A jobb oldal páros, tehát a bal is az kell legyen. Ezért a2+b2 is páros kell legyen. Ez csak úgy lehetséges, ha 'a' és 'b' egyszerre páros vagy páratlan.
A) 'a' és 'b' páros
a = 2n és b = 2m
4n2+4m2-6 = 4(n2+m2) - 6 = 8c
Ebből következik, hogy 2(n2+m2) - 3 mod 4 = 0. Csakhogy 2k-3 nem lehet 4-gyel osztható, mert bármilyen egész 'k'-ra páratlan számot kapunk!
A zárójeles kifejezésnek párosnak kell lenni, hogy a bal oldal osztható legyen 8-cal. Csakhogy n2+n és m2+m minden egészre páros, így a zárójeles kifejezés páratlan.
Tehát nincs 'a', 'b', 'c' egész számhármas, hogy teljesüljön az 1. feladatban szereplő egyenlet.
Igen, így teljesen jó. Természetesen a ciklusfelbontásból is látszik az, amit általánosan Lagrange-tételként emlegettem (pontosan nem tudom, miért Lagrange-tétel, hiszen csoportokról az ő korában még nem beszéltek).
Jó estét mindenkinek, 2 feladathoz kérném a segítségeteket:
1. Határozzuk meg az összes olyan a,b,c egész számot, amelyekre teljesül: a2+b2-8c=6
2. Ha n egy tízes számrendszerben 5jegyű pozitív egész szám, m pedig n középső számjegyének elhagyásával kapott 4jegyű szám, akkor mely n értékre lesz n/m egész szám
A 13 relatív prím az S7 rendjéhez (ami 7!), ebből következik az állítás.
Általában ha G egy véges csoport és n relatív prím a |G|-hez, akkor tetszőleges x,y eleme G esetén ha xn=yn, akkor x=y.
Ennek belátásához vegyük észre, hogy x|G| = y|G| az egységelem Lagrange tétele miatt, továbbá van olyan k és m egész, hogy kn-m|G|=1, hiszen n és |G| relatív prím egymáshoz. Ezért xn=yn miatt
Állítás: S 7 ben ha alfa 13 = béta 13 akkor alfa = béta.
Bizonyítás = ?
(Csak annyit tudok, hogy minden permutáció ciklikus permutációkból áll, és ez itt lehet, 7, 6, 5, 5-2, 4, 4-3, 4-2, 3, 3-3, 3-2, 3-2-2, és sok kettes. Ezeket egyesével végiggondolva, talán kijön, hogy alfa=béta. Pl. ha mindkettő "sok kettes" permutációból akkor nyilvánvaló. Valakinek segíteni akartam, de ahogy ránéztem rögtön passzoltam. )
...ami bonyolultabb, mint az eredeti diff.egyenlet. De nem is cél, hogy megtaláljuk az összes integráló szorzót, mert elegendő egyet találni, ami egzakttá teszi az eredeti diff.egyenletet.
Ne aggódj. Amíg fejlődni akarsz, megvan rá a lehetőséged: próbálkozni és törekedni kell. Egyébként nagyon sok komoly matematikai probléma megoldásához egy viszonylag egyszerű ötletre volt szükség, amit valahogy senki nem vett észre korábban. Persze a dolog része, hogy általában komoly tudás és kitartás kellett az ötlet kidolgozásához, de általában nem a tudás és a kitartás szokott hiányozni (a kutató matematikusokból), hanem az a bizonyos ötlet.
A 3-at négyféleképpen lehet két egész szám szorzatára bontani, ennek megfelelően legfeljebb 4 megoldás van. Csak végig kell venni az összes lehetőséget.
