Igen, úgy kellett volna fogalmazni, hogy az átlagos napi felvétel megfelelően normálva egy ilyen meg olyan normál eloszlású változó. (Az átlagost limeszben véve, egyre több nap fölött átlagolva.) A centrális határeloszlástétel miatt ez egy teljesen reális feltétel.
Ráadásul nem is folytonos... (mivel min 1000 forintos adatogban vehet fel pénzt)... De tényleg ne vesszünk el a részletekben... Bár aki a feladatot feladta, pont a ezeket a részleteket vagy nem érti vagy nem érdekelte. Szerintem ezért pocsék a feladat mivel nem a megértést segíti, hanem összezavarja a diákot. (legalábbis ha gondolkozik és nem automatikusan oldja meg).
én is erre jutottam de hálás vagyok a levezetésekért! nem tudom leírni csak a speciális karaktert nem tartalmazó részt - tudom, vannak ilyen egyenlet szerkesztők, de most nincs időm, kibogarászni ^_^
m=2,5
szórás=0,4
P(2<kszi<3)=F(3)-F(2)=2x0,8944-1=0,7888
Tehát 78,88% a valószínűsége annak, hogy egy adott napon felvett pénz mennyisége a várható értéktől legfeljebb 500.000 Ft-tal tér el.
Használjuk egységként a millió forintot. A bankautomatából felvett pénz egy olyan X normális eloszlású valószínűségi változó, aminek várható értéke 2.5, szórása 0.4, a kérdés pedig az |X-2.5|<=0.5 esemény valószínűsége. Érdemes áttérni az Y:=(X-2.5)/0.4 változóra, mert ennek várható értéke 0, szórása 1, magyarán Y egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, amivel kényelmes számolni.
Mivel |X-2.5|=0.4|Y|, ezért a kérdéses valószínűség P(|Y|<=1.25), ami definínicó szerint
(1/gyök(2pi)) int[-1.25,1.25] exp(-x2/2) dx.
Az integrált többféleképpen lehet közelíteni, vagy meg lehet nézni táblázatban. Én beírtam a WolframAlpha-ba a fenti kifejezést, és 0.7887-et kaptam: lásd itt.
Röviden: a keresett valószínűség közelítőleg 78.87%.
P.S. Természetesen a felvett pénz összege nem normális eloszlású változó, hiszen csak nemnegatív összeget lehet felvenni. De ez mellékes.
Valószínűségszámítással kapcsolatban is tudnátok segíteni? Nem szoktam sehova írni ilyen ügyben, de ide most emiatt regisztráltam *-) Nem feltétlenül kell a megoldás, szeretném megérteni, hogy magamtól is kiszámolhassam:
Egy bankautomatából naponta felvett pénz mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó, várható értéke 2,5 millió forint, szórása 0,4 millió forint. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy adott napon felvett pénz mennyisége a várható értéktől legfeljebb 500 ezer forinttal tér el?
Ha egy N számnak osztója az összes prímhatvány x-ig, akkor N-nek osztója az összes szám x-ig. Ennek az az oka, hogy ha N-nek osztója m és n, amik legnagyobb közös osztója 1, akkor N-nek osztója mn is.
Ezért a 2,3,4,5,...,8190,8193,...,10001 számok legkisebb közös többszörösét megkaphatjuk úgy, hogy 10001-ig tekintjük az összes páratlan prímszámot a 8191 kivételével, majd vesszük minden ilyen prímszámnak a legnagyobb hatványát 10001-ig, majd összeszorozzuk ezeket a prímhatványokat, végül ezt megszorozzuk 4096-tal. Ennek a hatalmas számnak (lásd előző üzenetem) osztója minden szám 10001-ig, leszámítva a 8191-et és a 8192-t, amik nem osztói neki.
Ha veszed 10001-ig a számokat, leszámítva a 8191-et és a 8192-t, akkor ennek a 9999 számnak a legkisebb közös többszöröse osztható 10001-ig az összes számmal, leszámítva a 8191-et és a 8192-t.
Megpróbáltam programmá írni amiket mondtál, viszont nem jó egyik sem (persze lehet én hibázok), mivel a 12938as hozzászólásban, a végeredmény nem 2 szám lett, hanem csak 1 szám nem osztja! A 12939-es hozzászólás alapján meg több mint 5 ezer szám nem osztja a számot!
A 12931-beli bizonyításom (a 12933-beli javítással) hibás. Ugyanis nem azt használtam, hogy k és k+1 egyike nem prím, hanem azt, hogy az egyikük nem prímhatvány. Na most előfordulhat, hogy k és k+1 mindketten prímhatványok, nevezetesen az egyikük lehet 2-hatvány, a másikuk pedig prím.
Példának okáért vegyük 10001-ig az összes prímhatvány szorzatát, kivéve a 8191-et és a 8192-t (az első prím, a második 2-hatvány). Ez a szám 10001-ig minden számmal osztható lesz, kivéve a 8191-et és a 8192-t.
Nem. Az előző üzenetemben megmutattam, hogy nincs olyan szám, ami 10001-ig minden számmal osztható, kivéve két szomszédos számot.
A Te megoldásod azért nem jó, mert a szorzatod nem csak 2-vel és 3-mal nem lesz osztható 10001-ig, hanem egy csomó más számmal sem (pl. 8-cal vagy 9-cel vagy 10-zel).
Hát ha egy nagyon primitív megoldás érdekel, akkor: 2-től 10001-ig vedd ki az összes 2-vel és 3-al osztható számot, majd a maradék számokat szorozd össze. Az így kapott szám biztosan eleget tesz az általad hozott feltételeknek.
Nincs ilyen N szám. Tegyük fel ugyanis, hogy N-nek osztója az összes szám 10001-ig, kivéve a szomszédos k és k+1 számokat. Ekkor N páros, hiszen 10001-ig sok páros szám van. Ezért k>2, ami miatt k és k+1 közül az egyik biztosan prím, tehát k=mn vagy k+1=mn, ahol 1<m,n<k alkalmas relatív prímek. A feltétel szerint N osztható m-mel és n-nel, tehát mn-nel is, vagyis N osztható k és k+1 egyikével. Ellentmondás.
Le lehetne-e vezetni egy olyan kérdést, hogy egy nagyon nagy számnak, 10001-ig pontosan két egymást követő szám nem osztója viszont az összes többi igen, létezik-e ilyen?
Egyszer nyilvános húzáson az utolsó számnál (ha jól emléxem, rengeteg 9-es volt a kihúzott számokban) az idős húzó megszólalt: "Ezeket a számokat az ördög küldte!"
Fél percig senki sem mert megszólalni :-)
Pedig minden kihúzott számsornak azonos a valószínűsége. 1 2 3 4 5 ritkán jön ki, de biztos található olyan, nem ennyire szabályos számsor, ami szintén nagyon ritkán jön ki.
