Egyáltalán nem döbbenetes. Most nincs kedvem a pontos valószínűséget kiszámolni, de pl. binom(43,4) az olyan esetek száma, ahol az utolsó 3 szám egymás után következik. Tehát a keresett valószínűség mindenképpen nagyobb, mint binom(43,4)/binom(45,6)=1/66.
Valaki megszakértené nekem, hogy ez a számsor mennyire "döbbenetes"? (Szerintem egyáltalán nem az.)
Konkrétabban azt kérdezném, hogy az 1...45 egész számok közül 6-ot (visszatevés nélkül :)) véletlenszerűen kiválasztva mekkora valószínűséggel lesz a kiválasztott számok között legalább három egymásrakövetkező?
Végül ha kicsit többet rajzoltam volna rájövök, hogy a a háromszöges vonal ás az oldalal párhuzamos vonal között csak a szög más, és a két "véglet" között végtelen sok ilyen vonal létezik és mind egy pontban metszik egymást. A 4 oldal miatt pedig 4 ilyen pont létezik!
Amúgy ez általánosan igaz bármilyen n szögre és bármilyen 1/m arányra? Mármint hogy vannak ilyen pontok?
Ha berajzolod a téglalap középvonalait (melyek ugye az oldalakkal párhuzamosak) és 1:5 arányban felosztod azokat, akkor négy olyan pontot kapsz a téglalap belsejében, melyeknek legalább egyikén át kell mennie a kívánt egyeneseknek. Eddig geometria, innen kombinatorika/számelmélet: 13 dolgot nem lehet úgy négyfelé csoportosítani, hogy mindegyik csoportban négynél kevesebb dolog (ez esetben egyenes) legyen.
Ne speciális esetből indulj ki, hanem az általánosból: egy ferde vonal két trapézra vágja a téglalapot. Mekkora is ezeknek a trapézoknak a területe? terület = magasság * középvonal
Sziasztok! Próbálok rajzolgatni, de valahogy nem jön ki jnekem ez a 13 egyenes vonal.
Egy téglalapot 13 egyenes metsz úgy, hogy mindegyik egyenes két olyan négyszögre bontja a téglalapot, amelyek területének aránya 1 : 5. Mutassuk meg, hogy ekkor van 4 olyan egyenes, amelyek egy pontban metszik egymást.
Ha párhuzamost húzok valamelyik oldallal, akkor elvileg ugyebár az 1/6 és az 5/6 lenne az ami egységnyi oldalhossznál 1:5 arányt ad. Vagy a sarkokból 2 húzott egyenessel 2 háromszög lenne jó 1/3 (2/6) és 2/3 (4/6) szemköszti oldalponthoz ami szintén 1:5 aránnyt adna. De még így is, hogy a 3-szög nem is 4-szög, ez csak 12 lenne (8 a sarkokból + 4 az oldalakkal párhuzamos).
Igen, talán szerencsésebb lett volna azt mondanom, hogy legyen N az a pont, ahova az OA+OB+OC vektor mutat az O-ból (más szóval N helyvektora az O-ból egyenlő az A,B,C helyvektorainak összegével).
Az ötleted alapján sikerült (helyes) geometriai bizonyítást adnom. Be akarjuk látni, hogy
(1) a2 + b2 + c2 > 8R2.
Jelölje O a beírt kör középpontját, M a magasságpontját, d pedig O és M távolságát. Állítom, hogy
(2) a2 + b2 + c2 + d2 = 9R2.
Ha ezt elfogadjuk, akkor (1) könnyen következik. Valóban, a háromszög hegyesszögű, ezért M a háromszög belső pontja, vagyis M a körülírt körön belül van, tehát d<R. Ezt (2)-be írva kapjuk, hogy
a2 + b2 + c2 + R2 > 9R2,
majd mindkét oldalból R2-et kivonva kapjuk az (1)-et.
Marad a (2) bizonyítása. A továbbiakban XY alatt az X pontból Y pontba menő vektort értem. Állítom, hogy
vagyis az AN merőleges a CB-re. Hasonlóan BN merőleges AC-re, illetve CN merőleges BA-ra. Tehát N=M a háromszög magasságpontja, és ezzel a (3)-at beláttuk. Ezek után (2) gyorsan következik:
Sajnos ezt a PDF file le kell tölteni, nem tudom másképp feltölteni. Grafikus megoldása a feladatnak.
A színusz tétel szerint 2R= a/sin(α)= b/sin(β)=c/sin(γ)
Idézet wiki:
A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben, egy oldal hosszának és az oldallal szemközti szög szinuszának a hányadosa független az oldal választásától, a hányados pedig egyenlő a köré írt kör átmérőjével.
Tehát
sin2(α)+sin2(β)+sin2(γ)= (a2+b2+c2)/(4R2)
Kérdés az, ha igaz, hogy a2+b2+c2> 8R2
Felosztottam grafikusan a a2 ,b2 , c2 négyzetek területeit, R2/4, R2/16, R2/64 négyzetekre, ameddig tudtam és kijött a következő:
és még maradt valamennyi terület, ez be van satírozva és ezt az osztást lehet folytatni, R2/1o24 (az abrán csak R/8-ig folytattam, de a R/16 is befér).
Persze baltával faragott a megoldás, de ez is egy bizonyítás.:)
Meghúzom a magasságot a A pontból a BC oldalra, ez lesz az AA' szakasz, a B-ből az AC oldalra, ez lesz a BB', a C-ből az AB oldalra, ez lesz a CC'.
Ráfordítom az AA'-et A-ból az AC oldalra, a BB'-et a B-ből a BA oldalra, a CC'-et a C-ből a CB oldalra.
Megszerkesztem a négyzetet az AB, BC, CA, AA', BB', CC' oldalakra és szakaszokra, kapok 3x2 négyzetet, ezeknek a területe a következő összefüggést kéne teljesítse.
AA'2/AC2+BB'2/BA2+CC'2/CB2>2
Probálkoztam azzal, hogy kifejeztem a magaságokat a terület és a oldalak hányadosából.
Meghatároztam a területet is az oldalak hosszából.
De analitikusan nem sikerűlt egyszerübb alakra hozni a bal oldalt. Valamit geometriailag kéne kitalálni.
Kíváncsi lennék, hogy van-e geometriai jellegű bizonyítás. Olyasmire gondolok, hogy a bal oldalt valamilyen geometriai mennyiségként interpretáljuk, amiből látszik az egyenlőtlenség. Pl. ha a háromszög derékszögű, akkor a bal oldal pontosan 2, aminek bizonyára van transzparensebb oka, mint hogy behelyettesítünk és kijön.
Fogalmam sincs. Én ezeket magamtól tanultam az otthon fellelhető könyvekből (pl. négyjegyű függvénytáblázat), még általános iskolás koromban. A szekánst és koszekánst pedig csak Amerikában tanultam meg, amikor integrálszámítást tanítottam. Szerintem a legtöbb magyar matematikus nem ismeri a szekánst és koszekánst, és ezzel nincs is semmi gond.
