kör nem megy át egy ponton. Ezt felteszem a továbbiakban. A sokszög minden csúcsán át n-2 db berajzolt kör megy át, tehát a G-ben a sokszög minden csúcsának fokszáma n, továbbá az eredeti körön belül minden G-beli csúcs fokszáma 4. Ha tehát m jelöli a berajzolt köröknek az eredeti körön belüli metszéspontjainak számát, akkor C=n+m és 2E=n2+4m, amiből T=1+m+n(n-2)/2. Az m-et persze nemtriviális számolni, de elég azt kitalálni, hogy egy adott berajzolt kört hány további berajzolt kör metszi az eredeti körön belül: ha k jelöli ezt a metszésszámot, akkor m=nk/2, vagyis T=1+n(n+k-2)/2. Pl. ha n=4, akkor k=2, vagyis T=1+4*4/2=9.
Van egy érdeklődő fiatalember, aki már hetek óta ugyanazon a problémán agyal. Tőlem is kért segítséget, de nem tudtam semmi okosat.
Leírom:
Egy körvonalon megjelöli egy szabályos n oldalú sokszög csúcsait, majd megrajzolja az összes olyan kört, emelynek középpontja valamelyik jelölt pont és a kerületén van valamely másik kijelölt pont. Az összes ilyen kört megrajzolja. És felteszi a kérdést, hogy hány tartományra osztják a berajzolt körök az eredeti kört.
GeoGebrával megrajzolja az ábrát és nagy türelemmel megszámolja a tartományokat.
Eredményei:
3-nál 4
4-nél 9
5-nél 21
6-nál 36
7-nél 78
8-nál 145
9-nél 208
10-nél 351
11-nél 562
12-nél 636 tartomány.
Van-e erre képlet? Ezt kérdezi.
Tudtok valami okosat mondani erre?
(A fenti eredményeket Tőle kaptam, de még az is lehet, hogy elszámolt néhány tartományt.)
Ha az egységkockákat félig nyílt intervallumok szorzataként definiáljuk (nem pedig nyílt intervallumok szorzataként), akkor kxlxm-es téglatest esetén a válasz - teljesen általánosan -
(kl+lm+mk+gcd(k,l)+gcd(l,m)+gcd(m,k)-4)/2.
A 9x12x15-ös téglatestre ez 214-et ad (a differencia a síkon levő rácspontokból adódik).
pk1 megkérdezte, hogy hogy néz ki az általános eset, és erre írtam választ. Lásd a 20140 és 20144 üzeneteket itt. Az általam adott képletből következik, hogy 7x8x9-es téglatestre 95 a válasz, 9x12x15-ös téglatestre pedig 32*23=207 (visszavezetve a 3x4x5-ös esetre).
A kétszeres méretű téglát metsző sík átmegy az oldallapokon a metszésvonalak felezőpontjain. amiknek az egyik koordináta 0, a másik két koordinátája egész szám, tehát egységkockák csúcspontjai. Nagyobb közös osztó esetén belső csúcspont(ok)on is átmegy, például a 3a, 3b, 3c méretű téglatestben nem csak az oldallapokon fekvő (0,b,2c), (0,2b,c), (a,0,2c), (2a,0,c), (a,2b,0) és (2a,b,0) harmadoló pontokon, hanem az (a,b,c) ponton is, n-szeres nagyításnál, n*a, n*b, n*c méretű téglatestben pedig annyi (k*a,l*b,m*c) belső ponton megy át, ahányféleképpen fel lehet osztani n-et (n=k+l+m) három pozitív egész szám összegére.
Az eredeti feladatnak megfelelő a=7, b=8, c=9 értékekkel a (9863)-ban ismertetett konform leképzésű feladat alapján - amennyiben a leképzésem jó - a metszetek számára (azokat összeszámolva) 95-öt kaptam! A számlálást a háromszög megszerkesztését, és a metszővonalak megrajzolását követően végeztem el.
Feltételezéssel éltem, hogy - mivel nincs közös osztó - az érintésnek tűnő pontok valójában metszetek, és csak igen apró háromszöget adnak ki, noha látszólag mind a három metszővonal egy pontban metszi egymást. Ilyen pontból kettő volt.
A tényleges szerkesztést a gyakorlatban nem egyenlő oldalú háromszöggel végeztem, hanem azt tovább transzformáltam úgy, hogy a párhuzamos metszővonalak távolságai mind azonosak legyenek. Ilyen esetben az egyes oldalakhoz tartozó magasságvonalak oszlanak 7, 8 és 9 részre, azaz azok arányai éppen a kívánt értékűek (7,8,9), és a metszővonalak az ezekre rajzolt párhuzamos egyenesek.
A háromszög ilyen megrajzolását az segíti, hogy az oldal és a hozzátartozó magasság szorzata mindháromnál azonos, azaz 2T (terület). Így a 3 oldal rendre 72, 63 és 56 arányú (valójában ezek kétszeresével rajzoltam)
Érdekes, hogy e három érték összege 191, amely az ab+bc+ac érték, és az (ab+bc+ac-1)/2 éppen a 95-öt adja ki.
Kérdéses számomra az, hogy ha volna közös osztó, akkor lennének ténylegesen olyan pontok, amelyeknél egy pontba futó metszés adódik ki, és amelyek a kérdéses érintést jeleznék.
1. A metsző sík a téglatesten egy háromszöget ad ki.
2. A szemléletet megfordítom: Nem egységkockákban gondolkodom, amelyet ez a sík metsz, hanem "egységrétegeken", amelynek síkjai a háromszöget metszi. A koordináta rendszer három tengelye szerint három ilyen réteg-sorozat van. Mindegyik rétegsorozat a háromszöget egymással párhuzamos egyeneseken metszi. Ezek mindegyike egy-egy oldallal párhuzamos egyeneseket eredményez a háromszögön úgy, hogy a háromszög adott oldal szerinti magasságát a rétegek száma szerint osztja egyenlő részekre.
3. A feladat szerinti egységkockák közül, amelyiket a sík metsz, azt csak egy metszésvonalon (azaz síkon) metszi. Kivéve, ha egy csúcson megy át. Olyan nem lehetséges, hogy a metszésvonal a kocka egyik élén van.
4. A fentiek szerint a háromszögön 3, 4, 5 és 6 oldalú, különválasztható síkidomok képződnek a metszésvonalak rajzolataiból. Minden egyes síkidom egy-egy egységkocka metszést jelenít meg.
5. A háromszöget topológiailag egy egyenlő oldalú háromszöggé torzíthatjuk.
6. A feladat - átalakítva - tehát a következő: Osszunk föl egy egyenlő oldalú háromszöget mindhárom oldala szerint különböző (vagy ha kell, azonos) számú párhuzamos egyenesekkel egyenletesen (a kiírás szerint 7, 8, és 9 részre oldalanként). Hány egymástól elkülöníthető síkidomot kapunk így?
7. Kérdéses, hogy azok a metszések, amelyek éppen egy egységkocka csúcsán mennek át, azok 0, 1 vagy max. 8 metszésnek bizonyulnak? Ha nem nulla, akkor még figyelembe kell venni azokat a pontokat is - mint "síkidomokat" - amelyeken 3 egyenes megy át, illetve a háromszög oldalára eső metszésvonal találkozásokat.
"felhasználható-e a megoldáshoz számítástechnikai eszköz (programozás)?" - magára a kérdésre nyilván igen a válasz. Ha "jó" az algoritmus, akkor felhasználható. Hogy példával éljek: a gráfelméletben a négyszín-tételt ilyen módszerrel bizonyították anno.