Köszönöm! Ebben az esetben legközelebb majd bátran kérdezek a másik topikban. Igazából már ez a válasz is hasznos volt számomra, de lehet megfogadom a tanácsod és érdeklődök majd ott is. További szép estét mindenkinek!
Én nézem azt a topikot is. A múltkori kérdésedre azért nem válaszoltam, mert a szitákhoz nem nagyon értek, illetve asszem nem is teljesen tisztázott, hogy pontosan mi a kapcsolat a Brun-, Selberg-, nagy szita között. A nagy szitát eredetileg arra találták ki, hogy sok maradékosztályt lehessen egyszerre szitálni, de hatékony kis rendszerekre is, pl. jó felső becsést ad az ikerprímek számára (jobbat, mint a Brun-szita, nevezetesen konstans erejéig jó becslést, ha elfogadjuk a Hardy-Littlewood sejtést az ikerprímek számára). A Selberg-szita gyakorlatilag ugyanarra képes, mint a nagy szita, de elemibb úton. Esetleg tedd fel a kérdésedet a MathOverflow oldalon, ahol sok szakértő megfordul.
Valóban nem kimondottan idevaló - ezt említetted is már és magam is így gondolom -, eredetileg nem is ide akartam írni, hanem a Matematika - számelmélet topikba, csak úgy láttam, hogy az nem nagyon aktív mostanában.
Szerintetek normál szövegbeviteli mezőben ahol nincs alsó, felső indexelésre lehetőség, hogy érdemes bevinni és kiíratni pl. a 2,3456 * 10-5 értéket? Én erre gondoltam, de ha van megszokott, jobb ötlet akkor azt megköszönöm előre is!
2,3456*10(-5)
Egy programot szretnék majd írni, ahol a felhasználó választhat hogyan számol. Normál vagy hatványkitevős módot tudna választani. (Ez utóbbinak amúgy mi a hivatalos megfogalmazása?) Egyszerű lenne a 2,3456E-5 használata, de olyat szeretnék amiből a felhasználó "egyből" rájön, hogy mit hogyan kell. Vagy ez így már túl "szájbarágós" lenne?
A parciális összegzést meg lehet úszni: a sumk k-s/fi(k) Dirichlet sor G(s+1), ahol G(s) mint lent. Ezért tetszőleges x>0 esetén G(s+1)xs/s meromorf a Re(s)>-1 félsíkban, és az egyetlen pólusa az s=0 pontban van, ahol a reziduum d.log(x) a megadott d-vel. Ezért a Perron-formulából közvetlenül kapjuk, hogy
Vázolom a két feladat megoldását, a részletek kidolgozását Rád bízom.
1. Tekintsük a megfelelő Dirichlet-sort:
F(s) := sumk d(k)2/ks.
Ez lokálisan egyenletesen konvergál a Re(s)>1 félsíkban, tehát ott holomorf függvényt ad meg. A sor expliciten kifejezhető mint
F(s) = zeta4(s)/zeta(2s),
a bizonyítás elvégezhető a megfelelő Euler-faktorok összehasonlításával. Ezért F(s) meromorfan kiterjed a Re(s)>1/2 félsíkra, és az egyetlen pólus az s=1 pontban van. Tetszőleges x>0 esetén az F(s)xs/s függvény reziduuma az s=1 pontban c.x.(log x)3, ahol c egy pozitív konstans, nevezetesen
c := (1/6)(1/zeta(2)) = pi-2.
Ezért standard Mellin-transzformáltas technikával (a Perron-formula segítségével) kapjuk, hogy az első összeg aszimptotikusan
sumk<=x d(k)2 ~ c.x.(log x)3,
amint x tart a végtelenhez.
2. Érdemesebb előbb a sumk<=x k/fi(k) összeg aszimptotikus viselkedését megállapítani. A megfelelő Dirichlet-sor most
G(s) := sumk k1-s/fi(k).
Ez lokálisan egyenletesen konvergál a Re(s)>1 félsíkban, tehát ott holomorf függvényt ad meg. A sor expliciten kifejezhető mint
G(s) = zeta(s) prodp (1+p-s/(p-1)),
ahol a jobb oldali szorzat a prímeken fut végig. A bizonyítás megint elvégezhető a megfelelő Euler-faktorok összehasonlításával. Ezért G(s) meromorfan kiterjed a Re(s)>0 félsíkra, és az egyetlen pólus ismét az s=1 pontban van. Tetszőleges x>0 esetén a G(s)xs/s függvény reziduuma az s=1 pontban d.x, ahol d egy pozitív konstans, nevezetesen
d := prodp (1+p-1/(p-1)) = zeta(2)zeta(3)/zeta(6).
Ezért - hasonlóan, mint előbb - kapjuk, hogy
sumk<=x k/fi(k) ~ d.x.
Innen parciális összegzéssel kapjuk, hogy a második összeg aszimptotikusan
sumk<=x 1/fi(k) ~ d.log(x).
P.S. A Dirichlet-soros analitikus bizonyítások átalakíthatók elemibb konvolúciós bizonyításokká, és mindkét módszerből kijön explicit hibatag is. Lásd pl. a 2. fejezetet Montgomery-Vaughan: Multiplicative Number Theory I. könyvében, és a feladatokat is nézd meg. Egyébként a feladataid nem ebbe a topikba valók, de ezt asszem már sokszor elmondtam.
Két számelméleti összeg nagyságrendi becsléséhez kérnék tényleg csak egy kis segítséget. Legyen d(k) a k szám osztóinak a száma, fi(x) szokásosan az Euler-féle fi függvény.
sum_{k<= x}d(k)^2, illetve a sum_{k<=x}1/fi(k) lenne a két szóban forgó összeg. Előre is köszönöm az ötleteket!
Sajnos az iskolában feladott dolgokat meg kell tanulni, különben nem veszik fel gimnáziumba, aztán egyetemre, és végül nem azt csinálja a gyerek felnőttként, amit szeretne. Az iskola a legnagyobb büntetés a gyerek és a szülők számára.
Egy halmaz komplementere definíció szerint az alaphalmaz mínusz a halmaz. Azért van külön szó rá, hogy ne kelljen mindig azt mondani, hogy "alaphalmaz mínusz a halmaz". Pl. a "pozitív" szót azért használjuk, hogy ne kelljen mindig azt mondani, hogy "nullánál nagyobb".
Nekem az a véleményem, hogy ne magoltasd be a gyerekkel a tanár által kért módszert, mert holnapra elfelejti, nekem is van egy 7.-kes lányom, akinek szégyenemre nehezen megy a matek, a mmormota módszere a nyerő, azt kell megtanúlni.
Leírom a módszert. Biztos van otthon egy számítogép MS excellel.
Nyiss meg egy lapot, az A2 mezőben írd be a számot amiből négyzetgyököt kell vonni, és húzd le az egérrel az A8-as mezőig. Válaszd ki egérrel a B2:B9 mezőt, és állítsd be úgy, hogy a számok négy tízedes pontossággal jelenjenek meg (lehet, hogy alapból be van állítva).
Aztán a B1 mezőben írj be egy egész számot, ami egyenlő a A2 mezőben beírt tízedével (vagy azt, hogy =A2/1o). A B2 mezőben írd be ezt a kifejezést: =(B1+A2/B1)/2, és húzd le az egérrel a B8-as mezőig.
A B5 vagy a B6 mezőben megjelenik a négyzetgyök értéke.
Ha megváltoztatod a számot a A2 mezőben és lehúzod egérrel, illetve beírod számnak az egytízedét a B1 mezőben, akkor a gép kiszámítja a A2 mezőbe beírt négyzetgyököt a B6 vagy B7 mezőben.
Hagyd játszani a gyereket egy kicsit a táblázattal, aztán kérd meg, hogy csinálja meg papíron is ugyanazt, úgy, hogy másolja le és helyetesítse be a B1,B2,B3,... mezőkben levő képletet. Menni fog neki egyből és érteni is fogja. Az háromjegyű számnak 4. lépesben kapjuk meg a gyökét, egy négyjegyünek az 5.lépésben.
Én sem tanultam gyökvonást papíron, de a mmormota által javasolt eljárás mindig működik.
Elmondom pontosabban, miről van szó. Ha az n pozitív szám négyzetgyökét keressük, akkor induljunk ki egy x számból, amiről tudjuk, hogy a négyzetgyöknél nagyobb. Ezek után az x-et cseréljük le az (x+n/x)/2 értékre, majd ezt az eljárást ismételjük. Belátható, hogy minden lépésben a keresett négyzetgyök feletti értéket kapunk, de az attól vett eltérés minden lépésben legalább feleződik.
Pl. az n=361 esetében kiindulhatunk az x=100 értékből, hiszen 100 négyzete nyilvánvalóan nagyobb a 361-nél. Ekkor a fenti lépésekkel gyártott közelítő sorozat így alakul (4 tizedesjegyre kerekítve):
Ha véletlenül hozzájutsz Dr Obádovics Matematika I. kötethez, abban a 142. oldalon be van mutatva az algoritmus. (Előző oldalakon a többtagú kifejezésekre levezetve az eljárást magyarázza, hogy miért úgy kel ahogy.)
Ha csak az algoritmus érdekel, akkor a következőt kell csinálni:
1, Az adott számot a tizedesvesszőtől balra és ha vannak tizedes jegyek akkor jobbra is oszd fel 2 jegű csoportokra
a 361-et pl 3 61.
2, A legmagasabb helyi-értékű csoport négyzetgyökét alulról becsüld meg, aminek a négyzete még éppen kisebb, jelen esetben:
03|61=1
3, Vissza szorzod, esetünkben 1*1=1 és kivonod a legnagyobb helyi-értékű csoportból
03|61=1
-01
02
4, A maradékhoz veszed a következő csoportot és a kapott számjegyhez hozzáadod önmagát
03|61=1
-01
0261 : 2_
5, Itt most a 261-et kell majd osztani egy 20- nál nagyobb, de 30-nál kisebb számmal, mivel az első jegy 1-es volt és 1+1=2 lett az osztó első számjegye. Itt próbálgatással a 28, vagy a 29 lesz a jó megoldás:
03|61=19
-01
0261 :29 * 9
-261
0
Nem tudom mennyire követhető, ha nem érted kérdezz.
