Én csak pozitív egészekre mondtam definíciót. Nevem Teve definíciója általánosabb, bár az elvileg megenged negatív számot is lkkt-nek.
Modern felfogásban a következőről van szó. Az egész számok egy részhalmazát ideálnak nevezzük, ha zárt az összeadásra és a többszörösképzésre, magyarán a halmaz bármely két elemének összege is eleme a halmaznak, továbbá a halmaz bármely elemének összes többszöröse is eleme a halmaznak. Világos, hogy két ideál metszete ideál. Sőt, akárhány ideál metszete is ideál. Az is világos, hogy egy tetszőleges egész szám többszörösei ideált alkotnak, tehát pl. ideál a {0} halmaz, ideál a páros számok halmaza, vagy ideál az 5-tel osztható számok halmaza. Az ilyen ideálokat főideáloknak nevezzük. A {0}-n kívül minden főideál két egész szám többszöröseként felfogható, amik egymás ellentettjei: pl. az 5 többszörösei megegyeznek a (-5) többszöröseivel, a 12 többszörösei a (-12) többszöröseivel stb. Ezt úgy mondjuk, hogy a {0}-n kívül minden főideálnak két generátora van: ezek nemnullák és egymás ellentettei. Kényelmi szempontból mindig tekinthetjük a pozitív generátort, a {0} ideál egyetlen generátora pedig a 0.
A maradékos osztás algoritmusával megmutatható, hogy minden ideál főideál. Tehát ha veszünk két főideált, mondjuk az m többszöröseinek halmazát és az n többszöröseinek halmazát, akkor azok metszete, tehát az m és n közös többszöröseinek a halmaza is főideál, azaz valamely k nemnegatív egész többszöröseinek a halmaza. Ezt a k-t nevezzük megállapodás szerint az m és n legkisebb közös többszörösének. Látható, hogy ha m és n nem nulla, akkor k sem nulla (azaz k>0), hiszen van nemnulla közös többszörös, nevezetesen az mn. Másfelől ha m vagy n nulla, akkor közös többszörös csak a nulla lehet, magyarán ilyenkor k=0.
A fentiek eleinte mesterkéltnek tűnhetnek, de vannak számkörök (ún. gyűrűk) az egész számokon kívül, ahol lehet összeadni, szorozni stb. és ott az oszthatóság ill. többszörös fogalmának a "helyes" általánosítása az ideál fogalma. Általában pl. nem minden ideál főideál, és izgalmas kérdés annak vizsgálata, hogy egy adott gyűrűben "mennyivel több" ideál van, mint főideál. Már nagyon konkrét gyűrűkben is nagyon nehéz ez a kérdés, kapcsolódik a matematika legmélyebb problémáihoz.
Szia, nekem a számelmélet a szakmám. Két pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse definíció szerint a legkisebb pozitív egész, ami mindkét számnak többszöröse. A két szám közös többszörösei ennek a legkisebb számnak a többszörösei, beleértve persze a nullát és a negatív többszörösöket is (ez egy szép tétel, amit lényegében Euklidész bizonyított először).
A"közös többszörös" szót a feladat használja. Igazából arra vagyok kíváncsi , azt kellene pontosan megtudnom mit takar ez a matematikai meghatározás.A meghatározások között például olyanokat olvasok, hogy a legkisebb közös többszörös: az a pozitív egész szám... ,vagy: adott számok közös többszöröseinek legkisebbike és azoknak mindig osztója. stb...
(Így például a 0 ,hogy lehet?) Sehol nem olvastam , hogy a 0-t mint a közös többszörösök legkisebbikét említenék.
(Már az eredményhirdetés utáni módosítás is furcsa...)
Ez a matematikai verseny a Mozaik Kiadó által rendezett verseny. Az idei tankönyvem is tőlük van. E tankönyv szerint a 0 természetes szám. De a feladatokban a legkisebb közös többszörös fogalmát elkerülik. Visszalapoztam és egy olyan feladatot találtam ahol két szám legkisebb pozitív többszörösét kell meghatározni.
Én úgy tudom ,hogy csak akkor lehet 0 két (v. több)szám legkisebb közös többszöröse ha azok valamelyike 0; függetlenül attól ,hogy a 0 természetes szám-e. (A neten lkkt kalkulátor is így adja meg)
Sziasztok! Általános 6. osztályos vagyok jelentkeztem egy internetes matematika versenyre.A 2. fordulóban az egyik feladat megoldását a forduló eredményhirdetése után két nappal megváltoztatták. Mivel a legkisebb közös többszörös meghatározása szerint két pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse,eddig úgy tudtam nem lehet a nulla , ezért a magyarázat nekem rossznak tűnik.Pontosabban :van a legkisebb közös többszörösnél kisebb közös többszörös ?
Kérlek segítsetek!
Így szólt a feladat:
(annak f) pontja és az indoklás, miszerint az f) pont teljesíti az állítást.)
"Hány olyan állítás van az alábbiak között, amelyek nem biztos, hogy mindig igazak, de bizonyos esetekben igazak lehetnek?"
"f) Két szomszédos természetes számnak a szorzatuknál kisebb közös többszöröse is van."
"Többen kérdezték, így részletes magyarázatot adunk az f) ponthoz:
Az f) állítás (Két szomszédos természetes számnak a szorzatuknál kisebb közös többszöröse is van.) esetében valóban igaz, hogy bármely két szomszédos természetes számnak közös többszöröse a 0, de míg a pozitív egész számszomszédok esetén a szorzatuk 0-nál nagyobb, a 0 és az 1 esetében a szorzatuk is 0. Az állítás szerint a szorzatuknál KISEBB közös többszöröst kellene találni ahhoz, hogy azt mondhassuk, ez az állítás minden esetben igaz. A fentiek miatt van 1 kivétel, ezért az állítás nem biztos, hogy mindig igaz (a 0 és 1 választása esetén), de bizonyos esetben (pozitív egész számszomszédok esetén) igaz."
Esetleg elírás, esetleg a szerző furcsa terminológiát használ, esetleg a szerző sem érti.
Alapvetően a tenzorszorzás (legegyszerűbb esetben) két vektortérből csinál nagyobb dimenziós vektorteret (pl. egy 3- és egy 7-dimenziós tér tenzorszorzata 21-dimenziós tér), illetve a két vektortér 1-1 eleméből a nagyobb tér egy elemét (pl. egy 3- és egy 7-dimenziós vektor tenzorszorzata 21-dimenziós vektor). Néha a kiindulási tér mindegyike egy-egy másik tér lineáris funkcionáljainak (vagy két-két tér közötti lineáris leképezéseinek) tere, ilyenkor a kiindulási vektorok hatnak a kiindulási téren, tehát a tenzorszorzatuk is hat a nagyobb téren (ilyen módon pl. mátrixok tenzorszorzata is mátrix). A gyakorlatban (pl. fizikusok) ezt úgy mondják, hogy a "tenzor" ilyen meg olyan típusú, de valójában csak azt hangsúlyozzák, hogy a sokféle tenzorszorzat közül ők éppen melyikre gondolnak.
Na most az adjungált egy nagyon általános fogalom, végtelen dimenziós (ún. Hilbert-) terekben is értelmezhető, pont azzal a képlettel, amin Te gondolkodtál: (x,Ay)=(A*x,y). Ha A egy korlátos lineáris operátor, akkor egy és csak egy A* korlátos lináris operátor van, amit ezt az azonosságot kielégíti minden x-re és y-ra: ezt hívják adjungáltnak, ez a definíciója. Véges dimenziós vektorterekben ez visszaadja az adjungált közönséges definícióját: ha ortogonális bázisban írjuk fel az operátor mátrixát és ezt továbbra is A-val jelöljük, akkor A* az A transzponáltjának konjugáltja. További infó itt: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space#Bounded_operators
köszönöm ez rengeteget segített.csak azt nem értem hogy a könyvem miért beszél tenzor adjungátról.mindegy is. köszönöm a segítséget.de van egy ujabb problémám)))áááááááááááááááá
főminorok.azt tudom ha egy mátrixból letakarok egy oszlopot minormátrixot kapok. de melyek a főminorok.
Még annyit hozzá hogy egy konkrét feladat ez malyben konkrét adatokkal a táguló szakaszon a fix sebességgel mozgó test azon idejét kérdezik mely idő alatta szakasz egyik végétől a másik végéig eljut.
Azért kérdezem a folytonos függvényt mert érdekelne az is ha olyan adatok lennének megadva hogy a mozgó test sebességét meghaladná a táguló szakasz végponjainak távolodási sebessége akkor miként kapnám meg a test a szakasz másik végétől való távolodását.
Gergo73 -nak és dr.Akala úr -nak köszönöm az elöző kérdésem re a reagálástát!
Egyúttal szeretnék további segítséget kérni. A feladat most öszetettebb
Van egy szakasz amely tágul de aként hogy a tágulás mértéke d/t/d -ben van megadva tehát egy független koordináta egységére adnak meg tágulási sebességet. S most ezen szakasz egyik végéről indul v sebességgel valami.
Kérdés: hogyan írható fel folyamatos függvénnyel e v sebességű valaminek a fentiek szeint táguló szakasz egyik végétől való távolodása.
Ugye itt a szakasz 2 vége (illetve bármely 2 pontja) már nem hogy nem állandó sebességgel távolodik de még nem is csak állandó gyorsulásal hanem "növekvő gyorsulással". S erre jön rá még az ezen állandó sebességgel mozgó "bármi".
Észrevételt ill. érdembeni segítséget előre is köszönök!
Az A egy matrix, ennek adjungaltja pedig a transzponaltjanak a konjugaltja. Ha A valos egyutthatos, akkor az adjungaltja szimplan a transzponaltja. Szoval igy probalgasd, es felejtsd el a tenzorokat. Tenzoroknak nincs adjungaltjuk, es alapjaratban nem is hatnak vektorokon.
Egy tenzor adjungáltján azt a tenzort értem én amellyel a vektor és tenzor szorzása során keletkezett vektort megszorozva visszakapom az eredeti vektort.
Definíció szerin: (x,Ay) = x*Ay = x*A**y = (A*x)*y = (A*x,y), ahol minden szorzás közönséges mátrixszorzás, az adjungált pedig transzponálás követve komplex konjugálással.
Amúgy koordinátákkal is ellenőrizheted: mivel mindkét oldal lineáris x-ben és y-ban (pontosabban komplex vektorok esetén x-ben konjugált-lineáris), ezért elég ellenőrizni arra az esetre, amikor x és y is olyan vektor, amiben az egyik koordináta 1, a többi koordináta 0 (tehát x és y standard bázisvektor). Ez igen könnyű, csak be kell helyettesíteni a megfelelő definíciókba.
A második definiciót megértettem köszönöma segítséget. de az elsővel még mindig vannak gondok nevezetesen:
olvastam az egyik jegyzetemben hogy
minden x vektor és y vektorra igaz, hogy
ha az x vektort megszorzom skalárisan az y vektor és egy tenzor szorzatával az egyenlő a tenzor adjungátjának és a x vektornak a szorzata szorozva az y vektor skalárisan.
(x,Ay)=(A*x,y)
ezt nem látom be. ( azt gyanítom hogy a jegyzetben az adjungált az elírás, mert ha a tenzorral számolom végig akkor tényleg igaz az egyenlőség.vki ezt egy nagyon egyszerű példával tudná nekem belátatni.
te ezzel azt írtad le ,hogy egy tenzor két vektor diadikus szorzataként áll elő.
és ha egy vektort megszorzok egy tenzorral vektoriálisan ez azt jelenti hogy az egyik vektorral megszorzom vektoriálisan majd a másik vektor transzponáltjával megszorzom skalárisan. ha jól értelmezem.
ha az x vektort megszorzom skalárisan az y vektor és egy tenzor szorzatával az egyenlő a tenzor adjungátjának és a x vektornak a szorzata szorozva az y vektor skalárisan.
(x,Ay)=A*x,y)
ezt nem látom be. ( azt gyanítom hogy a jegyzetben az adjungált az elírás, mert ha a tenzorral számolom végig akkor tényleg igaz az egyenlőség.vki ezt egy nagyon egyszerű példával tudná nekem belátatni.
és van még egy ilyen problémám nevezetesen
(a x A) c= Kapcsoszárójel a, A c kapcsoszárójel befejez
tehát egy 'a' vektor és egy 'A' tenzor vektoriális szorzata és egy másik 'c' vektor skaláris szorzata egyenlő a 'a' vektoriálisan szorozva a második 'c'vektor és a 'A' tenzor skaláris szorzatával ezt sem látom be. Vektor és tenzor külső szorzata.
ezt egy példa segítségével szerintem fel tudnám fogni.
Köszi, h így szépen elmagyaráztad. Fel is írom a jegyzetem végére.
Egyébként ma írtam meg a vizsgát egy nagy, hideg előadóban, úgy hogy még meg is vagyok fázva:). Ez a típusfeladat jól sikerült, viszont csináltam néhány elírást a többi feladatban. Végül 4est kaptam, amivel meg vagyok elégedve.
1ébként nem a konkrét példa megoldása volt a lényeg, hanem a módszer/a hogyan, mivel elbizonytalanodtam benne, h jól értem-e az órai módszert, de azóta észrevettem, h csak elszámoltam.
Először azt kell tisztázni, hogy kétféle diagonalizáció van. Az egyik a szokásos P-1MP = D, ahol M a kiindulási mátrix, D átlósmátrix, és P oszlopai független sajátvektorok. A másik a szimmetrikus mátrixokra hasznos PTMP = D, ahol M a kiindulási szimmetrikus mátrix, D átlósmátrix, P invertálható mátrix, T pedig a transzponálás. Az utóbbi azért hasznos, mert könnyebben megkapható, de a definitség eldöntéséhez ugyanolyan jó. Valójában szimmetrikus mátrix esetében a P megválasztható úgy, hogy P-1=PT legyen (azaz P ortogonális), amikor is a kétféle felbontás egybeesik, de erre nem lesz szükségünk.
A második típusú diagonalizációt megkaphatod az alábbi típusú lépés többszöri alkalmazásával:
(*) az i. sor c-szeresét hozzáadod a j. sorhoz, majd a kapott mátrixban az i. oszlop c-szeresét hozzáadod a j. oszlophoz
Vedd észre, hogy ilyen lépés szimmetrikus mátrixból szimmetrikusat csinál, továbbá minden lépés leírható úgy, hogy jobbról megszorozzuk a mátrixot jobbról egy elemi P-vel, balról pedig annak PT transzponáltjával. Vagyis a végső P az egyes lépések során felmerülő P-k szorzata lesz.
Tetszőleges M szimmetrikus mátrixból kiindulva a fenti (*) lépésekkel D átlósmátrixot csinálhatsz így:
1. Ha az első sor és első oszlop csupa nullából áll, akkor ugorj a 4. pontra.
2. Ha az átló első eleme nulla, akkor (*) segítségével (i>1, j=1, c=1 paraméterekkel) nemnullára váltod azt.
3. Az átló első eleme nemnulla, ezért (*) többszöri alkalmazásával (i=1, j>1 és változó c paraméterekkel) kinullázod az első sor és az első oszlop minden további elemét.
4. Az első sorban és az első oszlopban az átlóbeli elemen kívül minden elem nulla. Felejtsd el az első sort és oszlopot, majd ismételd meg az eljárást a maradék mátrixra (ha még van sora és oszlopa), tehát ugorj az 1. pontra. Ha már elfogyott a mátrix, akkor megállsz.
A végén kapott D definitség szempontjából ugyanolyan, mint a kiindulási M. Ennek az az oka hogy tetszőleges x oszlopvektorra xTDx = xT(PTMP)x = yTMy, ahol y:=Px. Az x->y megfeleltetés bijekció (mert P invertálható), tehát pl. minden nemnulla x-re xTDx>0 akkor és csak akkor ha minden nemnulla y-ra yTMy>0.
Tehát M pozitív definit, ha D minden eleme pozitív, M pozitív szemidefinit, ha D minden eleme nemnegatív stb., lásd alább.
Érdemes a fenti algoritmust papíron végigjátszani egy konkrét 5x5-ös szimmetrikus mátrixon.
De ezzel a módszerrel, akkor még nem tudom, ha esetleg szemidefinit vagy indefinit
pozitív definit, ha az összes főminor pozitív
pozitív szemidefinit, ha az összes főminor nemnegatív
negatív szemidefinit, ha az ellentettje pozitív szemidefinit
negatív definit, ha az ellentettje pozitív definit
indefinit, ha nem pozitív szemidefinit és nem negatív szemidefinit
köszi, látom már, h hol számoltam el, h komplex gyökök jöttek be
a diagonalizációs módszerről még írnál kicsit? mert az uccsó gyakon úgy diagonalizáltunk, h megkerestük a mátrix sajátértékeihez tartozó sajátvektorokat, majd azokba bázistranszformáltuk a mátrixot (tehát ez a módszer már feltételezné, h ismerjük a sajátértékeket).
a főminoros módszerről meg annyit tudok, h +definit, ha mind1ik sarok aldetje +, ha az 1.rendű aldetje negatív és a többi felváltva más előjelű, akkor negatív. De ezzel a módszerrel, akkor még nem tudom, ha esetleg szemidefinit vagy indefinit.
kicsit szégyellem, h a számolásokat nézegettem és nem gondoltam jobban bele, h lássam azonnal, h indefinit :x
