Kiegészítés a 8009-8010-es számú válaszaimhoz: Ha azt kérded mennyi a relatív gyakorisága egy r hosszú győzelmi blokknak (azaz egy hosszú sorozat esetén a győzelmi blokkok száma hogyan aránylik a partik számához), akkor a válasz sokkal egyszerűbb: nagy valószínűséggel közel p-r, amint az következik a nagy számok törvényéből.
A hasznot arra értettem, hogy pl. tanuljuk a százalék számítást az általánosban, és milyen jól használom a boltban, amikor egy ruhát leáraznak x %-kal.
Értelek, és elnézést ha bántó vagy igazságtalan voltam. Lényeg az, hogy oka van annak, hogy a százalékszámítást az általánosban tanítják a határértékszámítást pedig az egyetemen. Az utóbbit jellemzően a tudományos kutatásban használják, nem a mindennapi életben. Pl. a fizikus differenciálegyenletekkel (is) próbálja megérteni a világot, és nehéz az egyenletnek értelmet adni olyan fogalmak nélkül, mint a határérték.
Gergo73: irultam-pirultam a válaszodra, de engem félreértettél. A tanulást már befejeztem, most épp besegítek a matekozásba, röviden ennyi. Néhány feladat típus nem volt világos, rákerestem egyik könyvből, másikból, de ezzel a párral nem boldogultam, amire korábban is válaszoltatok.
A hasznot arra értettem, hogy pl. tanuljuk a százalék számítást az általánosban, és milyen jól használom a boltban, amikor egy ruhát leáraznak x %-kal.
Amit Te kérdezel, azok nem valószínűségek, hanem várható értékek. Azt kérdezed, hogy ha p egy parti megnyerésének az esélye, akkor átlagosan hány parti kell r darab egymás utáni győzelemhez (ahol r=4,5,6 stb.). Ez nem könnyű kérdés, de szerencsére egyszer kiszámoltam, lásd a 2884-es üzenetet ebben a topikban.
Az általános képlet (p-r-1)/(1-p), tehát a Te adataiddal (p=0.18) ezt kapjuk:
4 egymásutáni győzelemhez átlagosan 1160.486 parti kell
5 egymásutáni győzelemhez átlagosan 6452.701 parti kell
6 egymásutáni győzelemhez átlagosan 35853.895 parti kell
Tegyük fel, hogy 50 ezer 6fős egyasztalos pókerverseny után mennyi az esélye annak, hogy egyhuzamban sorban lehessen megnyerni 4db-ot, 5-öt, vagy 6-ot?
Ezt ki lehet számolni arra építve, hogy minden partit ugyanazzal a 18% valószínűséggel nyersz meg (a többi helyezés valószínűsége ebben a feladatban irreleváns). A számolás nem egyszerű (még közelítőleg sem), de félek tőle, hogy az eredménye nem is elégítene ki. Valami ilyesmi jönne ki (most hasraütésszerű számokat írok): 50ezer partinál 99.999% eséllyel lesz 4 győzelem zsinórban, 5ezer partinál 99.85% eséllyel, 500 partinál 96.5% eséllyel, 50 partinál 84.5% eséllyel, 20 partinál 71% eséllyel stb. Neked melyik szám a szimpatikus és miért?
Értem semmi nem garantálja egy pontos eredmény megállapítását, de esetleg valami valószínűség számitással sem lehet megközelitő értéket kihozni? Tegyük fel, hogy 50 ezer 6fős egyasztalos pókerverseny után mennyi az esélye annak, hogy egyhuzamban sorban lehessen megnyerni 4db-ot, 5-öt, vagy 6-ot? Valamint az első 2 helyezéssel 6db-ot?
Kicsit eléggé érthetetlenül fogalmaztam, de remélem ki lehet számolni.
Kiszámolni olyasmit lehet, hogy:
(a) ha most leülök és játszom 100 partit, akkor mekkora valószínűséggel nyerek 4-szer egymás után
(b) ha most leülök, akkor várhatóan hány partit kell lejátszanom ahhoz, hogy 4-szer egymás után nyerjek
Azt kiszámolni nem lehet, hogy
(c) hány partit kell lejátszanom, hogy 4-szer egymás után nyerjek
Ugyanis matematikailag semmi sem zárja ki, hogy pl. soha többet ne nyerjél. Persze minél tovább játszol, annál nagyobb valószínűséggel nyersz újra, illetve többször is egymás után, de hogy ez mikor következik be, az a szerencse dolga és nem a matematikáé. A valószínűségszámítás valószínűségeket, várható értékeket (tehát valószínűségekkel súlyozott átlagokat) stb. tud kiszámolni, nem pedig a jövőt.
A segítségeteket szeretném kérni egy matematikai feladatban, amihez én gyengus vagyok. A fealadat a következő:
Van egy póker vereny ahol egy asztalnál 6 fő méri össze tudását. Mind a 6 fő játékos ugyan annyi zsetonnal kezdi a játékot, és a cél az, hogy csak egy győztes legyen.
Tegyük fel, én több ezer ilyen egyasztalos 6fős versenyt lejátszottam már, és hosszútávon százalékosan mérve, így végeztem:
1,helyezett lettem átlagban: 18%-ban
2,helyezett lettem átlagban: 19%-ban
3,helyezett lettem átlagban: 21%-ban
4,helyezett lettem átlagban: 21%-ban
5,helyezett lettem átlagban: 14%-ban
6,helyezett lettem átlagban: 7%-ban
Kérdéseim ezek lennének:
1,Matematikailag mennyi ilyen 6fős egyasztalos versenyt kellene lejátszanom, hogy egyszer 4db-ot egymás után megnyerjek?
2,Matematikalilag mennyi ilyen 6fős egyasztalos versenyt kellene lejátszanom, hogy egyszer 5db-ot egymás után megnyerjek?
3,Matematikailag mennyi ilyen 6fős egyasztalos versenyt kellene lejátszanom, hogy egyszer 6db-ot egymás után sorban megnyerjek?
4,Matematikailag mennyi ilyen 6fős egyasztalos versenyt kellene lejátszanom ahhoz, hogy egyszer 6 db egymás utáni sorban, első vagy második helyezésem legyen. Szóval itt teljesen mindegy hogy első vagy második lettem csak 6 db egymás utáni 6fős egyasztalos versenyen az első két helyezést hozzam el.
Kicsit eléggé érthetetlenül fogalmaztam, de remélem ki lehet számolni. Kérlek segítsetek előre is köszönöm sziasztok!
1. A függvény folytonos minden pontban ahol a nevező nem nulla, hiszen folytonos függvények kompozíciója. Lusta vagyok epszilon-deltás bizonyítást adni, talán más megteszi.
2. Az x/y folytonos minden pontban, ahol y nemnulla, ezért egyenletesen folytonos minden kompakt (azaz korlátos és zárt) halmazon, amin y nem tűnik el. Ezért x/y egyenletesen folytonos [0,1]x[1,2]-n, vagyis annak minden részhalmazán, így a (0,1)x(1,2)-n is. Ellenben x/y nem egyenletesen folytonos az (1,2)x(0,1)-n. Ha ugyanis az lenne, akkor igaz lenne a következő: van olyan d>0, hogy ha (x,y) és (x',y') a (1,2)x(0,1)-ből valók és a távolságuk <d, akkor |x/y - x'/y'|<1. Speciálisan az x=x'=3/2 választással igaz lenne a következő: van olyan d>0, hogy ha 0<y<y'<1 és |y-y'|<d, akkor |1/y-1/y'|<2/3. Megmutatjuk, hogy már ez utóbbi sem igaz. Ehhez legyen d>0 tetszőleges, 0<y<1-d, és legyen y'=y+d/2. Ekkor |1/y-1/y'|=d/(2yy'). Ha most y->0+, akkor d/(2yy') a végtelenhez tart, vagyis elég kicsi y-ra nagyobb lesz 2/3-nál. Kész.
3. A függvénynek nincs határértéke a (0,0) pontban. Ugyanis ha a függvényt megszorítjuk az y3=cx görbére (ahol c egy konstans, ami különbözik az 1-től), akkor a kapott x/(x-cx) függvény konstans 1/(1-c). Jegyezzük meg, x->0 és y3=cx esetén y->0. Különböző c-kre az 1/(1-c) más és más értéket ad, ezért a határérték nem létezik. Valójában ily módon látszik, hogy a (0,0) tetszőleges környezetében sűrűk a függvény értékei a számegyenesen.
Nem mondta, de a tippem az, hogy nem középiskolás. A legtöbb ember nem a középiskolában találkozik a határértékszámítással, hanem főiskolán vagy egyetemen. Akárhogy is, határértékszámítást szerintem ne azért tanuljon valaki, mert pallérozza az elmét. Nincs kifogásom az utóbbi ellen, de a határértékszámítás már elég specializált ahhoz, hogy valami konkrétabb cél motiválja (pl. hogy értse a differenciál- és integrálszámítást, ami fontos a mérnököknek, orvosoknak, természettudósoknak, matematikusoknak, különféle tanároknak stb.).
A megadott függvény minden pontban folytonos, hiszen minden koordinátafüggvénye folytonos, mert polinom (nevezetesen 6x+y2 és x3+20y). Polinomok azért folytonosak, mert előállnak a kompozícióval, összeadással és szorzással, és az utóbbi műveletek pedig folytonosak, hiszen ha a (cn) és (dn) valós sorozatok a c és d valós számokhoz konvergálnak, akkor (cn+dn) és (cndn) a c+d és cd számokhoz konvergál.
Persze közvetlenül a definícióból is lehet ellenőrizni a folytonosságot. A (0,3)-beli folytonosság azt jelenti, hogy ha (x,y) és (0,3) távolsága kicsi, akkor (6x+y2,x3+20y) és (9,60) távolsága is kicsi. Legyen mondjuk (x,y) és (0,3) távolsága d, ekkor:
|x|, |y-3| <= d
tehát a háromszög-egyenlőtlenség többszöri felhasználásával
Ha tehát d<=1, akkor |(6x+y2)-9| <= 13d és |(x3+20y)-60| <= 21d, vagyis ilyenkor (6x+y2,x3+20y) és (9,60) távolsága legfeljebb 34d. Mivel 34d kicsi, ha d kicsi (egész pontosan 34d<epsilon, ha d<epsilon/34), ezért a (0,3)-beli folytonosságot beláttuk.
A (intervallumbeli és a pontbeli) folytonosságnak kétféle definiciója van: Heine vagy a Cauchy féle. Tehát vagy a Heine vagy a Cauchy féle tulajdonság pontbeli meglétének ellenőrzése csupán a feladat, koordinátafüggvényenként.
A kitűzés nem preciz: f: R^2-->R^2 miatt nem elég (0,3) pontra hivatkozni. Mihez tartozik ez a pont? Értékkészlethez vagy értelmezési tartományhoz?
(hmm... a legjobb válasz az, hogy pallérozza az agyat... de tényleg, az oskolában rengeteg tantárgy van, amit puszta tanulással abszolválni lehet, a matek legalább a gondolkodás és problémamegoldás képességét fejleszti)
függvény folytonos-e a (0,2) pontban? (epszilon-deltás biz. kéne, ha igen)
fvnek létezik-e és mi a határértéke a (0,0) pontban?