A kétszeres méretű téglát metsző sík átmegy az oldallapokon a metszésvonalak felezőpontjain. amiknek az egyik koordináta 0, a másik két koordinátája egész szám, tehát egységkockák csúcspontjai. Nagyobb közös osztó esetén belső csúcspont(ok)on is átmegy, például a 3a, 3b, 3c méretű téglatestben nem csak az oldallapokon fekvő (0,b,2c), (0,2b,c), (a,0,2c), (2a,0,c), (a,2b,0) és (2a,b,0) harmadoló pontokon, hanem az (a,b,c) ponton is, n-szeres nagyításnál, n*a, n*b, n*c méretű téglatestben pedig annyi (k*a,l*b,m*c) belső ponton megy át, ahányféleképpen fel lehet osztani n-et (n=k+l+m) három pozitív egész szám összegére.
Az eredeti feladatnak megfelelő a=7, b=8, c=9 értékekkel a (9863)-ban ismertetett konform leképzésű feladat alapján - amennyiben a leképzésem jó - a metszetek számára (azokat összeszámolva) 95-öt kaptam! A számlálást a háromszög megszerkesztését, és a metszővonalak megrajzolását követően végeztem el.
Feltételezéssel éltem, hogy - mivel nincs közös osztó - az érintésnek tűnő pontok valójában metszetek, és csak igen apró háromszöget adnak ki, noha látszólag mind a három metszővonal egy pontban metszi egymást. Ilyen pontból kettő volt.
A tényleges szerkesztést a gyakorlatban nem egyenlő oldalú háromszöggel végeztem, hanem azt tovább transzformáltam úgy, hogy a párhuzamos metszővonalak távolságai mind azonosak legyenek. Ilyen esetben az egyes oldalakhoz tartozó magasságvonalak oszlanak 7, 8 és 9 részre, azaz azok arányai éppen a kívánt értékűek (7,8,9), és a metszővonalak az ezekre rajzolt párhuzamos egyenesek.
A háromszög ilyen megrajzolását az segíti, hogy az oldal és a hozzátartozó magasság szorzata mindháromnál azonos, azaz 2T (terület). Így a 3 oldal rendre 72, 63 és 56 arányú (valójában ezek kétszeresével rajzoltam)
Érdekes, hogy e három érték összege 191, amely az ab+bc+ac érték, és az (ab+bc+ac-1)/2 éppen a 95-öt adja ki.
Kérdéses számomra az, hogy ha volna közös osztó, akkor lennének ténylegesen olyan pontok, amelyeknél egy pontba futó metszés adódik ki, és amelyek a kérdéses érintést jeleznék.
1. A metsző sík a téglatesten egy háromszöget ad ki.
2. A szemléletet megfordítom: Nem egységkockákban gondolkodom, amelyet ez a sík metsz, hanem "egységrétegeken", amelynek síkjai a háromszöget metszi. A koordináta rendszer három tengelye szerint három ilyen réteg-sorozat van. Mindegyik rétegsorozat a háromszöget egymással párhuzamos egyeneseken metszi. Ezek mindegyike egy-egy oldallal párhuzamos egyeneseket eredményez a háromszögön úgy, hogy a háromszög adott oldal szerinti magasságát a rétegek száma szerint osztja egyenlő részekre.
3. A feladat szerinti egységkockák közül, amelyiket a sík metsz, azt csak egy metszésvonalon (azaz síkon) metszi. Kivéve, ha egy csúcson megy át. Olyan nem lehetséges, hogy a metszésvonal a kocka egyik élén van.
4. A fentiek szerint a háromszögön 3, 4, 5 és 6 oldalú, különválasztható síkidomok képződnek a metszésvonalak rajzolataiból. Minden egyes síkidom egy-egy egységkocka metszést jelenít meg.
5. A háromszöget topológiailag egy egyenlő oldalú háromszöggé torzíthatjuk.
6. A feladat - átalakítva - tehát a következő: Osszunk föl egy egyenlő oldalú háromszöget mindhárom oldala szerint különböző (vagy ha kell, azonos) számú párhuzamos egyenesekkel egyenletesen (a kiírás szerint 7, 8, és 9 részre oldalanként). Hány egymástól elkülöníthető síkidomot kapunk így?
7. Kérdéses, hogy azok a metszések, amelyek éppen egy egységkocka csúcsán mennek át, azok 0, 1 vagy max. 8 metszésnek bizonyulnak? Ha nem nulla, akkor még figyelembe kell venni azokat a pontokat is - mint "síkidomokat" - amelyeken 3 egyenes megy át, illetve a háromszög oldalára eső metszésvonal találkozásokat.
"felhasználható-e a megoldáshoz számítástechnikai eszköz (programozás)?" - magára a kérdésre nyilván igen a válasz. Ha "jó" az algoritmus, akkor felhasználható. Hogy példával éljek: a gráfelméletben a négyszín-tételt ilyen módszerrel bizonyították anno.
Így utólag elolvasva ezt a megoldást, látom, hogy az nem más, mint annak az algoritmusos megoldása, amit számítástechnikai eszközzel feltételeztem, hogy lehetséges. Tehát ezt FASIRT megoldotta jól.
Tehát ezek szerint valami "egyszerűbb" (talán képletes?) megoldás kellene?
Ahogyan azt jeleztem, számomra is ez az értelmezés volt logikus, mint elgondolkodtató feladat.
Kérdés: felhasználható-e a megoldáshoz számítástechnikai eszköz (programozás)?
Ha igen, akkor a feladat leredukálható arra, hogy az térbeli koordináta rendszerben adott egy sík egyenlete, és egy tetszőleges pozícióban lévő olyan egységkockát, amelynek megfelelő élei párhuzamosak a tengellyel, metszi-e az adott sík?
Ez utóbbin még nem gondolkodtam el, mert csak akkor szükséges, ha a kérdésre adott válasz: igen.
Bár az is lehet, hogy egyébként is szerepelne a megoldásban, ha a válasz nem.
24x30-at helyettesíteni lehetne 6 darab sarkoknál összeérő 4x5 téglalappal,
4x5 esetén ha megyünk az átló mentén vagy oldalt vagy lefele lépünk át új egységnégyzetbe, oldalra megyünk négyet, lefele ötöt, összesen 4+5-1 egységnégyzeten megy át az átló, 24x30-nál ennek a 6 szorosa lesz
Kéne legyen egyszerűbb megoldás, mert pl. egy egységnégyzetekre bontott téglalap átlóját meghúzva könnyen meg lehet mondani a darabok számát távolságképlet nélkül is.
Legyen pl. 24x20-as a téglalap -itt van egy kis izgalom, ha az oldalak nem relatív prímek!
Szerintem egy matekpéldát úgy kell értelmezni, ahogy le van írva. Amiről ti beszéltek, az egy másik példa, annak kicsit bonyolultabb a megoldása:
Helyezzük el az a,b,c élhosszúságú téglát az x,y,z koordinátarendszerben úgy, hogy az egyik csúcsa az origóban, az ebből kiinduló a hosszúságú éle az x tengelyen, a b hosszúságú éle az y tengelyen, a c hosszúságú éle a z tengelyen van, és metsszük el az (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) csúcsokon átmenő síkkal. Ennek a síknak az egyenlete: x/a+y/b+z/c = 1 Ez a sík akkor metszi a téglatest valamelyik egységkockáját, ha a kocka origóhoz legközelebbi (p,q,r) csúcsa a sík origó felőli oldalára, az origótól legtávolabbi (p+1,q+1,r+1) csúcsa pedig a sík másik oldalára esik, vagyis p/a+q/b+r/c < 1 és (p+1)/a+(q+1)/b+(r+1)/c > 1 Kissé átrendezve: 1-(1/a+1/b+1/c) < p/a+q/b+r/c < 1 Innen pedig még a legbutább brute force algoritmus is legfeljebb a*b*c érték kiszámításából és ellenőrzéséből áll. Persze, ha elérjük, hogy a kocka origóhoz legközelebbi csúcsa is a sík origótól távolabbi oldalára esik, akkor a legbelső ciklust már nem kell folytatni.
Egy téglatestnek nincs három szomszédos csúcsa. Már ha szomszédos alatt a test egy élének két végpontját érted. Ebbem az esetben három szomszédos csúcsa csak olyan testnek van, amelyiknek van egy háromszög alakú oldallapja. Ha pedig a három szomszédos csúcsot úgy érted, hogy egy csúcs és a két, fenti értelemben vett szomszédja, akkor ezek egy oldallap csúcsai, vagyis az ezeken átfektetett sík nem metsz bele a téglatestbe.
