Biztosan sort kerítek rá egyszer. Sajnos az idő már meglehetősen meleg a Mediterraneumban a komoly fizikai kihívásokra. Vasárnap megszenvedtem ezt.
Mikor jössz Magyarországra?
L.
En mar meg se merem szolitani Petyust igy Husvet utan, igy atiranyiton a beszelgetest a zenematematika rovatba, ha igaz, ott majustol egy zenematematika szeminariumra jaro baratunk szamol majd be arrol, mit zenelnek a szamok es mit szamol a zene...:)
Tizenkét kvint fel, hét oktáv le. Mit kapunk eredményül?
Felváltva is végre lehet hajtani a lépéseket, egy oktávon belül maradva:
c + g - d + a - e + h - f# - c# + g# - d# + a# - f - c
A + vagy - jelek jelentik a hangközöket /ami mindig kvint/, a + pedig azt, hogy fellépünk, a - pedig azt, hogy egy oktávot le is lépünk a hangskálán. Az első hat lépésben keletkezik a teljes püthagóraszi skála, de ha tovább haladunk, akkor keletkeznek a "megemelt" hangok, majd a 12-dik lépésben a kiinduló hangot kellene elérnünk. A püthagóraszi szisztémában matematikailag nem igaz, hogy 12 kvint az 7 oktáv, mint az előbb bizonyítottuk is. De ennél sokkal egyszerűbb eset, hogy: a d-e hangköz kétszerese-e az e-f hangköznek?
Azaz 1) (256/243)2 = 9/8
ahol 256 = 28 és 243 = 35
tehát
2) 216/310 = 32/23
3) 219/312 = 1
a bal oldal kb 0.98654, ami nagyon jó közelítés, de akkor sem annyi.
1. Két hangköz összegének az aránya egyenlő a két hangintervallum arányának a szorzatával.
Ez azt fejezi ki, hogy az észlelt hangmagasságok és a hangfrekvenciák között logaritmikus összefüggés van. (És ez igaz is.)
2. Két hangköz különbségének az aránya egyenlő a két hangköz arányának a (megfelelő sorrendben vett) hányadosával.
Ez is ugyanazt fejezi ki. (És még mindig igaz.)
E két szabály alkalmazása azonban a püthagoraszi skála esetében nem mindig volt jogos, ...
Ezzel a kijelentéssel viszont nem tudok mit kezdeni. Ha egyszer valami igaz, akkor annak az alkalmazása miért ne lenne jogos bárhol és bármikor? Fenti megállapítások nem csupán konkrét méretű hangközökre igazak, hanem bármekkorákra. És alkalmazták is őket, jogosan és sikerrel, matematikailag teljesen korrekt módon.
Elnézést, hogy csak most reagálok, de hosszú hallgatásom oka elsősorban az, hogy nem értem az ellenvetésed. Különösen ez:
A cikk írója: E két szabály alkalmazása azonban a püthagoraszi skála esetében nem mindig volt jogos, ...
Erre ezt írod:
(ez viszont hülyeség, ezek a szabályok skáláktól és hangrendszerektől függetlenek)
A cikk azt állítja, hogy a püthagóreus hangskála kvintugrásokból áll elő. 1) Lehet-e például kvintugrásokból oktávot előállítani? A kvint 3/2-et jelent a kvintugrás pedig mindig 3/2-del való szorzást. Az oktáv pedig 2-vel való szorzást. Az 1) kérdésünk tehát átfogalmazva az, hogy 3/2-et hányszor kell önmagával megszorozni, hogy oktávot vagy oktáv valahányszorosát kapjuk:
1) (3/2)n = 2k, ahol n és k természetes számok.
átrendezve:
2) 3n = 2(k+n)
legyen m = k+n, ekkor
3) 3n = 2m
tudunk-e olyan n és m számpárt mondani, amelyre 3) igaz lenne. Mivel 3 nem osztható 2-vel, akkor 3 tetszőleges hatványa sem osztható 2-vel, de így 3 tetszőleges hatványa sem osztható 2 tetszőleges hatványával
Tehát 3) nem igaz. Ha 3) nem igaz, akkor nem lehet kvintugrásokkal eljutni oktáv (vagy annak tetszőleges többszöröse) hangközre.
Ugyanez a temperált hangskálában úgy néz ki, hogy a kvint hangköz az 7 félhang. Egy félhang tizenkettedik gyök kettő, azaz 2(1/12). Itt is érvényes a szorzás szabálya, tehát a 7 hangköz esetén hétszer kell önmagával megszorozni a tizenkettedik gyök kettőt, azaz 2(7/12), kettő a hét-tizenkettediken.
A kérdés tehát most az, hogy a temperált hangskálában előállítható-e kvint ugrásokkal az oktáv (ami továbbra is kétszeres szorzó), vagy annak többszöröse. Tehát:
4) 2(7/12)n = 2k, ahol n és k szintén természetes számok
az rögtön látszik, hogy ha n=12 akkor k=7 azaz ha pontosan 12 kvintugrást lépünk a hangskálán, akkor pontosan 7 oktávot léptünk felfelé. Egy zongorabillentyűn bárki ellenőrízheti tapasztalati úton is, kezdve a legalsó c-vel 12-szer lépünk 7 félhangot, szintén c-hez jutunk. :-)) 4) általános megoldása:
5) n = 12i, k = 7i, ahol i=1, 2, 3, ... stb, ahol n a kvintugrások száma, k pedig az oktávok száma.
A matematika és a zene közös gyökerei Ez egy jó kis tanulmány, de van benne egy tárgyi tévedés: 'Ez a "temperált" skála Bach idejében szorította ki a használatból a többi hangsort.'
Ez ugyanis nem igaz. Ez a kiszorítás kb. a 19. század közepe táján történt meg.
Valamint van benne egy hibás megállapítás:
1. Két hangköz összegének az aránya egyenlő a két hangintervallum arányának a szorzatával.
(eddig jó)
2. Két hangköz különbségének az aránya egyenlő a két hangköz arányának a (megfelelő sorrendben vett) hányadosával.
(még mindig jó)
E két szabály alkalmazása azonban a püthagoraszi skála esetében nem mindig volt jogos, ...
(ez viszont hülyeség, ezek a szabályok skáláktól és hangrendszerektől függetlenek)
"Ebben a hangsorban most kivétel nélkül érvényes a püthagoreusoknak a hangközök összeadására és kivonására vonatkozó törvénye."
Fentiek ismeretében ez a megállapítás is demagógia.
Talán érdekes dologra bukkantam: Platón Hetedik levelében sűrűn emleget (pl.: 338c) egy bizonyos taraszi Arkhütasz nevű barátját. Kicsit nyomozgattam, ki is lehet ez az úriember.
Pallas:
Archytás
görög államférfiú, pythagorási filozofus és matematikus. Tarentumból származott és Platón kortársa volt. Működése délszaka 400-365 Kr. e. esett. Szülővárosának hadvezére volt három hadjáratban. Horatius ódái szerint (I. 28) hajótörésben vesztette életét. Mint tudós különösen matematikával foglalkozott. A köb megkettőzésének feladatát A. oldotta meg először. Horatius az előbb idézett helyéből arra lehet következtetni, hogy a Föld kerületének meghatározását is megkisérlette. Az ókor többféle gépezet szerkesztését tulajdonította neki. Hír szerint fából repülő galambot szerkesztett volna. Neki tulajdonítják a csiga és csavar feltalálását is. A nevét viselő legtöbb irásmű-töredék hamisítvány. V. ö Gruppe, «Über die Fragmente des A.» (Berlin 1840). Beckmann, «De Pythagoreorum reliquiis» (Berl. 1844). Mullach, «Fragmenta philos. graecor.» (Páris 1867).
Tarasz városa dél itáliában van, ahol a püthagóreusok és maga Püthagórasz is működött. Nincs túl messze Krotón sem.
Platónra a püthagóreus filozófia talán Arkhütasz személyén keresztül hatott. Ami nagyon érdekes, hogy ez az ember filozófus, államférfi és matematikus egyszerre. Jó belépő lehetett Platónnál. :-))
Erről a cikkről pedig már volt szó, itt is megemlítik eredményeit:
Gyongyvirag udvozletet kuldi mindenkinek Gorogorszagbol. Jol megjartak velem az Akropolisz kornyeket, nemely magaslatot is sikerrel megmasztak, csak lefele jottek negykezlab es nadragfekkkel...:)
s.
Szerény lehetőségeimhez képest ide Thomas Sterne Eliot Úr véleményét helyeztem. Forrásmegjelöléssel.
Minthogy nem a halál a legnagyobb rossz az életünkben, nem a boldog föltámadás reményében, de azért kérdezem Lawrence-t: már hogyan lenne a "legtöbb, amit ember adhat" - odaadni az életünket. Csak úgy általában ezzel nincs is bajom. A Lord esetében viszont élek a gyanúperrel, a legtöbb, amit adhatott volna, hogy otthon marad a fenekén. Sőt: meg se szólal. De ezt már a magyar lírára tett hatásának ismeretében mondom. A britek legalább megtanulták hová tenni Byront.
Goethe - a "germán dandy" - talán csak Napoleont tévesztette meg - pillanatra. Egyáltalán: jó lenne tisztázni, hogy "szűkös", "szegényes"
k ü l s ő körülmények mit számítanak a lírikusnál?
Dante eléggé gyanús körülmények között, szinte kegyelemkenyéren élt Ravennában... És?
Hol élt Csokonai? Tudjuk.
Mit hagyott hátra? Javaslom még egyszer átnézni, kedves Lawrence.
Ne haragudjatok rám, ha kimondom az igazat: nem is lehetséges, hogy biztonságban maradhasson bármely ember, aki akár veletek, akár bármilyen más sokassággal nemesen szembeszáll, és megakadályozza azt a sok igazságtalanságot és törvénytelenséget, ami a városban történik - arra van szükség, hogy az igazságért valóban harcoló ember, ha legalább rövid idore biztonságban akar maradni, magánéletet és ne államférfiúi életet éljen.
