Olyasmire gondolok, hogy száz dobás során átlagosan ötvenszer nyersz (ez a várható érték), de egy-egy konkrét mérésnél az eltérés átlagos értéke az ötventől öt (ez a szórás). Minél többet dobsz, annál nagyobb a szórás is (gyökösen nő), tehát annál nagyobb az esélye annak, hogy az eltérés az átlagtól elér egy előre meghatározott értéket (az érmék kiindulási számát).
(Meta: Na jó, reméljük, hamarosan erre jár valaki, aki ért is hozzá)
Valószínűleg összevissza beszélek, de ha jól emlékszem, egy pénzfeldobás várható nyereménye 1/2, ennek szórásnégyzete 1/4 (szórása 1/2); n független pénzfeldobás esetén ezek összegződnek: várható érték: n/2, szórásnégyzet n/4, vagyis a szórás sqrt(n)/2... Becslésem szerint az átlagosan várható végállapot az, amikor a szórás megegyezik az érmék kezdeti számával (legyen k), azaz n=(2k)2
Soha nem sikerült megértenem a valószínűségszámítást, és nem is ábrándozom arról, hogy valaha ez megtörténik.
Most azonban izgat egy kérdés.
Fej vagy írást játszom a társammal, fej esetén én nyerek el egy pénzérmét tőle, írás esetén a társam nyer egy pénzérmét tőlem.
Sorban egymás után dobáljuk fel a sorsdöntő pénzérmét, és fizetünk egymásnak.
Ha véges számú (azonos értékű) pénzérmével indulunk, érzésem szerint előbb-utóbb egyikünknek elfogy a pénze.
Pedig (ha jól sejtem) legnagyobb valószínűsége annak van, hogy nulla nyereménnyel fejeződik be minden pénzfeldobás-sorozat (páros számú dobásból álló sorozatok).
Lehet-e mondani valamit arról, hogy ha valamekkora induló számú pénzérmével kezdünk, hány dobás után várható, hogy valamelyikünk pénze elfogy?
A Gondolkodás iskolájának több változata is van, amelyek különböző hosszúságúak.
Van továbbá egy "Gondolkodás iskolája", és egy "Problémamgoldás iskolája" című Pólya György-könyv.
Pólya egyébként nagy analitikus volt, akit kora végtelennel kapcsolatos matematika-filozófiai irányzatai élénken érdekeltek, mindenekelőtt az intuicionizmus.
Rengeteget olvastam már róla, és ez alapján nagyszerű ember volt.
Kevesen tudják, hogy két Pólya-Szegő-könyv volt. Az egyik a világhírű analízis-feladatgyűjtemény, amely nekem még sajnos nem volt a kezemben (különben itt az ideje, olvasom majd a Rényiben), a másik fizikai matematika.
Szia, a ketto kozul en is csak Polya konyvet olvastam, de sok nagy matematikusrol tudok aki a Rademcher-Toeplitz konyvet meghatarozo nagy elmenykent irta le. Veletlenul a ket forras akit idezek amugy epp a ket legutobbi Bolyai dijas (most a matematikai dijrol van szo). A hozzaszolas vegen majd irok egy kis osszehasonlitast (most feluletesen atfutottam a Rademacher-Toeplitz konyvet is).
Pl:
Gromov: My first encounter with mathematics
besides school was a book my mother bought
me called Numbers and Figures by Rademacher
and Toeplitz, which had a big influence on me. I
could not understand most of what I was reading
but I was excited all the same. I still retain that
Tovabba a konyv az amazonon is nagyon jo kritikakat kapott, esetleg nezd meg (angolul The Enjoyment of Math cimen adtak ki).
A ket konyv lenyegesen kulonbozo:
A Polya konyv elsosorban problemamegoldasi strategiakrol/modszerekrol szol, mind a problemamegoldo szempontjabol, mind esetleg egy tanar szempontjabol aki segiteni akar a diaknak. PL: gondolkozzunk el hogy lenyeges e minden adat ami a feladatban szerepel, lattunk e hasonlo feladatot, lehetne-e ugy altalanositani a feladatot hogy ne csak egy izolalt problema legyen, es ilyenek.
A Rademacher-Toeplitz konyv ha jol latom konkret szep matematikai erdemenyek/gondolatok/bizonyitasok gyujtemenye, ahol a valogatas szempontja az volt hogy erdeklodo fiatalok szamara is ertheto legyen, ne kelljen sok eloismeret. Es szerintem a lelkes velemenyek alapjan amit csinalnak azt nagyon jol csinaljak.
Ha azert kerdeztel ra a konyvekre, mert gondolkozol azon hogy megvedd-e oket, es ha igen melyiket, akkor szerintem erdemes tudni azt is, hogy a Polya konyvet tobbszor kiadtak Magyarorszagon, tehat kicsit tobb esely van ra hogy konyvtarban megvan illetve antikvariumban olcsobban megtalalod. (A Rademacher-Toeplitz konyvet talan az otvenes evekben kiadtak magyarul, de azt eddig csak kifjezetten matematikai konyvtarakban lattam, mig a Polya konyv kisebb konyvtarakban is megvan)
A második könyvet olvastam, csodálatos klasszikus. Az első könyv is valószínűleg kiváló a szerzők alapján. Már az garancia, hogy Győry Kálmán ajánlja a könyvet a linken található rövid leírásban.
Tudni kéne, mi az a chi(n). A számelméletben karakterekre szokták ezt a jelölést használni, aminek értékei egységgyökök. Itt nyilván nem erről van szó, szóval nem értem a feladatot.
Köszi szépen, csak sajna algebrai bizonyítást nem fogják elfogadni. Számelmélet Zh. Azért is említettem a csebisevtételt mert addig eljutottam hogy egyszerűbb alakra hozható annak felhasználsával, de ne mtudom bebizonyítani . Analitikusan lehetne még esetleg. Egy hasonló feladatnál a másodrendű deriváltak menetét vizsgálták és hogy n+1 mindig alatta marad 2^n, de nem látom át teljesen.
Jövő csütörtökön ZH , és van egy feladat amire a hétvégén abszolút ne mtudtam rájönni. Csebisev tételbe gondolkdotam, de jó lenne ha tudna nekem valki mutatni egy bizonyítást, ami ne mtúl magasröptű.
A feladat alább látható képen az egy khí betű akarna lenni:
Általában ha s a szélessége és m a magassága a körívnek, akkor az r-m, s/2, r távolságokból derékszögű háromszög szerkeszthető, vagyis (r-m)2+(s/2)2=r2, azaz r=m/2+s2/(8m). Nálad s=4 és m=0.15, amivel a fenti érték jön ki r-re.
Sziasztok! Segítségre lenne szükségem. Kerítés építésben vagyok benne. A kapu tetejére szeretnék ívet szerkeszteni, 5 évvel ezelőtt ki tudtam számolni a megfelelő sugarat, most azonban akárhogy töröm a fejem rajta nem megy. A lényeg, hogy 4m széles a kapum és azt szeretném, hogy az ív a kapu közepén 15cm magas legyen. Tehát a kérdésem az lenne, hogy mekkora sugarú kör adja ki ezt az ívet?
Még hozzátenném, hogy sem a k tényezős tiszta tenzorokat, sem azoknak a külső algebrabeli képét nem szokás k-formáknak nevezni. A k-forma kifejezést csak differenciálformákra hallottam, ezek egy speciális külső algebrát alkotnak.
Mellékesen érdekelne, hogy számodra teljesen ismeretlen, vagy belegondolva még sem annyira az, amikor a hallgató a tananyagot először a saját maga által kreált nyelven érti meg, és csak később fordítja le magában, hogy másokkal is szót tudjon érteni.
Ez valóban eléggé ismeretlen számomra. Azt szoktam megérteni, ami és ahogy le van írva, és csak azután jöhet, hogy a saját nyelvemen (mélyebben, intuitívabban) megértsem. Ez utóbbi nem arról szól, hogy másokkal kommunikáljak, hanem hogy többet értsek a formális definíciónál vagy tételnél. Az intuíció nem mehet a pontosság rovására, csak kiegészítheti azt.
Nálad életveszélyes dolgot látok: olyat képzelsz, ami nincs, miközben nem látod azt, ami van.
ezt soha nem nevezik a k-formák direkt összegének
A direkt összeg kifejezést struktúrák között használják, nem pedig egy adott struktúra elemei között. Tehát beszélünk vektorterek vagy Abel-csoportok direkt összegéről, de nem beszélünk egyes vektorok vagy csoportelemek direkt összegéről. Az utóbbiaknak van közönséges összege, nem kell a "direkt" jelző.
No hát, ha ez ennyire lefárasztott, akkor tényleg köszi, hogy nem kímélted magad. Ez utóbbit azonban lehet, hogy le sem kellett volna írnod, mert jegyzeteimben is hasonlók vannak, azért mégis örülök neki, mert rávilágított arra, hogy az, hogy tenzoralgebra minden eleme kifejezhető v1*v2*...*vk alakú elemek lineáris kombinációjaként, ezt soha nem nevezik a k-formák direkt összegének.
Mellékesen érdekelne, hogy számodra teljesen ismeretlen, vagy belegondolva még sem annyira az, amikor a hallgató a tananyagot először a saját maga által kreált nyelven érti meg, és csak később fordítja le magában, hogy másokkal is szót tudjon érteni. A másik motiváló ok az szokott lenni, mikor már tarthatatlan egy kifejezéshez kapcsolt jeletések tömkelege, és egyértelműsítenie kell.
Az, hogy nálam a megértés egy későbbi fordítást igényel, előnyös volt a pedagógiai tekintetben, hiszen már tudtam, hogy milyen nyelven lehet a legkönnyebben megérteni, és hogy mely kifejezések megértése lesz a legnehezebb, de ekkor már rnedelkezet szótárral. :) De előnyös lehet azért is, mert ezen a kezdetleges nyelven hihetetlen mennyiségű információt tudok megjegyezni rövid távon, ez nem rég derült ki a pszichológiai felmérésen, az átlag sokszora jött ki.
A 3-dimenziós vektortér Grassmann-algebrája valóban 8-dimenziós, de ennek igen pórias oka van, nem kell hozzá hókusz-pókusz (duális bázis stb.), mint amit beírtál.
Ha x,y,z bázisvektorok a térben, akkor a tenzoralgebra minden eleme kifejezhető v1*v2*...*vk alakú elemek lineáris kombinációjaként, ahol a vi-k mindegyike x vagy y vagy z. A Grassmann-algebra ebből elemek egybeejtésével adódik, tehát ugyanez a tény rá is vonatkozik. A különbség annyi, hogy a tiszta tenzorok között most sok az egybeesés, pl. minden tiszta tenzorban el lehet rendezni a vektorokat úgy, hogy az első néhány x legyen, utána néhány y, utána néhány z, hiszen két szomszédos vektor felcserélése a tiszta tenzorban puszta előjelváltást eredményez. Tehát a Grassmann-algebrában az x*...*x*y*...*y*z*...*z alakú elemek már generálnak. Igen, de itt legfeljebb 1 darab x lehet, mert x*x már nulla, és ugyanez vonatkozik az y-ra és a z-re is. Tehát a 3-dimenziós vektortér Grassmann-algebráját generálják az u*v*w alakú tiszta tenzorok, ahol u=1 vagy x, v=1 vagy y, w=1 vagy z. Ez összesen 8 lehetőség, vagyis a Grassmann-algebra legfeljebb 8 dimenziós. Belátható az is (könnyen), hogy ez a 8 tiszta tenzor a Grassmann-algebrában is lineárisan független (vagyis a v*v=0 axiómából nem következik, hogy bármelyik lineáris kombinációja lenne a többi 7-nek), tehát a Grassmann-algebra 8-dimenziós. Hasonlóan látható, hogy n-dimenziós tér Grassmann-algebrája 2n-dimenziós.
A Grassmann-algebrát azonképpeni "egybeejtésekkel" kapom a tenzoralgebrából, mely a k-formák direkszorzatának a végtelen direktösszege, hogy a Grassmann-algebrában úgy tekintek az n-dimenziós vektorterek lineáris formáira, hogy hány dimenzióig tudok elmenni velük az antiszimmetrikus tenzorszorzattal?
Ennek se füle, se farka. A tenzoralgebrában nincsenek se k-formák, sem azok direkt szorzata. A tenzoralgebrát a v1*v2*...*vk alakú ún. tiszta tenzorok (ahol a vi-k a vektortér tetszőleges elemei) lineáris kombinációi alkotják, ahol a tiszta tenzorok mindegyik komponensben lineárisak, pl. (2v+3w)*(-4v+5w) = -8 v*v + 10 v*w -12 w*v + 15 w*w, és értelemszerűen asszociatívan szorzódnak, pl. (v*w)*(x*y) = v*(w*x)*y = v*w*x*y.
A Grassmann-algebrát úgy kapod, hogy kikötöd a v*v = 0 azonosságot minden vektorra, és ennek összes formális következményét is elfogadod, de csak azokat. Pl. tetszőleges v és w vektorokra (v+w)*(v+w)=0, vagyis v*v+ v*w + w*v + w*w = 0, de itt persze v*v és w*w is nulla, tehát v*w+w*v=0, azaz v*w=-w*v, ez egy következmény. De akkor bármely v,w,z vektorokra v*w*z=-w*v*z is, stb.
Mint mondtam, jó lenne, ha elolvasnád és megértenéd a precíz definíciót, és nem képzelnél bele olyat, ami nincs odaírva. Csak azt kell érteni, ami le van írva, de azt érteni kell. Pl. ha a repülőgépoktató a magasságmérőt magyarázza, akkor nem kell azt gondolni, hogy az légnyomást mért. Igen fárasztó félreértéseket kimagyarázni és többször elmondani ugyanazt, főleg mert ez elkerülhető lenne, ha nem kapkodnál.
Ezt precízebben: vesszük az összes kiválasztási függvények rendszének halmazait, és ha a halmaz eléggé nagy, akkor van benne egy ekvivalencia osztályban.
Ennek sok értelme nincs. Ez a konstrukció a nagy függvényhalmazok bizonyos halmazait teszi meg ekvivalencia-osztálynak, ha van valami értelmes definíció, hogy melyek legyenek ezek a halmazok. Egy konkrét függény ráadásul több ekvivalencia-osztály valamely elemének eleme lehet, hiszen az ekvivalencia nem a függvények, hanem halmazaik között értelemezett.
Különben ultrafilterre nincs is szükség: a függvények összes részhalmazának egy értelmes partícióját kell definiálni.
Ez így már jobban hangzik.
Még jobban hangzik, ha a függvények halmazának egy partícióját definiáljuk, ami más, mint az ultrafilteres. Ekvivalencia/kongruencia relációból persze rengeteg van; ha a függvényeken valamilyen algebrát definiálunk, vagy valamilyen topológián értelmezzük őket (folytonosság pl. egy definiált, vagy előre meghatározott, de tetszőleges jólrendezés rendezéstopológiáján), lehet is ilyet csinálni.
Általában véve igen, de speciel a pullback egy olyan konstrukció, amit nagyon konkrét kategóriákban használnak a matematika különféle ágaiban (pl. séma feletti fibrált szorzat az algebrai geometriában, lásd Hartshorne II.3). Ezekben a kategóriákban az objektumok közönséges halmazok némi extra struktúrával, a morfizmusok pedig az extra struktúrával kompatibilis függvények.
Igen, nyilván a kategóriaelmélet alkalmazásai sosem teljesen absztrakt kategóriák.
Egy újabb módszer például, hogy a rendkívül nagy számosságok elméletében használnak konkrét kategóriákat; mivel itt a (különböző bonyolultságú formulákra elemi) beágyazások viszonyai lényegesek, sok kategóriaelmélet van.
Pedig a kategóriaelmélet sokáig, mint a halmazelmélet riválisa jelent meg (strukturalizmusnak is nevezik, de mást is hívnak annak).
A mai matematikát fel lehet építeni kategóriákkal, halmazelmélet nélkül, de őszintén szólva borzasztóan elbonyolított.
Grothendieck elképzelése volt, hogy az általános topológia alkalmas lehet a matemaikai alapok számára. De általánosította (folytonos függvények, konvergencia, mint a topológia alternatív jellemzése), így született a Grothendieck-toposz, a sheaf.
Mára filozófiai tartalmát nagyrészt elveszítette, de hasznos eszköz maradt.
Pontosan ezt olvastam, mielőtt írtam. Szemléletesen leírtad azt, aminek az okát kerestem, a kérdésemet valószínűleg így kellett volna megfogalmaznom: A Grassmann-algebrát azonképpeni "egybeejtésekkel" kapom a tenzoralgebrából, mely a k-formák direkszorzatának a végtelen direktösszege, hogy a Grassmann-algebrában úgy tekintek az n-dimenziós vektorterek lineáris formáira, hogy hány dimenzióig tudok elmenni velük az antiszimmetrikus tenzorszorzattal?
De gyanítom, hogy ez is félreértésekre adhat okot, szóval itt az antiszimmetrikus tenzorszorzat definíciójára gondolok V=R3 esetén pl.:
e1^e2 = 2!/2!*AS(e1Xe2). A duális bázist ebben az esetben a 3 egységvektor lin. kombinációjából kapjuk, a 2-formák terében szintén 3 elemű bázis van, a 3-formák terében már csak egy, aztuán nulla. Azaz a G-algebra 8 D-s.
S ha már ez szóba jött, még megkérdezném (csak 1-2 mondatot várok) hogy a Hopf algebrának mi köze van a tenzoralgebrához?
Például a csoportalgebrák Hopf-algebrák, mármost a tenzorok (multilineáris formák) (tenzor)szorzásra zártak, gyűrűt, és így csoportot alkotnak. Ez a gyűrű, egy K-algebra.
Egy gyűrű különben sokszor értelmezhető csoportalgebraként (kohomológia-elmélet).
Nekem ez jutott eszembe, de biztosan van más kapcsolat, ha valahol említik.
De én ennek a területnek nem vagyok a szakértője, ezt hangsúlyozom.
A Grassmann-algebra (megtanultam helyesen leírni :)) ugyebár azért hányados algebrája a tenzoralgebra, mert amaz a k-formák direkszorzatának a végtelendirektösszege? (az én értelmezésem szerint)
Nem azért, hanem azért, mert a Grassmann-algebrában bizonyos tenzorok egyenlőek, amik a tenzoralgebrában nem azok. Pl. a Grassmann-algebrában az a*b és b*a egymásnak ellentettje (ahol a és b mondjuk két független vektor), míg a tenzoralgebrában ezek függetlenek.
Ez olyan, ahogy maradékosztályokat képezel a számokból vagy irányokat képezel a sík egyeneseiből. A "képezel" itt definiálást jelent. A 2 és a 7 két különböző szám, de modulo 5 ugyanazok, míg két párhuzamos egyenes is általában két különböző egyenes, de az irányaik ugyanazok. A Grassmann-algebrát hasonló "egybeejtésekkel" kapod a tenzoralgebrából, javaslom a definíció elolvasását, pl. itt: http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra#Formal_definitions_and_algebraic_properties
Általában is a helyes megközelítés a matematikához: precíz definíciók és állítások elolvasása, megértése, a képzelődést pedig másra kell tartogatni.
