Ez valóban nem a megfelelő topik, jobban illene pl. ide.
Nagyjából jól látom a dolgokat?
Igen, de ezt megtalálod minden tankönyvben, nem kell Neked kitalálnod.
Az (s/2)Gamma(s/2)-nek nincs gyöke, ezért a "ha" szóra nincs szükség. Azért nincs gyöke, mert egyenlő Gamma(s/2+1)-gyel, aminek nincs gyöke. Ebből valóban következik, hogy a zeta egyetlen pólusa az 1-ben van. Az is következik hasonló módon, hogy a -2,-4,-6,... pontok a zetának gyökei, és nem nehéz megmutatni, hogy minden más gyök a 0<=Re(s)<=1 sávba esik. Kicsit nehezebb belátni, hogy a sáv határán nincsenek gyökök, tehát az összes érdekes gyök a 0<Re(s)<1 sávba esik.
Ugye, az így kapott komplex függvénynek, amit nem mindenhol az a bizonyos végtelen összeg definiál, lesz -1-ben az értéke -1/12?
Igen. Ez az érték kijön a függvényegyenletből és abból a tényből, hogy zeta(2)=pi2/6, amit sokféleképpen lehet bizonyítani. Egyébként a sumn>0 n-s összeg csak a Re(s)>1 félsíkban konvergál, tehát csak itt definiálja a zetát.
Illetve, az Li(x) függvényt hogyan lehet aszimptotikusan kifejteni?
Lehet nem az ideális helyre írom, de a Riemann-féle zéta-függvényről olvasgatok mostanában és a tisztánlátás végett lenne egy-két apró kérdésem.
Azt le tudom vezetni, hogy pi^(-1/2s)Gamma(1/2s)zeta(s)=1/s(s-1)+integrál, ahol az integrálban az integrandus invariáns az (s-1) helyettesítésre nézve, amiből következik a Riemann-féle függvényegyenlet is. Az előbbi összefüggésben az integrál ugye reguláris az egész síkon és ennek egy egyenlőségnek megfelelően kiterjesztjük a zétát az egész síkra.
Ha itt most felszorzunk 1/2 s(s-1)-gyel, akkor kapjuk, hogy egy holomorf függvény = 1/2s(s-1)Gamma(1/2s)zeta(s)pi^(-1/2s). Ha az 1/2 sGamma(1/2s)-nek nincs gyöke, akkor a kiterjesztett függvényünknek csak az 1 lehet pólusa, ami valóban az is. Nagyjából jól látom a dolgokat? Ugye, az így kapott komplex függvénynek, amit nem mindenhol az a bizonyos végtelen összeg definiál, lesz -1-ben az értéke -1/12?
Illetve, az Li(x) függvényt hogyan lehet aszimptotikusan kifejteni?
pozitív^(p/q)={q'=q/lnko(p,q) darab különböző komplex szám, melyek egy origó középpontú körön vannak, köztük egy pozitív valós és q' páros esetén egy negatív valós}
negatív^(p/q)={q'=q/lnko(p,q) darab különböző komplex szám, melyek egy origó középpontú körön vannak, köztük q' páratlan esetén egy negatív valós}
Mint mondtam, nem akarom megváltani a világot.:) Amikor azt írtam, hogy hány helyen láttam, csak tankönyvekre gondoltam. Nem láttam olyan tankönyvet, ahol a 00-t értelmezték volna. És szakirodalmat sem, bár ettől persze még létezhet. Mint ahogy azzal is jól elvannak a matematikusok, hogy a 0 természetes szám mivoltában sincs egyetértés.
Azaz definiáltuk a négyzetgyök fogalmát, holott nem minden valós számnak van valós négyzetgyöke. De amelyeknek van, azok megmaradtak.
Amikor azt mondod, hogy "amelyeknek van", akkor burkoltan beleérted, hogy már bevezettük a négyzetgyök fogalmát. Hiszen arról beszélsz, hogy kinek van négyzetgyöke és kinek nincs. Szóval ez logikai bukfenc.
A négyzetgyök fogalmát úgy vezetjük be, hogy a négyzetre emelés inverze legyen. A hatványozástól több tulajdonságot elvárunk. Ha elvárjuk a szokásos műveleti azonosságokat és a folytonosságot is, akkor pozitív hatványalapokra kell szorítkozni, ahogy kifejtettem korábban. Szóval itt is csak arról van szó, mint a négyzetgyöknél: a hatványt a kívánt tulajdonságok szem előtt tartásával a lehető legszélesebb körben értelmezzük.
Ne értsd félre, nem akarok én matematikai forradalmat. :) Csak így középiskolában könnyen beleeshet abba a hibába a tanuló, hogy gyökös formáról átír egy kifejezést törtkitevőjűbe, úgy, hogy mindent "jól" csinál, helyes eredményt is kap, csak éppen negatív hatványalappal számolt.
Igen, ez így van, tisztában vagyok vele. Csak arra gondoltam, hogy bizonyára lehetett volna úgy definiálni a törtkitevőjű hatványt, hogy az értelmezhetőek megmaradjanak. Például a "négyzetgyök a" fogalmát is úgy tanultam annak idején, hogy "négyzetgyök a " jelenti azt a nemnegatív számot, amely....
Azaz definiáltuk a négyzetgyök fogalmát, holott nem minden valós számnak van valós négyzetgyöke. De amelyeknek van, azok megmaradtak.
Köszönöm a kísérletet, ilyen mélyen valóban nem tanultam komplexül. :)
Értem én, amit mondasz, csak olyan természetellenesnek tűnik, hogy így értelmezhető számokat (hatványokat) is "kidobunk".
Kompromisszumot kell kötni: minél szélesebb körben értelmezed a hatványozást, annál kevésbé lesznek szép tulajdonságai. A pozitív számokon különösen szép és egyszerű az élet.
Én úgy gondoltam, gondolom, hogy éppen az egységes definíciók teszik lehetővé, hogy mindenki egy nyelvet beszéljen.
Igen, de az egységes nyelvnél is fontosabb, amit meg akarunk érteni. Ha nem elég jó a nyelv, akkor ki kell egészíteni vagy akár meg is kell újítani. Mindenesetre teljesen általános, hogy egy szerző bevezet egy definíciót a cikkében, amit a következő cikkben egy másik szerző kicsit módosít (a saját céljainak megfelelően) stb.
Akkor most kizárja a 0 alapot, vagy nem? :)
Ezen most nincs időm gondolkodni, de én középiskolában (vagy egyetemi valós analízis előadáson) csak pozitív hatványalapra értelmezném a hatványozást. A kiterjesztett hatványozás (a valós számok körében) nem ad igazán semmi újat a komplikációkon kívül.
Köszönöm a részletes magyarázatot. Értem én, amit mondasz, csak olyan természetellenesnek tűnik, hogy így értelmezhető számokat (hatványokat) is "kidobunk".
"Amúgy ne dimenzionáld túl a definíciók jelentőségét."
Furcsa ezt egy matematikus tollából olvasni. :) Én úgy gondoltam, gondolom, hogy éppen az egységes definíciók teszik lehetővé, hogy mindenki egy nyelvet beszéljen. Különösképpen a matematikában.
Egyébként még utoljára a hatványokról, hogy milyen zavart is okoz a törtkitevő. A sulinet.huoldalon ezek egymás utáni mondatok a törtkitevőjű hatványok témakörében:
"...Ezért a negatív alapot ki kell zárnunk. A 0 alapot is ki kell zárnunk, mert negatív is lehet. A 0- nak csak a pozitív törtkitevőjű hatványát engedhetjük meg..."
De ez véleményem szerint könnyen kikerülhető lenne, hiszen minden tört csak egyféleképpen írható fel tovább már nem egyszerűsíthető formában.
Ez nem kerüli ki azt a problémát, amit én említettem. Konkrétan, a (-1)1/2 egy olyan valós szám kéne hogy legyen, aminek négyzete -1, de nincs ilyen valós szám.
Szívesen olvasnám a komplex számhalmazon értelmezett definíciót. :)
Ennek akkor van értelme ha már tanultál komplex függvénytant. Röviden ha M egy olyan nyílt összefüggő részhalmaza a nemnulla komplex számoknak, amiben a nullát nem lehet megkerülni, akkor M-en értelmezhető folytonos logaritmus, tehát olyan f:M->C folytonos függvény, amire exp(f(x))=x. Ez az f(x) nem csak folytonos, hanem holomorf (komplex differenciálható) is, és a segítségével értelmezhető a hatványozás tetszőleges M-beli hatványalapra: xk=exp(k*f(x)). Jegyezzük meg, hogy ez a hatványozás kielégíti az xk+m=xk.xm azonosságot, de nem elégíti ki az (xy)k=xk.yk azonosságot. További gondot okoz, hogy f(x) csak 2pi.i többszöröséig egyértelmű, tehát ha f(x) jó, akkor f(x)+2pi.i is jó és viszont. Ha M tartalmazza az 1-et, akkor kiköthetjük, hogy f(1)=0 legyen: ezzel f(x) már egyértelmű, ezt hívjuk a logaritmus főágának az M-en.
Ha az M-ben meg lehet kerülni az origót (pl. M a nemnulla komplex számok halmaza), akkor a fenti f:M->C logaritmusfüggvény nem létezik. Erre a szituációra találták ki a többértékű függvények elméletét (ami a Riemann-felületek elméletének része), ezzel a logaritmus és a hatványozás fogalma tovább bővíthető.
Inkább többé, mint kevésbé önkényes 1. :) A 00-t még sehol nem láttam értelmezni. Mert ezzel az erővel értelmezhetnénk 0-nak is, annak megfelelően, hogy 0-nak "bármely" hatványa 0.
Azt elmagyaráztam, hogy a negatív hatványalap miért problémás, ha a valós számok körében kívánjuk értelmezni a hatványt.
A nulla kizárásának hasonló, de finomabb oka van. Pl. nemnegatív hatványalapokra és kitevőkre nem lehet a hatványozást folytonosan értelmezni, mert ha k>0 a nullához tart (mondjuk k=1/2,1/3,1/4,1/5,stb.), akkor 0k határértéke nulla, de kk határértéke 1.
Egy másik lehetséges ok, hogy pozitív hatványalapokra és valós kitevőkre hagyatkozva a hatványozás definiálható az exponenciális és logaritmus függvény segítségével: xk=ek*ln(x). A képletben szereplő ln(x) csak pozitív számokra definiálható, hiszen az exponenciális függvény pozitív értékeket vesz fel (a valós számok körében).
Amúgy ne dimenzionáld túl a definíciók jelentőségét. Mindenki olyan definíciót használ, ami jól esik neki. Az elterjedt definíciók azok, amiket sokan természetesnek találnak vagy amik jól beválnak.
Nincs szükség 'pontosításra', minden egészségügyi kockázat nélkül vehetjük úgy, hogy bármi^0=1.
Tkp a nulladik hatvány azt jelenti, hogy 'mit kapunk, ha nem végzünk semmilyen szorzást?' a válasz egy többé-kevésbé önkényes 1, ami kellemesen összhangban van minden mással.
Egyetértek (annyi pontosítással, hogy a "bármiben" a 0 nincs benne, mert 00 nincs értelmezve). :) Mégis kizárták a "nagyok" az értelmezésből pl. a 02/3-t.
Köszi a választ. Gondolom, egy "pozitív" szó kimaradt belőle :)
Igen, hasonló indokot olvastam idáig mindenhol, és még azt is, hogy a törtek egyszerűsítésének/bővítésének lehetősége miatt nem egyértelmű, mikor értelmezhető illetve nem egy törtkitevőjű hatvány. De ez véleményem szerint könnyen kikerülhető lenne, hiszen minden tört csak egyféleképpen írható fel tovább már nem egyszerűsíthető formában. Igazából azt nem értem, miért kell kizárni az értelmezett számok közül pl. a (-8)2/3-t? Ugyanakkor, ha "ugyanezt" a számot (köbgyök(-8))2 formában írom fel, akkor az már elfogadható.
Gondoltam rákérdezek, hátha van egyéb oka is a dolognak.
Szívesen olvasnám a komplex számhalmazon értelmezett definíciót. :)
Persze attól is függ, hogy mi a mondat alanya, vagyis kik azok, akik nem értelmeznek. Sok számítógép (értsd: program(nyelv(implementáció))) pl. eleve nem tud törteket pontosan ábrázolni, pl az 1/3-ot sem, ezért nem is gondolkodik el azon, hogy (-8)^(1/3) esetleg lehetne (-2), hanem csak közli, hogy negatív alap + tört kitevő = error.
Lényegében azért, mert az 1/2 kitevőjű hatvány négyzetéről elvárjuk, hogy a hatványalap legyen, egy valós szám négyzete pedig nemnegatív. Tehát ha a hatványalap negatív, akkor gondok adódnak a hatványozással szembeni elvárásokkal.
A komplex számok körében lehet általánosabban definiálni a tört kitevőjű hatványt, de elég trükkös.
Milyen kapcsolatban van a gyök multiplicitása a sajátvektorokkal?
Ha a λ-hoz tartozó sajátaltér k-dimenziós, akkor λlegalább k-szoros gyöke a det(A-xI) polinomnak (aminek neve karakterisztikus polinom). Ezt könnyű belátni: a λ-hoz tartozó sajátaltérben vegyünk fel egy bázist, és ezt egészítsük ki a tér egy bázisává. Ebben a bázisban az A mátrixa úgy néz ki, hogy a bal felső kxk-as blokk egy átlós mátrix csupa λ elemből. A det(A-xI) polinomot osztja ennek a kxk-as blokknak a karakterisztikus polinomja (ez látszik pl. a determináns szokásos kifejtéséből), ami pedig az előbbi megjegyzés szerint (λ-x)k. Finomabb jellemzést kapsz a Jordan-féle normálalakból.
A példádbanλ egyszeres gyöke a karakterisztikus polinomnak, vagyis a fentiek szerint a hozzá tartozó sajátaltér 1-dimenziós. Tehát A-λI magja 1-dimenziós, vagyis a rangja N-1 dimenziós. Ez pedig pont azt jelenti (definíció szerint), hogy az Általad felírt N darab egyenlet között pontosan N-1 független van.
Miért állíthatóak elő egy paraméter függvényében?
Azért, mert a megoldások halmaza a sajátaltér, ami 1-dimenziós. Ha v egy sajátvektor, akkor {tv:t skalár} a sajátaltér, és t a szóban forgó paraméter.
Mi a teljesség és miért fontos ez egy lineáris tér esetében?
A teljesség fontos pl. akkor, ha analízist akarsz csinálni abban a térben. Pl. ha H egy Hilbert-tér és K benne egy zárt konvex halmaz, akkor minden x ponthoz található a K-ban egy p pont, amire az |x-p| távolság minimális. A p létezéséhez kell a teljesség. Ez a p pont pedig sok mindenre használható: pl. ha K egy zárt altér a H-ban, akkor a p-t nevezzük az x-nek a K-ra való vetítésének, hiszen belátható (a Pithagorasz-tétellel), hogy x-p merőleges a K-ra (és ez jellemzi is a p-t ebben az esetben). Ebből pedig következik, hogy a tér felbomlik a K és az ortogonális kiegészítőjének direkt összegére, más szóval van a térnek ortonormális bázisa, ami tartalmazza a K egy ortonormális bázisát.
A véges dimenziós valós (vagy komplex) vektorterek nagyon természetes általánosítása a valós (vagy komplex) Hilbert-tér. Hasonlóan lehet koordinátázni, lehet benne vetíteni (zárt alterekre) stb.
Szeretnék segítséget kérni lineáris algebrával kapcsolatban. Ezen belül a sajátérték egyenletről lenne szó. Ha nem gond, akkor Dirac-jelölést használok.
Vegyünk egy N dimenziós Hilbert-teret. Van a sajátérték egyenlet:
A |Ψ > =λ |Ψ > [1. egyenlet] Ebből kihozható egy egyenletrendszer:
∑i=1^N (Aij -λδij) cj, (i=1, 2, ..., N) [2. egyenlet] Ezen egyenlet megoldásának feltétele a szekuláris egyenlet: det(A-λI)=0, ebből kijön az A operátor spektruma, tehát a hozzá tartozó λ sajátértékek.
Ha λ egyszeres gyöke a szekuláris egyenletnek, akkor a 2. egyenletbe helyettesítve N-1 független egyenletet kapunk N ismeretlennel. Egyik kérdésem, hogy miért? Ugye az i index miatt N egyenlet ez, de a j index miatt minden egyenletben N ismeretlen van, a cj-k. Nem értem az egészet. Miért fontos az, hogy λ egyszeres gyök? Tudom, hogy mit jelent (legalábbis merem remélni), de jelen helyzetben nem értem, hogy miért fontos. Milyen kapcsolatban van a gyök multiplicitása a sajátvektorokkal?
A másik kérdés, hogy a fentiek miatt (N-1 független egyenlet N ismeretlen) végtelen sok megoldás létezik, de előállíthatóak egy paraméter függvényében. Miért állíthatóak elő egy paraméter függvényében? Lenne még sok kérdésem ehhez, de szerintem ha ezeket megértem, akkor azokat mát ki tudom találni magamtól is.
Lenne még egy harmadik kérdésem is. Ez pedig a Hilbert-terekhez kapcsolódik. Hilbert-tér egyik ismérve a teljesség. Elvileg tudom mi a teljesség definíciója, de nem értem. Mi a teljesség és miért fontos ez egy lineáris tér esetében?
Nagyon sokat segítene, ha valaki megértetné ezt velem.
