Keresés

Részletes keresés
Így működik

Bővebben az új keresőről

gyrk 2003. márc. 13. Creative Commons License 7462
köszönöm szépen. egy angol nyelvű könyv mottója volt a műből vett idézet, ezért nem tudtam, hogy mi a magyar megfelelője. meg persze magát a művet sem ismertem. eddig. kösz mégeccer.
Előzmény: Törölt nick (7461)
Törölt nick 2003. márc. 12. Creative Commons License 7461
A "Platón összes"-ben így írják:

Euthüphrón

Előzmény: gyrk (7460)
gyrk 2003. márc. 12. Creative Commons License 7460
sziasztok platónosok!
ha szabad zavarnom benneteket egy kérdéssel: magyarul mi a címe Platón "Eutyphro" című művének? kösz előre is.
spiroslyra 2003. márc. 12. Creative Commons License 7459
A zenematematika utjai (Zoltai)

"Ami viszont a hur felosztasat illeti, az is figyelemre melto korulmeny, hogy a kanonikusok e felosztast csak egy megadott hataron belul vegzik el, holott a tisztan matematikai elveken nyugvo kanonfelosztast a 12 egyenlo reszre tagolason tul elvileg a vegtelensegig folytathato lenne. Ebbol a szempontbol nagyon fontos tudomanytorteneti adat, hogy a tovabbi oszthatatlan reszecske (az atomosz) leukipposzi-demokritoszi feltetelezese mellett a gorog gondolkodas mar joval Arisztotelesz elott ismerte az un. vegtelen oszthatosag matematikai problemajat; Zenon hires aporiainak egyike a felezes korlatlan ismetlesenek matematikai lehetosegevel ervel a ket pont kozotti ut valosagos megtetelenek lehetetlensege, a mozgas logikai ellentmondasossaga mellett. A zenoni paradoxiat biralo Arisztotelesz sem a vegtelen oszthatosag elvet veti el, csupan arra mutat ra, hogy a vegtelen onmagaban veve nem 'aktualis", hanem csak "potencialitas", s a valosagos teret a megszakitottsag es folytonossag egyutt es egysegben jellemzi. Az Arisztotelesz altal korrigalt zenoni kerdes marmost a hangmagasag-viszonyitas elmelete szamara is megoldando problema. Aristeides Quindilianus ennek gyokeret ragadta meg, amikor a magassagilag tagolt hangrendszer anyagi szubsztratumat kontinuitas es diszkontinuias egysegenek fogta fel: "Ahogyan az anyag ezernyi ellentetes lehetoseget kinal arra, hogy osszefuggo, folyamatos vagy kulonvalasztott, kulonnemu legyen, epugy a zene is az anyag ellentetessegerol tesz bizonysagot ebben a vonatkozasban. Anyaga ugyanis, tehat a hangmozgas, egyfelol osszefuggo, masfelol megszakitott, intervallumszeruen szakaszos. Ahogyan tehat a vilagmindenseg gondviselo hatama az anyag formaira bontja fel a tulsagosan osszefuggot, es kimert viszonyban egyesiti a kulonvalasztottat, ugy a zene is egyfelol hasznalhatatlannak tartja es megveti a tulsagosan szorosan elhelyezkedo, egymasba folyo hangok sorat, masfelol - mivel nem merheto, es kivul esik a tapasztalaton - elutasitja a hangkozok tul nagy szorodasat, s jol kimert, mertekado hangkozokben rendezi el a dallamos eneket."18

18) Aristeides Quintilianus, Von der Musik. Rudolf Shafke, Berlin-Schoneberg, 1937. 328-329. old.

Előzmény: spiroslyra (7456)
Paleokrites 2003. márc. 12. Creative Commons License 7458
Kedves Alkmaión !

Talán nem D. Chrysostomos (aranyszáju) van szó? , kit Coccejusnak is neveztek, görög retor és filozofus, született Prusában, Bithiniában Kr. u. 50., tekintélyes családból, megh. a II. sz. kezdetén. Először a szónoklat művészetét, ugy mint akkor a szofisták művelték, gyakorolta, később a stoikus iskola buzgó követője lett. De ugy élt mint a cinikusok, oroszlánbőrt viselt s az idők romlottsága ellen keserüen kifakadt. Midőn egyik barátja Domitian császár ellen való összeesküvésben vett részt, D. elszökött Rómából s a gétákhoz menekült. Domitian halála után visszatért Rómába s nagy kegyben állott loccejus Nervánál, később pedig ennek utódjánál Trajannál. 80 beszédje maradt fenn, melyek izléséről, ismereteiről s filozofiai szelleméről tanuskodnak. Először megjelentek 1551. Velencében, később több izben, utoljára Dindorf adta ki Lipcsében 1857. V. ö. Martha Les moralistes sous l’empire romain (Páris 1864). Arnim J. Dionis Prusaensis quem vocant Chrysostomorum quae extantomnia (Lipcse 1893).
Pallas Lexikon-ból vettem:
http://www.mek.iif.hu/porta/szint/egyeb/lexikon/pallas/html/027/pc002726.html#5

Talán az unokája volt :

Dio Cassius

görög történetiró, szül. Nicaeaban Kr. u. 155-ben és mint D. Chrysostomos unokája gondos nevelésben részesült. 190. már a szenátusnak volt tagja, 221. először, 229. másodizben konzullá választották. Szigora miatt, melyet mint hadpa rancsnok gyakorolt a pretoriánusok fenyegetéseinek volt kitéve, ugy hogy a császár ajánlatára második konzulsága alatt Rómát elhagyta, nemsokára azonban teljesen visszavonult a közügyektől. Történelmi munkája: Rvmaich ostoria, melynek 22 esztendőt szentelt, 80 könyvben tartalmazza Róma történetét, K. u. 229-ig. Teljesen csak a 37-59 könyvek maradtak ránk. Róma korábbi nagy férfiait kellőleg nem méltatja, mig hatalmas kortársainak tulságosan is tömjénez. Műve különböző forrásokból van merítve s azért nagyon változó értékü; nem ment továbbá egyenetlenségektől, pártoskodásoktól; szereti a bőbeszédü szónoklatokat, szivesen beszél a csodajelekről. Mindamellett nagy fontosságu különösen a római alkotmány, joggyakorlat és hadügy szempontjából. Első kiadása Stephanus Robertustól való (Páris 1548), legjobb a Fabricius és Reimrusé (Hamburg 1751-1752. 2 kötet).

Feltétlen nézd meg ezt a lapot!:
http://www.mek.iif.hu/porta/szint/tarsad/tortenel/atfogo/studia3/html/szlavik.htm

Üdv: Paleo

Előzmény: Alkmaión (7457)
Alkmaión 2003. márc. 12. Creative Commons License 7457
Tisztelt Uraim!

Nem ismerik véletlenül Dio Krizosztomosz nevét? Kr.u. elsö század végén alkotott. Fömüve az Olbiában tartott harminchat elöadáson alapuló Borysthenitica.

Ha valami forrást tudnának róla, azt megköszönném!

Üdv!

spiroslyra 2003. márc. 11. Creative Commons License 7456
A zenematematika utjai (Zoltai)

"Sokban hasonlo kep tarul elenk, ha a Pythagorasz - iskola zeneemeleti felfedezeseinek sorat vizsgaljuk. Az bizonyos, hogy a zenemuveszet anyagi alapjanak, a hangrendszernek szerkezetelemzese lehetove tette az alapveto akusztikai felfedezest, a magassagilag tagolt hangok soraban ervenyeslo harmoniai osszefuggesek elmeleti megvilagitasat. Ami marmost e kiserletek kiindulopontjat es menetet illeti, az antik es a kozepkori zenefilozofiaban tobfele ertelmezesssel talalkozunk.
A kesei antik zenematematikara jellemzo magyarazatot a neoplatonikus Gaudentiosz jegyezte fel az i.sz. 2-3. szazadban. Harmoniatani konyve szerint Puthagorasz celja az volt, hogy kiserletileg feltarja a hangmagassag es a rezgo hur hossza kozotti osszefuggeseket. Ezert a monochord hurjat egy 12 egysegre osztott vonal, a 'kanon" folott feszitette ki, es megvizsgalta, milyen osszhangban van az egesz hur rezgesekor keletkezo hang magassaga ama hangokeval, amelyeket kulonbozo hosszusagu hurreszek megpenditese elt. Kiderult, hogy harom hangkoz
(alaphang es oktav: 12/6=2/1;
alaphang es kvint: 12/8=3/2;
alaphang es kvart=4/3)
"szimfon" jellegu, mivel egymast koveto hangjaik magassagilag "osszhangzanak" egymassal.13) A racionalisan latszolag megkozelithetetlen, az erzekileg tovatuno mogott ilyen modon feltarulnak a mennyisegi-proporcionalis viszonylatok. A hur hosszaval lehetove valt a hangmagassag egzakt merese.
Gaudentios szemleletes leirasa viszont egy ponton tovabbi magyarazatra szorul. Kerdeses ugyanis, hogy milyen kriteriumok alapjan dontheto el maga a szimfon jelleg. Miert talalta Puthagorasz csupan az oktav, a kvint es a kvart hangkozt osszhangzonak? Miert szamitott a terc a szext csupan szuksegbol elfogadhato, a szekund pedig eleve elfogadhatatlan "diafonianak", disszonancianak? A problemanak mindket lehetseges megoldasat ismerte az antikvitas. A szimfonok es a diafonok megkulonboztetesere vagy a hallasi eszleles, vagy a racionalis megfontolas illetekes. Innen az antik zeneelmelet ket fo iranyzatanak elkulonulese. A harmonikusok szerint a zenet elvezo ful, az ertelmes emlekezettol tamogatott, gyakorlott hallasi eszleles allapitja meg, hogy a rogziett magassagu hurok soraban melyek az osszehangzo hangkozok. A kanonikusok viszont a puthagoraszi alapfelfedezesre, a hangkozok aritmetizalhatosagara hivatkozva az egymashoz viszonyitott hangokban kifejezo proporciok matematikai termeszetet tartjak az egyetlen hiteles tanunak; eszerint szimfonok azok a hangkozok, amelyek a legegyszerubb huraranyokkal
(matematikailag : az n+1 proporcioval),
a logosz epimoriosszal kifejezhetok ( az oktav a 2:1, a kvint a 3;2, a kvart a 4:3 hurarannyal). Gaudentiosz szemmel lathatoan ehhez a kanonikus ertelmezeshez all kozelebb.
Amde a kanonikus koncepcio tovabbi vizsgalata soran ujabb nyitva hagyott kerdesekbe utkozunk. Hogyan jutott a monochordon kiserletezo Puthagorasz arra a gondolatra, hogy hangszere kanonjat eppen tizenket reszre ossza fel? Szabo Arpad a gorog proporciotan torteneti problemaival fogalalkozva joggal hangsulyozza, hogy Gaudentiosz leirasa itt tortenetietlennek bizonyul: nem a kiserletekrol, kezdetukrol es tenyleges menetukrol tajekoztat, hanem csupan a kesz vegeredmenyt kozli.15 Pauzibilis Szabo Arpadnak az a hipotezise is, amely a tizenkettes felosztas genezisenek rekonstrukciojara iranyul. Eszerint kezdetben nem monochordon, hanem valamilyen tobbhuru hangszeren kiserleteztek. Eloszor minden bizonnyal csak azt eszleletek, hogy kulonbozo hosszusagu hurok kulonbozo magassagu hangokat adnak. Ez kiindulopont lehetett a szimfoniakent eszlelt hangokat megszolaltato hurok hosszanak osszemeresere. Miutan pedig ket vagy tobb huron felfedeztek az emlitett alap-proporciokat, attertek az egyetlen hur felosztasara - megpedig 12 egyenlo reszre, leven az elozetesen mar megismert proporcikban szereplo szamegysegek legkisebb kozos tobbszorose a 12.
Szabo Arpad hipotezoset hangszertorteneti, illetoleg filozofiai es esztetikatorteneti adataink tovabb valoszinusitik.[ Ezeket az adatokat ossze kell majd gyujtreni! Spir. megj.] Mindenekelott arra az ujabban sok oldalrol bizonyitott torteneti tenyre kell utalnunk, hogy a zenematematika nevezetes demonstracios hangszeret, a monochordot Puthagorasz koraban egyaltalan nem ismertek. Csak a hellenisztikus korban, van der Waerden megallapitasa szerint 16) i.sz. 300 utan jelenik meg, megpedig a zenei gyakorlatot alig erinto didaktikai szemleltetes szolgalataban. (Klaudiosz Ptolemaiosz az i.sz.2. szazadban arrol beszel, hogy a kanon segedeszkoz a pontatlan hallasi eszlelet racionalisan egzaktta tetelere.17) Ez maris megkerdojelezi a Gaudentios-fele kozles hitelesseget.

14)Szilagyi Sandor: Az ogorog muzsikus muveszetek elmelet. Harmonika. Bp. 1900.
15)Szabo Arpad: Logos und Analogia. Fachausdrucke der Fruhgreichiscen Proportionenlehre (kezirat, 1961), Der Ursprung des "Euklidischen Verfahrens" und die Harmonienlehre der Pythagoreer. Math.Annalen 150, 1963. 203-217. old. 1969. 131-242. old., es Anfange der greichischen Mathematik, Bp. 1969. 131-242. old. es A gorog matematika kibontakozasa, Bp., 1978. 54-62. old.
16) B.L. van der Waerden: Die Harmonielehre der Pthagoer, Hermes 78, 1943. 163-199. old.
17)Lukas Richter: Zur Wissenshaftslehre von der Musik bei Platon und Aristoteles. Berlin, 1961. 86.old.

Előzmény: spiroslyra (7455)
spiroslyra 2003. márc. 7. Creative Commons License 7455
A zenematematika utjai (Zoltai)

Egy kis kiterot teszunk Zoltai Denes konyvenek (A zeneesztetika tortenete, Kave Kiado, 2000.)zenematematika fejezetet atlapozva.
"E kerdeskor vizsgalatanak antik klasszikusa ketsegkivul Puthagorasz: az o legendas alakjahoz kapcsolodo zeneelmeleti iskola dolgozta ki a zenei akusztikanak es az antik ertelemben vett harmoniatannak mindmaig ervenyes alapveteset. De itt sem csupan gorog jelenseggel allunk szemben. A zene matematikai alapjainak kutatasa az okori keleten csaknem valamennyi kulturnepnel megfigyelheto, Kinatol Indian es Babilonian at Egyiptomig. Az antik hagyomany Puthagorasznal is utal erre, s egesz legendat koltott a krotoni bolcs allitolagos keleti utazasairol. Barmit mondjon is a modern flologia es tortenettudomany e keleti kapcsolatokrol, a puthagoreus alapkoncepcio lenyeges elemei az okori Kelet kozos kulturkincset alkotjak.
Mi ennek az elgondolasnak a lenyege? Aristeides Quintilianus (i.sz. 3-4.sz.) szerint a legregibb muzsikusok 'a dolgok szetfoszlo es semmikeppen sem tartos lenyeget" es az erzeki megismeres bizonytalan voltat akartak tulhaladni, s ezert kerestek a kozmosz analogiajara felfogott zene valtozatlan meghatarozojat.* Ezt az oselvet a szamban, a szamviszonyokban fedeztek fel: "minden harmonia es szam". Az alaptorekves felreerthetetlen. A zenemagia alapveto elkepzeleset, az irracionalisnak tuno hangminoseget merheto, tehat racionalisan kontrollalhato mennyisegi viszonylatokra igyekeztek visszavezetni. Az a mod azonban, ahogyan ezt tettek, maig sem egyertelmuen tisztazott. A puthagorasz-irodalom sokaig hajlott arra, hogy e racionalizalas mogott egy szammisztikara es asztralis fantazmagoriara epulo, rafinaltan bonyolult, spekulativ endszert lasson.
Ami a kiindulopontul szolgalo filozofiai alapproblemat illeti, abban nyoma sincs semmifele misztikanak. Az antikvitasban 'soktudasaert' magasztalt es gancsolt Puthagorasz - cskugy, mint a miletoszi ion termeszetfilozofusok vagy epheszoszi kortarsuk, Herakleitos - az archet kutata: az oselvet, amely torvenyszeru kozmossza szervezi az alaktalan kaoszt. E kozmikus rend nala is altalanosan ervenyes, a termeszet es az ember vilagaban egyarant hatekony valosagtorvenyen nyugszik, es mikent az ion hulozoistak anaygi arkheja, egyseg a sokfelesegben, pontosabban: az ellentetes elemek es tendenciak harmoniaja, ami mar az epheszoszi Herakleitosznal, a 'zokogonal" egyszerre jelent kozmikus lettorvenyt es zenei rendezoelvet,** s ezt a sajatosan kettos jelenteset a kesobbi szohasznalatban is megtartja. A kozmikus alaptorvenyszeruseg kutatasa vezeti el Puthagoraszt a szamfogalom termeszetenek vizsgalatahoz.
George Thomson meggyozo cafolatat adta annak a flozofiatorteneti felreertesnek, hogy a szamarkhe felvetele eleve misztikus spekulaciova teszi a puthagoreus koncepciokat.12 Tobb mint valoszinu, hogy a mennyiseg kaegoriaja a krotoni mester es legkozvetlenebb tanitvanyai szamara a dolgok objektiv lenyeget jelentette, s csak a kesobbi puthagoreusoknal valt valosagfeletti ideava. Thomson szerint eredetileg archefunkcioja is kereskedoretegek ideologiai szuksegletevel allhatott osszefuggesben: Arisztotelesz muzsikus tanitvanya, Arisztoxenosz allitolag hangsulyozta, hogy Puthagorasz szorgalmazta elsokent a gorogok kozott az egyseges suly-es urmertek bevezeteset, sot, mas forrasok szerint a penzegysegek standardizalasa is az o nevehez fuzodott. Kesobb viszont a mennyisegi principiumoknak ez az eredete es objektiv tartalma erdektelenne valik. A poliszdemokraciaval fokozatosan szembekerulo, arisztokrata poziciokat vedelmezo oligarcharetegek Thomson szerint mar ujfajta idologiai szuksegletek kielegitesere hasznaltak fel a puthagoraszi eszmekort. Platon kesei dialogusaiban a szam a valosagot megelozo es meghatarozo tisztan eszmei letezes ostipusa lesz, s az objektiv erzeki vilag lete csak annyiban kap realitast, amennyiben e tiszta es tokeletes letezesbol participal. Ilyen modon a puthagoreizmus tortenete a szamfogalom, a mennyisegkategoria fokozatos dematerializaciojanak es atertelmezesenek tortenete."

*Aristeides Quintilianus: Von der Musik. Eingleitet, bersetzt und erlautert von Rudolf Schafke. Berlin-Schoneberg 1937. 308. old.
**'Az ellentetesre csiszolt illik ossze, (es) az ellenkezojebol lesz a legszebb illeszkedes". Kerenyi Karoly korenek forditasa. In: Herakleitos muzsai, vagy a termeszetrol. Bp. 1983.35.old.
***George Thomson: Aiszkhulosz es Athen. Ford.: V.Meller Agnes. Bp.,1958.,203.old.

SR-LIB adatbázis példány adatok

A kiválasztott cím:
Hérakleitos múzsái vagy A természetről : Pontos irányítás az élet célja felé

Dokumentum főcím Hérakleitos múzsái vagy A természetről : Pontos irányítás az élet célja felé (5654)

Dokumentum típus: Könyv Raktári jelzet: 100 H 60
Helikon stúdió Sorozatcím
Kiadó: Helikon Kiadó : Budapest ISBN:
Kiadási év: 1983 Terjedelem: 78 p. ; 24 cm
Vonalkód: 0000002244709 Leltári szám: 250337
Elérhetőség: [Szabadpolc]

Keresési idő: 00:00:00 Azonosító :00040611
NanSRI OPAC v1.0929
http://infoserver.kkmk.hu/katalogus/M1H/00000004/00003710.htm

Előzmény: spiroslyra (7452)
Törölt nick 2003. márc. 7. Creative Commons License 7454
Kedves Lajka,

Én nem tudok róla.

A Magyar Elektronikus Könyvtárban van két műve magyarul: Platón - MEK. Ennyiről tudok.

Üdv:
Kazi

Előzmény: LAJKA (7450)
spiroslyra 2003. márc. 6. Creative Commons License 7453
Petyus Kabocaja a Zenevaraban ogorog vendeghazat nyitott. :)

http://www.terrasoft.hu/kultura/kaboca/ogorog/

spiroslyra 2003. márc. 6. Creative Commons License 7452
Zenematematika (Szabo)

Kihasználva az alkalmat, hogy mivel betemetett benneteket a hó, es nem tudtok tiltakozni, becsempeszek egy Szabó Arpád vonalat. A görög matematikarol szóló, görögre fordított könyvének második részét idézem ide, azaz csak másolnam, mert ahol értem, nehezen fordítom, ahol fordítom, nehezen értem. Ezért, mint egy papagály, idecsőrözöm, kopogom, nagy közöket, hézagokat félrefordításokat hagyva, abban a reményben, hogy okosságtok kitölti a tudatlanságom hagyta űrt. A tét nagy, megtanítható a papagály számolni, a szamár énekelni? Ha igen, nagy a dicsóségessége az Urnak, ha nem, szégyen gyálázat, szamárkóró es papagálykór.
B'fejezet
Eukleidés előtti tanítasok az analogiáról. 1. Bevezetés az analógia tan előtörténete, amelyet Eukleidés adott át nekűnk - mint ahogy az tisztázódott egy korábbi kutatás során - lehetőve tette hogy bemutassuk főbb vonalaiban.
Eukleidés az analógia tan bemutattását az elemek V. könyvében kezdi. A könyv alaptétele a következő: Elemek.V, meghatarozás 5:
"legete oti megeti evriskonde en ti ayti shesi (en to avto logo), to proton pros to devteron opos ke to triton pros to tetarton, otan tihonta isakis pollaplasia tu protu ke tu tritu (kat opjodipote pollaplasiasmon), ean liftun me katallilon siran, ine i megalitera i isa i mikrotera sighronos apo ta isakis pollaplasia tu devteru ke tu tetartu."
Mondják, ha nagyságok olyan viszonyban vannak, hogy az első a másodikhoz mint a harmadik a negyedikhez, mikor isakis? egyenlő? többszöröse az első a harmadiknak, ha legalkalmasabb sorba téve vesszük, nagyobb vagy egyenlő vagy kisebb egyidőben az egyenlő sokszorosának a másodiknak és a harmadiknak. Kinek van egy szép magyar szövege, amit az en összevisszám helyébe tehetnénk?

[Es mindezek melle, rajtkapom magam, hogy elvesztettem ekezet erzekenysegemet...-:[

Előzmény: spiroslyra (3332)
bagifruzsi 2003. márc. 6. Creative Commons License 7451
Kazi!
Csatlakozom a többiekhez és kívánok én is nagyon boldog névnapot!
Fruzsi
LAJKA 2003. márc. 6. Creative Commons License 7450
Szeretném megkérdezni a tisztelt mindenkit, hogy elérhető az Állam szövege magyarul valahol a neten?
spiroslyra 2003. márc. 5. Creative Commons License 7449
Zenematematika (Szabo)

Joggal kérdezhetné valaki "maga tán megbolondult, maga tán megbolondult hogy mindent kétszer mond?" miért ez az oda-vissza járás magas és mély közt, azt sem tudvan már, honnan indultunk el és hová tartunk...!? Platon zenéjét keresve egy bizonyos, hogy nem találjuk meg. A világlélekbe rejtett harmoniát, mi a jó, mi a rossz zene, elejtett megjegyzéseit a zenéről, ha nem is segít teljesen megérteni ez a kutakodás, felvértez minket, óv a szükségtelen félreértésektől. Magyaran,raismerunk a delibabos ertelmezesekre, arra mit nem mond Platon! Ha kizárjuk az évzázadok alatt, nemzedékről- nemzedékre örökített félreértéseket, egy égig erő hegyet takarítunk el, megtisztítva a terepet, tisztábban látunk. Bátorítom magunkat, mert herkulesi munka vár ránk. Atismételve az eddig mondottakat erőt és bátorságot gyűjtűnk a továbblépésre a zenei szisztemák világába. Szükseg is van rá, mert itt még maga Arisztoxenos is megtorpan. Szépen kéri hallgatóit,hogy fogadják következőben meghatározásait megértéssel, ne kérjek tőle számon a túlbuzgó, tipikus pontosságot, mert ezen fogalmak nehezen megfoghatók, megelőlegezett bizalmat kér, míg elvezet minket oda, ahonnan beláthatjuk, miról van szó. Képtelenség minden mozgás ellentmondásmentes leírasa, mindenre kiterjedó analizise, nem kevésbé a hangok, a hangköz,a szisztéma fogalmak megvilágítása. Akit még nem riasztott el mindez, azt a Platón anekdótával vígasztaljuk. Tömör elemzésében Arisztoxenosz nem adomázik, ezért a törtenet külön jelentőséget kap. Az a jó, mondja, ha egy előképet, ideát alkotunk mindarról miről szó lesz, tudván az utat, könnyebben haladunk, ismervén minden alkalommal, mely pontra vetodtunk. Ez megvéd a témától eltéritő szirénhangoktól. Ez volt Arisztotelesz gyakorlata is, aki gyakran felemlegette Platon példáját. Platon előadásait oly polgárok is látogatták, akik nem voltak tisztában azzal, miről fog beszélni. igy a tanítása a jórol, a hasznosról (peri agatu),mindenki a maga hétkoznapi nyelvére fordította, azt remélte, hogy a mindennapi jórol, a gazdagsagról, az egészségről, az erőről hall, vagy valami különös ajándékáról a szerencsének. Képzeljűk csak el, hogy meglepődtek, mikor mindezen helyett matematikaról, számokról, geometriaról, az egyről mint a valósággos jóról beszélt. Hát nem paradoxon! Némelyek szidalmazták, mások rossz hírét keltették. Mi okbol mindez? Mert nem tudták mi a tanítás targya. Hát úgy jártak , mint az erisztikusok, a megarai filozófus iskola követői, tátva maradt a szájuk a "jótol". Ha valaki fölvilagosította volna őket, kiábrándulva bár, de odébb állhattak volna, helyet hagyván azoknak, akiknek örömére való lett volna a téma. Arisztotelész kihirdette mindig jóelőre, mit hallanak majd hallgatói.(Kétszer szólt napjában, egyszer délelott, egyszer délután.[Délben zenélt :-)] mikor Nagy Sándor ezen megütközvén tiltakozott: miért tanúl a köznép dolgokról, ami a kévés kivalónak szól?- a filozófus, halkan, felelt. Aki nem értette meg a reggelt, nem érti a délutánt.E kis kiterő után, a harmónia tudományáról annyit, hogy nagy tudomány,de nem olyan nagy, hogy megérintve egy szamár fülét, azt bölccsé változtassa, vagy a gonosz lelket rávegye a jóra. Még ha "rossz" a zene, sem tud igazán ártani a jótét lelkeknek, első hallásra.[Az ózenenetudomány mint fekete angyallal kűzd ezen kifejezessél,hogy "rossz", arra a szerintem kisse vérszegény, de tán indokolt megállapításra jutva, hogy minden zene jó, ami közosséget szolgál. Lassan már azt mondani, hogy egy zene rossz, fajgyűlölő gyanújába kever. A kovetkező kérdés: mi a jó közösség? spir. megj.] A zene önmagában sem nem erkölcsös sem nem erkölcstelen, sem nem hasznos, folytatja Arisztoxénosz. Mint ahogy nincs igaza azoknak sem, akik haszontalannak, értéktelennek tartják. Akinek esze van , érti, bár nem konnyű lecke, de megfogható, nem parttalan. A lényeg, minden fajta dallam és a hang természetes törvényeinek a megértése, amint hangközökröl föl le vándorol. Mert mi belátjuk, hogy a hangot, mozgása során, egy vonalat követve, nem a szerencse vezeti. Ez út tőrvényeire keresűnk bizonyítékokat, melyek öszhangban állnak a jelenséggel, nem úgy mint az előttűnk járók. Elvetvén az érzeki tapasztalást, logikus, megszámolt rezgésekre vadásznak, hogy igazolják a mélységet és a magasságot, miközben közelébe se jutnak.

Előzmény: spiroslyra (7443)
Törölt nick 2003. márc. 4. Creative Commons License 7448
Igazán nagyon szépen köszönöm mindenkinek. Nagyon jólesik. :-)))
nereusz 2003. márc. 4. Creative Commons License 7447
Kedves Kazi!
Isten éltessen sokáig!
A füled érjen bokáig!
Lawrence01 2003. márc. 4. Creative Commons License 7446
Sok boldog Kazi napot kívánok!
Lawrence
spiroslyra 2003. márc. 4. Creative Commons License 7445
Minden jot, Kazi Mester!
Fabien 2003. márc. 4. Creative Commons License 7444
Boldog névnapot kedves Kazi!
spiroslyra 2003. márc. 3. Creative Commons License 7443
Zenematematika (Szabo)

"...új jelentés=átertelmezés=tudatos félremagyarazas. Ezt teszi Szabó szerint Arisztoxenosz a pythagoraszi hangköz fogalommal. a hangköz két hang közti egység, kiterjedés nélkűl. feszűltségkülömbség. Tér, ami befogad magasabb tónusokat a mélynél, mélyebbeket a magasnál. Nyilvanvaló mindebből , Pythagorasz az ellenfél, akit le kell fegyverezni, hatástalanná téve számait a zenében. Arisztoxenosz törekvését Carl von Jan így írja körül."... nem vizsgálja, hogy keletkezik a hang, hogy szám vagy sebesség vagy ritmus. A pártatlan füllel, és csak azzal vizsgáljuk a tónusokat a hangok birodalmában. csakis a fűl képes felismerni bizonysággal, mely hangok harmonikusak... a tanitás módszere a kónnyen felfogható összahangzásokra, a quartra es kvintre épül, anélkűl, hogy vizsgálná milyen számszerű viszonyok találhatók az alapokban..."
Pythagorasz ellenesség itatja át Arisztoxenosz szavait. " Törekvésűnk, hogy biznyítékokat adjunk, melyek tökeletes összhangban állnak a jelenséggel, ellentétben az elöttűnk élt teoretikusokkal. Egyesek közülük, a témába vezetnek abszolut idegen álláspontokat, elvetve az érzékszervi észlelést, mint pontatlant. Eszkábálnak az eszűkben okokat, mondván, hogy létezik valamely számszerű összefüggés, analógia és sebesség, mely az alapja a tónusok magasságának és mélységének. Mindez teljességgel idegen a kérdéstől, és pontosan ellentéte vizsgált jelenségeknek! Mások meg, fóladva teljesen a vizsgálkodást, bizonygatják, közzeteszik véleményűket, mint jósdai próféciát."

Előzmény: spiroslyra (7442)
spiroslyra 2003. febr. 28. Creative Commons License 7442
Zemematematika (Szabo)

Arisztoxenosz "lemezteleniti", elhallgatja,leértékeli amit a matematikusok a hangközről és a zenéről mondanak,- így Szabó professzor Úr könyve. szerencsére a vádlott fűzete itt van, ezért szóról szóra ellenőrizni tudjuk , miként esett es mely mértékben sikerűlt a lemeztelenítés. Természetes az analogia a mély és a magas fogalmak, valamint a rés közt, ahonnan a hangforras ered. A hangrés árulkodik a mély és magas másságáról . Hát nem kűlönös, hogy mindeddig senki sem vette a fárdtságot , hogy tisztázza mindkét esetet? Ezért aztán nem csoda, ha gyötrelmes a phtongus meghatározás . Annak , aki ezt megkisérelni vágyik, óvakodnia kell, ne essék Laszosz es az Epigon követők hibájába, akik úgy vélték, hogy a hangnak szélessége van, es okoskodtak pontoskodva. Szűkséges, hogy megértsűk e fogalmak mélyebb értelmét ,összefűggését, kűlönbségét, mint ellazulás , megfeszülés, mélység, magasság , a szint, az állomás ahol megállapodik a hang (taszisz). Mert erről mélyen hallgatnak az elöttűnk járók, nem mondanak semmit, vagy ha mégis az tudatlan zavarosság. Nyivanvaló, hogy a hang egy dal idején emelkedik es sűllyed . Ezen átmenetek alíg fölfoghatók, a hangnak úgy kell haladni, hogy ne csípjék fülön mint határsértőt, mikor átlép egy hangköz határt. A konkrét jegyekkel jelölt hangoknak, melyek összekötik a hangközöket, biztosaknak es megkűlönböztethetőknek kell lenniűk.Nyilvánvaló, szüksegünk van a feszűltségre, az ellazulásra, a mélyre , a magasra és az állomásra, hová megérkezik a hang.[ Egy örökmozgóba léptetve a hangot, példázhatjuk folyamatos mozgását alacsonyabb helyről magasabbra es megfordítva.] A süllyedés, az ellazulás egy folyamatos mozgás egy magasabb helyről alacsonyabbra. A magas tehát következmény, mely az emelkedéssel, a feszűltséggel jár.A mély az ellazulás következménye, a sűllyedésé . Most bezzeg csodálkoznak azok, akik oktalanságukban két dologról beszéltek mindezek kapcsán, amit mi négyfele vágunk. Mert a buta tobbseg, az emelkedést a magassal, a sűllyedést a méllyel egy kalap alá veszi. Nem tudjuk őket követve jobb jelzővel illetni, mint hogy zavarosfejűek . Emlékezzünk rá, értsük meg mit teszünk , mikor hangszereinket hangoljuk, egyenként ellazítva, megfeszítve a húrokat . Még a zenében járatlanok is tudják, hogy húzzuk, vezetjűk a húrt magasabb, mélyebb tónusra. Ezen foglalatosságunk alatt az időben járva, mélyet és magast nem lelűnk. Csak akkor a jelenés, ha célhoz értunk, egy hangállomásra. Mert lehetetlen egy
húrnak egyidőben a mozgásba es a nyugalomba szeretni.
Amint látjuk, az emelkedéssel a húr mozgásba tétetik, míg a magas nyugottan vár a mozdulatlanságban. Ugyanez érvényes fordítva is. Beláthatjuk, hogy az emelkedés valami más, mint a mély, mint ok es következmény. A hangnak egy meghatározott állapotban, egy meghatározott helyen rögzített, stabil létet 'taszisz-nak nevezzük . Nos, ne nyugtalanitson minket azok véleménye, akik leértékelve a hangokat mozgássá, azt állítják, hogy az lényegében is mozgas, mert ellentmondás bűnébe esnek. Hogy mozog a mozdulatlan? Ezen az alapon mindent mindenre felcsrelhetunk. Az érzékeink azt mondják, hogy a hangunk áll, ugyanakkor igazolva, hogy sem nem emelkedik, sem nem süllyed. Az igazság az, hogy hangunk a dalolászás alatt úgy tűnik mozog, egy szünetet tart, aztán megáll egy hangszinten. Ha most a mozgás fogalmát használjuk, azt mondván, hogy hangunk mozog, akkor ez a mozgás különböző sebességű, ha hinni lehet az ellenlábasainknak . De ha a mozgás újra megnyugszik, ahogy mi véljűk, megszűnik a sebesség. Nyilvanvaló, hogy amit mi a hang mozgásának nevezűnk, ők a mozgás szóval illetik. Egy hang állomása sem nem emelkedés, sem nem sűllyedés, hanem a hang nyugalma. Meg kell értenünk, hogy egy biztos, nem csúszkaló hang valahol bizton horgonyt vet. Mély és magas esetében, kűlön-kűlön. Magas és mély sosem ölelkezhet, találkozhat, kizárják egymást. Gyors mérleget készítve, a ftongosz egy esés, megérkezése a hangnak egy állomásra, szintre (taszisz). Két hang közet, a távolságot két hangállomas között diasztémának nevezzűk. Ez hangszint különbség és egy olyan hely, toposz, mely magas és mély hangokat fogad, magasabbakat a mélyebbeknél, mélyebbeket a magasabbaknál.
[Ezzel arisztoxenosz úgy orrba vágta a sötet lelkű matematikusokat, hogy maig sem tértek magukhoz.

Előzmény: spiroslyra (7438)
Musa 2003. febr. 28. Creative Commons License 7441
A görög-magyar utazási iroda: Colossus Travel
Budapest, Andrássy út 43., Tel.: 267-9192, www.colossus.hu. A buszjárat szerda délelőttönként indul. M.
Előzmény: spiroslyra (7440)
spiroslyra 2003. febr. 27. Creative Commons License 7440
Koszonom!

Kuldom a telefont, de meg pontositanom kell a hivoszamot, mert mindenfele valtozasokat vezettek be. Muzsval mukodesbe hoztunk egy vonalat, a hetente erkezo Volan turista busz hozza-viszi a kuldemenyeket a nemzetkozi busz palyaudvarrol, az Arpad-hidhoz es az uj szinhazhoz kozel. Erkezes utan, ha valaki lekesi, az Irok Konyvesboltja melletti utazasi irodaban lehet atvenni a csomagot. Ha szuksegetek van valamire, ezuton eljuttatom hozzatok.

Előzmény: Lawrence01 (7439)
Lawrence01 2003. febr. 27. Creative Commons License 7439
Kedves Szpirosz,
Felvettem videokazettára a Szabó Árpádról szóló 50 perces dokumentum műsort. Praktikusan ugyanezen a kazettán van a Zorba a görög című film is.
Ha igényled, elküldöm postán a kazettát. Az lenne szerencsés, ha mailben elküldenél egy telefonszámot és hogy mikor hívhatlak. A részleteket és minden egyebet telefonon megbeszélnénk.
Lawrence
Előzmény: spiroslyra (7435)
spiroslyra 2003. febr. 27. Creative Commons License 7438
Zenematematika (Szabo)

Néven nevezni a dolgokat már az ókorban sem volt könnyű . Szabó Árpád
példat hoz arra a nem ritka jelenségre, mikor maguk az ókori szerzők is rosszul értelmeznek. Lásd így a hangköz fogalmát Kleonidesz, két hang köztének , a mély és a magas kűlönbségeként határozza meg. Igy ír Gaudentius is, aki a zenei hangközt egy olyan úthoz hasonlítja, amely a mély hangtól a magashoz vezet es vissza. Természetesen, folytatja Szabó, ezek a "bölcs" értelmezések azert szűlettek, mert a hangköz, mint az a hétköznapi nyelv kínálja, leírható mint egy egyenes vonal, távolság két pont között. Ha így olvassa valaki, elhiheti, hogy itt csupán egy képletes kifejezesről van szó. Két hangja egy szimfónianak, két pont a térben, egy grafikus megjelenítéssel, kijelöl egy közt. Hogy ez valóban egy meghatározott egyenes szakasz a térben, ezt probálta eltűntetni Arisztoxenosz.

Előzmény: spiroslyra (2965)
Fabien 2003. febr. 26. Creative Commons License 7437
Kismértékben megkésve, pár száz hozzászólással ezelőtt felvetődött témára, miszerint állami-isteni stb. jogról volt szó Paleokrites egyik kérdésében, találtam egy szép idézetet:

Az ősi, primitív állapotokat tükröző homerosi eposzokban még egybefonódik az isteni és az emberi jog, hisz az emberek világa mindenütt át van itatva az istenekkel. Ha az emberek döntenek is: az isteni jelenvalóságot mindenütt ott érezzük. Az isteni törvény elsődlegessége a másik görög epikusnál, Hesiodosnál, a Theogoniaban jelenik meg először, amikor Zeus az ősi barbár kozmoszból a rend és az okosság világát teremti meg. Az első rétorok, a szofisták voltak azok, akiknél szembekerül a jogrend a természettől igazságossal. Ők a jogot elnevezésében is megkettőzik: nomoszra és phüziszzre, vagyis különbséget tesznek jogi és természeti törvények között.
Ez a kettőség csodálatosan végigvonul az Elektra három klasszikus feldolgozásában. Aiszkhülosz darabjában Orestes teljesíti Apollón parancsát: „Jöttem atyám teérted bosszút állni. / Apollón küldött, szent parancsa hagyta meg, / hogy Orestes által haljanak meg gyilkosaid.” A darabból azonban végig a kiérződik, hogy a parancs ellenkezik az emberi természetben levő magasabb erkölcsi törvényekkel, így a teológus költő odaáll az Areopagos isteni és emberi ítélőszéke elé. A kormánypárti Szophoklész már nem veti össze a parancsot egy másik, magasabbrendű jogrenddel, hanem a parancs (a törvény) végrehajtására – Elektra útján – bíztatja Orestest, hogy „kétszer is szúrjon”, majd a győzelem felett diadalt ül. Az érzékeny lelkületű költőnél, Euripidésznél viszont a gyilkosok teljesen összetörnek a tett súlya alatt. Aiszkhülosz tehát a természeti, erkölcsi világrendet igazolja az adott paranccsal, a pozitív joggal szemben; Szophoklész a pozitív jogot a természeti, erkölcsi törvényekkel szemben, míg Euripidész elítéli az adott parancsot, a pozitív jogot az erkölcsi, természetes világrend nevében.
A kor nagy drámaírói triásza közül Szophoklész Antigonéjét szokták a természetjog klasszikus irodalmi feldolgozásaként meghivatkozni. Antigoné Kreónnal szemben a szeretet mindenek felett álló parancsára hivatkozik: „Nem együtt gyűlölni, együtt szeretni születtem.” – és a magasabb törvénynek engedelmeskedve szegi meg Kreón parancsát. Az isteni törvények emberi jog felett állásáról ezt mondja: „Parancsaidban nem hiszem, hogy oly erő / lehet, mely engem istenek nem változó / íratlan törvényét áthágni kényszerít.” Ellenvetésül Kreón az emberi törvények védelmében így érvel: „Akit királlyá tett a nép, követni kell, / minden szavát, legyen jogos vagy jogtalan. / Mert fejetlenségnél nincs nagyobb veszély.” Íme a természetjog egész gondolatköre egyetlen drámai dialógusba sűrítve.
A természetjogi eszme a nagy klasszikusok gondolkodásában is megjelenik. Platón szerint a törvények a dolgok isteni rendjét kell, hogy tükrözzék. Arisztotelész pedig az emberi szenvedélyek fölötti törvény felsőbbrendűségéről beszél, és határozottan leszögezi, hogy „az igazságtalan törvények jogtalanok”. A sztoikusok újabb köveket helyeznek el a természetjogi építmény falaira. A görög alapokból kiinduló gondolat „belopakodik” a rómaiak gondolkodásába. Cicero a De republica-ban a jus civile és a jus naturale, a naturalis ratio szembenállásáról elmélkedik: „Nincsenek különböző jogok Rómában, Athénben, most és a jövőben, hanem egy, örök és változhatatlan jogrend létezik minden népnek, minden korban.” A római sztoikusok teljes egyértelműséggel helyezkednek arra az álláspontra, hogy a „moralitás nem legalitás” (Moór Gyula), elválasztva ezzel egymástól a természeti törvényt és a tételes jogot.

Lábady Tamás: A magyar magánjog (polgári jog) általános része, 3. fejezet, DC, BP-Pécs, 1998.
(Az eredetiben rengeteg bold, italic stb. kiemelés van, amire nem vállalkoztam.)

Üdv. F.

Előzmény: Fabien (7051)
spiroslyra 2003. febr. 26. Creative Commons License 7436
Egy régi levél felelevenítése, ékezetekkel ellátva.
Részlet Szabó Árpád előszavábol, A görög matematika kezdetei című könyvből:
"Kulösképpen örulök, mert görög kiadása a könyvemnek, melynek megvalósítása Filimosz Vasziliu akadémikus es Georgu Sterio professzor baráti segítségével, valamint A Görög Műszakiak Szövetsége nagylelkű támogatásával történt, alkalmat ad egy s más kifejtésére.
Először is szeretnék beszélni a személyes viszonyomról a könyv témájával kapcsolatban, bevallom tehát őszintén, hogy ez a könyv, minden tudományosságra es tárgyszerűségre törekvése mellett sem íródott lélektelen hűvösséggel. A tudománytörténész szükségképpen humanista is kell hogy legyen, mivel ez a tudomány egy nagyon is emberit képvisel: a kifejezése a legmagasabb emberi törekvéseknek. Ezért csak egy minden ízében emberközpontú lelkesedés tudja csak szintézisbe hozni a valódi tudománytörténetet. Orömmel vallom be, hogy mint emberbarát, "reszrehajló" vagyok a görögökkel szemben, es végtelenűl csodálom őket. Pontosan ez az oka annak, miért jelentős nekem ennyire hellén kiadása néhány kutatási temám állomásának, történetének."
Előzmény: spiroslyra (2950)
spiroslyra 2003. febr. 26. Creative Commons License 7435
Rogziteni tudna esetleg valaki videokazettara?
Előzmény: Kopancsi (7434)
Kopancsi 2003. febr. 26. Creative Commons License 7434
A televízióban m2 csatornáján ma este a Századfordító magyarok sorozatában Szabó Árpádról lesz szó!
spiroslyra 2003. febr. 21. Creative Commons License 7433
MIDEI AGEOMETRITOS EISITO" XXV. (Szabo)

Mai levelunkkel vegere ertunk Szabo Arpad matematikatorteneti munkaja, pontosabban abbol is a zenei fejezet kijegyzetelesenek. Az elozmeny a gorog szovegkiadas kozelito, tartalom forditasi kiserlete volt, ezt most, hogy sikerult a magyar szoveget is megtalalni, finomitjuk.

"Minthogy viszont az elobb mind a harom arany nagyobb es kisebb szamanak egy-egy kavicsokkal kirakott teglalap hosszabb es rovidebb oldalat feleltettuk meg, kepezzuk most az oldalak osszeszorzasaval a megfelelo teglalapokat. A fenti aranyparokbol sorban a kovetkezo "teglalap-szamokat" kapjuk.

A)3x2=6* es 12x8=96*
B)3x2=6* es 9x6=54*
C)9X6=54*es 12x8=96*

A csillagos osszesen hat szambol tehat ketto-ketto (6,96; es 54, 96) "hasonlo teglalap szam", minthogy tenyezoik ugyanazt az aranyt adjak. Az ilyen "hasonlo teglalap-szamokrol" allapitja meg Euklidesz egik tetele (Elemek VIII.18):

"Ket hasonlo teglalap-szam kozot mindig van egy kozeparanyos szam." - Csakugyan, pl. a 6 es a 96 kozott kozeparanyos a 24; a 6 es 54 kozott pedig kozeparanyos a 18, mert
6:24=24:96
6:18=18:54.

Rogton megallapithatjuk azt is - a fenti harom aranypar (az a, b, es c pontok) alapjan -, hogyan kapjuk meg ket-ket hasonlo teglalap-szam kozott a kozeparanyost. -Osszeszorozzuk az egyik teglalap rovidebb oldalat (Pl 2) a masik,hozza hasonlo teglalapnak a hosszabb oldalaval (12). Termeszetesen mindegy, hogy melyik teglalapnak vesszuk a rovidebb es melyiknek a hosszabb oldalat. A fontos csak az, hogy a ket hasonlo teglalap-szamnak 'nem megfelelo' oldalait szorozzuk ossze; az ilyen szorzat adja a ket teglalap szam kozeparanyosat.
Egy tovabbi erdekes megfigyeles lehet: ha osszeszorozunk ket hasonlo teglalap-szamot - azaz: ha ket ilyen szamnak a teglalapjat kepezzuk -, pl.6x96=576, ugyanazt a szamot kapjuk, mintha a kozeparanyost szorozzuk meg onmagaval (ha ezt emeljuk negyzetre); 24x24=576.Mas szoval: ket hasonlo teglalap szam szorzata egyenlo valamely negyzet-szammal. Ez persze egyszeruen annak a tetelnek a kovetkezmenye, hogy az aranyparban a kulso tagok szorzata (a ket hasonlo telalap szam szorzata) egyenlo a belso tagok szorzataval, illetoleg a kozeparanyos negyzetevel. (Eppen ezt mondja ki Euklidesznel az Elemek VII.19. tetele.)
Az elmondottak azt akarjak illusztralni, hogyan vezetett a zenei aranyelmelet "hasonlosag" problemaja az aritmetika, majd ezen keresztul a geometria rokon problemajahoz. Kiegeszithetjuk ezt meg azzal a megjegyzessel : ugy latszik, a "hasonlosag" problemaja a geometriaban akkor emelkedett az itt vazoltnal magasabb (altalanosabb) szinvonalra,amikor mar nem egyszeruen a teglalapok, hanem a haromszogek hasonlosagat kezdtek vizsgalni.

Az aritmetikai aranyelmelet. Osszefoglalva, megallapithatjuk: valoszinu, hogy a gorog aritmetika aranyelmelet - amely csak egesz szamokkal fogalkozoik - a fontebb vazlatosan ismertetett zenei aranyelmeletbol bontakozott ki. Az aritmetikai aranyokat Euklidesz Elemeiben a VII., VIII. es a IX. konyv targyalja. Sok tetelet ennek az elmeletnek ma is szinte pontosan ugy tanuljuk az iskolaban, mint ahogy Euklidesz mefogalmazta, es ahogy mar joval korabban a pythagoreusok tanitottak ezeket. Peldakent alljon itt egy tetel a VII. konyvbol (19):

"Ha negy szam aranypart alkot - tehat ha a:b=c:d -, akkor az elso es a negyedik szorzata (ad) egyenlo a masodik es a harmadik szorzataval (bc); es megforditva: ha negy szam kozul az elso es a negyedik szorzata egyenlo a masodik es a harmadik szorzataval, akkor a negy szam aranypart alkot".

De ugyanigy ismertek, sot be is bizonyitottak a pythagoreusok - reszben ugyan a mienknel kevesbe egyszeru megfogalmazasban - az ilyen trivialis teteleket, mint:

"Ha adva van valamely aranypar (a:b=c:d), amelyben a es c elotagok,b es d pedig utotagok, akkor az elotagok osszege (a+c) az utotagok osszegehez (b+d) ugyanazt az aranyt adja, mint az eredeti." (Tehat (a+c):b+d)=a:b). Lasd ehhez Elemek VII.5.) Vagy:

"Az aranyparban a belso tagok egymas kozott (es ugyanigy a kulso tagok is egymas kozott) folcserelhetok." (Tehat, ha a:b=c:d, akkor a:c=b:d is. Vo.VII.13.)
Ugyanigy megtalaljuk itt ezt a trivialis tetelt is (VII.17):

"Ha a, b es m barmilyen egesz szamok, akkor ebbol kovetkezik, hogy a:b=ma:mb."

Tulsagosan messzire vezetne, ha reszletesen meg akarnank beszelni ebben az osszefuggesben azt az egesz aranyelmeletet, amelyet az euklideszi Elemek aritmetikai reszei* oriztek meg a szamunkra, es amely nagy valoszinuseg szerint pythagoreus eredetu. Ezuttal inkabb azt jegyezzuk meg e fejezet lezarasakent: a torteneti kutatasok eddig behatobban csak az Elemek VII. es VIII. konyvenek a regi eredetevel fogalalkozott. Foltehetoen sok regi tetel van aIX. konyvben is; de ezt eddig meg csak a IX. konyv 21-36. theoremainrol, az un. "paros-paratlan" tetelsorozatrol mutattak ki."

Elozmeny "suritve" (katapyknosis):
Hippasos korongjai. 2:1. 4:3. 3:2. Hermionei Lassos vizzel toltott edenyei. Gaudentius leirasa a kanonrol. Az oktav aranyszama 12:6. A kvart konszonancia: 12:9. A kvint aranyszama 12:8.Monochord. 12:6=2:1. 4:3=12:9. 3:2=12:8. 3:2=12:8. Ha mind a 12 egyseg utan elobb ugyananak a hurnak 9 egysege szolalt meg, egy kvartot hallottak (12:9). Ha 9 egyseg utan 6 egyseget penditettek meg, ez mar kvint volt (9:6). A ketto egymas utan es egyutt egy oktavot adott (12:6). Ha a 12 utan 8 egyseget szolaltattak meg, akkor elobb hallottak egy kvintet (12:8). A 8 egyseg utan viszont a 6 egyseg megpenditese kvartot adott (8:6). A 12 es a 9 ugyanugy kvart mint a 8 es a 6 (12:9=8:6).
Ugyanigy kvint mind a 12 es 8, mind pedig a 9 es a 6 (12:8=9:6). Az elso esetben a ket-ket szampar egyforman ugyanazt az aranyt adja, mint a 4:3, a masodikban pedig, mint a 3:2. A ket kvart ugyanugy hasonlo egymashoz, mint a ket kvint.
Hogyan adja meg a kvart es a kvint (vagy megforditva: a kvint es a kvart) aranyszamainak osszekapcsolasa az oktav aranyszamat? A muvelet a kanonon : 12 es a 9 szamok kozotti intervallumhoz (az elso elnemulo hurszakaszhoz) hozzakapcsoltak a 9 es a 6 kozotti intervallumot ( a masodik elnemulo hurszakaszt). Megforditva: a 12 es a 8 kozotti szakaszhoz hozafuztek a 8 es a 6 kozotti szakaszt. A ket osszekapcsolas ugyanazt a nagyobb intervallumot, a 12 es a 6 kozotti szakaszt adta. Az aritmetikaban ez az osszekapcsolas szorzas.
12/9+9/6 es 12/8+8/6. Az osszeadas eredmenye nem az oktav aranyszama:12/6. Ha szorzunk: 12/9-et szorozzuk a 9/6-dal, 12/8-ot a 8/6-dal
az eredmeny=12/6. A "kanonon" az "osszeadas" szorzas 4/3x3/2=12/6=2/1. Ket intervallum, a kvart es a kvint kozul a kvint a nagyobb
Osszemerjuk oket a kanonon: a kvint intervalluma a merovesszon a 12 es a 8 szamok koze eso hosszabb szakasz (a kvint ket hangja kozott neman marado hurdarab). a kvart intervallumat a 12 es a 9 koze eso rovidebb szakasz szemlelteti. A ketto "kulonbsege": a 9 es a 8 szamjegyek koze eso szakasz. "Kivonjuk" a hosszabb hurdarabbol a rovidebbet. Ha a kvint es a kvart aranyszamat akarjuk megallapitani, mennyivel nagyobb az elobbi, mint az utobbi,osztanunk kell a kisebbel
12/8:12/9 (vagy akar 3/2:4:3=9/8). Az osztas eredmenyet tehat csakugyan eppen annak a ket szamnak egymashoz valo viszonya mutatja, amely ket szam a kanonon a "kivonas" maradekat jelolte.A kanon emlekeztet a logarlecre. A kozep keresese: hogyan lehet kisebb egysegekre bontani az oktav intervallumat? - a kanonon a 12 es a 6 koze eso szakasz
- gondolatban a 9-es szamnal "kettevagni" - a 9 a szamtani (aritmetikai) kozep a 12 es a 6 kozott.
12-9=9-6. 12+6 torve 2-vel=9 .A ket resz intervallum mint a hurdarab-hosszusag a 12 es a 9, illetoleg a 9 es a 6 kozott egyenlo ugyan, de mint zenei intervallum az elso (12:9), a kvart a kisebb, a masodik (9:6) a kvint pedig a nagyobb.
A nagyobb szamok (12 es 9) jelolik a kisebb intervallumot, a kisebb szamok (a 9 es a 6) a nagyobb zenei intervallumnak, a kvintnek a jeloloi... Harmonikus kozep: 12 es a 6 kozott a 8
a 12 es a 8 koze esik a hosszabb, a 8 es a 6 koze pedig a rovidebb hurdarab. A hosszabb hurdarab (s egyszersmind a nagyobb szamok, (12 es 8) a nagyobb zenei intervallum, a kvintet
a rovidebb hurdarab, es kisebb szamok, 8 es 6 pedig a kisebb zenei intervallum, a kvart
"harmonikus kozep" 12 es 8 kulonbsege ( 12-8) ugyanannyiszor van meg a 12-ben (12:4=3), mint a 8 es a 6 kulonbsege (8-6) a 6-ban (6:2=3).
Oszthato-e az oktav ket olyan reszre,hogy a reszek egymas kozott egyenlok ? - kerdeztek a pythagoreusok. Melyik az a "szam" a 12 es 6 (vagy a 2 es az 1) kozott, amely kielegithetne az aranypart: (12:x=x:6). (2:x=x:1). Geometriai (mertani) kozep. 2:x=x:1. x a negyzeten=2x1.x=negyzetgyok alatt 2. 12:x=x=6
x a negyzeten= 12x6. x=negyzetgyok alatt 72=negyzetgyok alatt 36x2=6x negyzetgyok alatt 2.
A geometriai kozep megtalalasanak vagy megszerkesztesenek a muvelete ugyanaz volt, mint a mi szamunkra a gyokvonas. Folbontottak az adott szamot (a) ket masik szam szorzatara - ha ez maskent nem volt lehetseges, akkor ebben a formaban: a=1xa. Majd kerestek vagy megszerkesztettek a ket tenyezo kozott a geometriai kozepet. Ezen muveletek a kanonon:
aranyok osszeadas-szorzasa, kivonas-osztasa,
az arany ket tagja kozott a kozep keresese - a "kanon metszese" .
Eiklidesz : Sectio Canonis. Felismeres:a hang rezgo mozgas. A "rezgesszam" fogalma nelkul sikerult megtalalniuk a konszonanciak aranyszamait mint hurhosszusagok aranyait. A monochordon vagy a kanon fole kifeszitett huron a hangmagassag valtozasa feltunhetett mint egyetlen tenyezo (a hur hosszusaga) megvaltozasanak a kovetkezmenye. Igazolhatnank-e a konszonanciak hagyomanyos aranyszamait azzal, hogy a hangforras vastagsagat eppen ezeknek az aranyoknak megfeleloen valtoztatjak? Valasz: a metapontumi Hippaszosz bronzkorong kiserletei. Hiaba terheltek meg ket egyforma hosszu (es lehetoleg egyforma vastagsagu hurt 12 es 6 egysegnyi sulyokkal, oktavot megsem adott. A hang magassaga osszefugg a rezgesek szaporasagaval; ha tobb a rezges, magasabb a hang. Ha pedig ez csakugyan igy van, akkor talan megis helyesebb volna az oktav aranyaban (12:6) a nagyobb szamot, a 12-t a magasabb, a kisebbet, a 6-ot pedig a melyebb hangnak feleltetni meg. Az okori szerzok kozul nemelyek az egyik, nemelyek pedig a masik felfogast tettek magukeva. A zenei konszonanciak kifejezhetok egymashoz aranyitott szamokkal , ez elokeszitette az aranyelmelet terminologiajat. A terminus technicusok intervallum ("diasztema"), a szamok mint hatarpontok ("horoi"), a "kozep" fogalma. A "geometriai kozep". Arany=logosz. Kezdetben a "logosz" a pythagorius zeneelmeletben kb. diasztema . Vegyuk peldaul az oktav aranyszamat, 12:6. A pythagoraszi kor ezt altalaban diasztemanak nevezte, igy: a) maga a konszonancia, ket hangnak az osszecsengese, "szymphonia" b) a konszonancia hangkoze, az intervallum c) a ket osszekapcsolt szam mint arany.- A "logosz" magat az aranyt jeletette. Viszont a szo (mint az arany altalanos neve) mar nemcsak a konszonanciak szamaira volt alkalmazhato ( mint a "diasztema"szo), hanem barmilyen ket szamra (pl.25:23), kesobb barmilyen ket, egymassal aranyba allitott mennyisegre. Logoszl ez is: a:b, amelyben az a es a b mar nem okvetlenul kellett hogy szamok legyenek. A "logosz" szonak csak a pythagoraszi kor adta ezt az ertelmet, es innen vette at ezt a fogalmat a matematikai szaknyelv. A gorog koznyelvben a "logosz" nem jelentett olyasmit, mint a mi "arany" szavunk a matematikan kivul. A gorog matematikaban a "logosz" ket szamnak (vagy kesobb ket mennyisegnek) a viszonya , es nem tortszam. A'logosz" a gorog filozofiai szaknyelvben jelentett "ertelmet", "gondolkozast" is, a matematikai logosz-t (az aranyt) latinra a ratio szoval forditottak. "Irraionalis szam", nem valami "ertelemmel folfoghatatant" jelent, arra utal, hogy a kerdeses mennyiseg - tehat pl. negyzetgyok alatt ketto vagy harom - nem fejezheto ki mint ket szamnak az aranya, a "racioja". Bizonytalanna lett az egyertelmu valasz, amelyet erre a kerdesre korabban adni lehetett- pusztan a monochordon vegzett kiserletek alapjan, azert is, mert kesobb rajottek: a hang magassaga osszefugg valamikepp a rezgesek szaporasagaval; ha tobb a rezges, magasabb a hang. Ha pedig ez csakugyan igy van, akkor talan megis helyesebb volna az oktav aranyaban (12:6) a nagyobb szamot, a 12-t a magasabb, a kisebbet, a 6-ot pedig a melyebb hangnak feleltetni meg. (Ugy latszik, az okori szerzok kozul nemelyek az egyik, nemelyek pedig a masik felfogast tettek magukeva.)
A felismeresek amelyekrol ma utolag megallapithatjuk, hogy helyes iranyba mutattak, kezdetben elhomalyositottak a korabbi felfedezesek jelentoseget. Cicero "logosz" ="ratio", ket szamnak (vagy ket mennyisegnek) egymashoz valo viszonya. Analogia
( a latin proportio) - mar nem egyszeruen arany", hanem "aranypar" - mindig legalabb negy tagja volt. A latin
proportio terminus technicus kovetkezetlenebb mint a gorog "analogia" hasznalata.Az analogia ti. sohasem ugyanaz mint a "logosz". "Analogia" pl. a:b=c:d, de csak "logosz" a:b. Nagyjabol igy hasznaltak a veluk parhuzamos proportio es ratio kifejezseket is. Az (n+1):n latin neve az okorban superparticularis proportio . Kovetkezetesen ti. superparticularis ratio kellett volna legyen. Arisztotelesz : vannak, akik azt allitjak, hogy sokszor harom szam is alkothat aranypart (analogiat), pl. a 8, a 4 es a 2:8:4=4:2. Ilyen esetekben azonban a kozepso tag - a kozeparanyos - ketszer szerepel; ezert igazaban itt is negy es nem csak harom tagrol van szo. "Folytonos aranyossag", valamely geometriai sor harom egymast koveto tagja pl.: 2,4, 8; 3,12,48; vagy 5,15,45 stb.
Az "analogia" :"logoszkent valo egyenloseg". A pythagoreusok teremtettek meg," ket szamnak egymashoz valo aranya " ertelmeben. Kezdetben az "analogia" megjelolest "logoszkent valo egyenloseg"-re alkalmaztak, mint a kanonon 12:8 es 9:6. Osszekapcsolhato ez a ket arany az egyenloseg jelevel, mert mind a ketto egy-egy kvint (3:2). A ket kvint "hasonlo" egymashoz. A sikmertanban ket idomnak a hasonlosaga , hogy a megfelelo oldalak aranya azonos. Az "azonos arany", az analogia szinte egyertelmu lett a hasonlosaggal. Igy lett ez a kifejezes altalanossa a nyelvtanon kersztul minden eruropai nyelvben.
A konszonanciak kifejezese ket-ket szam, valamely arany segitsegevel
a zenei harmoniak vizsgalata
Sectio Canonis,
Klaudiosz Ptolemaiosz (I.sz.2.sz.)Harmonica
zenei aranyelmelet.
altalanositottak az aritmetikara,a geometriara.
konszonanciakkal kapcsolatban kialakitott arany ("diasztema", illetoleg "logos") fogalmat altalanositottak elobb barmilyen ket szamra,
a geometriai idomokra es alkotoreszeikre. Az aranyelmeletnek sok problemaja kezdeben zeneelmeleti problema volt
a kvint kifejezheto :
12:8,
9:6,
3:2.
a kvart harom kulonbozo formaja:
12:9,
8:6
4:3 .
mind a kvint mind a kvart eseteben, hogy az arany egyszeru formajaban a legnagyobb szam indossze 1-gyel mulja folul a kisebbet:
3:2,
4:3.
"epimorion diasztema'-nak(superparticularis proportio)
mai szimbolumokkal:
(n+1):n.
2:1, (octav)elso szam 1-gyel nagyobb
ket tagjuk koze sohasem iktathato be olyan szam, amely geometriai kozeparanyos volna kozottuk. Nincs tehat olyan x szam, amely kielegitene az (n+1):x=x:n aranypart.
n es (n+1) kozott nincs egesz szam -
a pythagoreusok bebizonyitottak ezt a superpartikularis proportio tobbszoroseire is. olyan arany, amely az (n=1):n formara redukalhato, a ket tagja kozott soha nincs kozeparanyos szam,
az oktav intevalluma sem bonthato fol ket egymas kozott egyenlo reszintervalumra.
Ket negyzetszam kozott mindig van egy kozeparanyos, (Eukl.VIII.12),
ket kobszam kozott ket kozeparanyos talalhato. zeneelmeleti tetel tovabbepites
9 (=3x3)es 4 (=2x2)
6 (=3x2) (kozeparanyos)
9:6=6:4. De ugyanigy a masik ket negyzetszam, a 121(=11 a negyzeten)
25 (=5 a negyzeten)
55 (=11x5)(kozeparanyos)
121:55=55:25
27 (=3 a harmadikon)
8 (=2 a harmadikon)
18 es 12 (kozeparany)
27:18=18:12=12:8 stb.
(Eukl.VIII.)
(n+1):n tipusu aranyba nem iktathato kozeparanyos szam
ket szam kozt csak akkor van egy kozeparanyos szam, ha a ket szam "hasonlo teglalap-szam",
ha ket szam folbonthato 2-2 olyan tenyezore, amely tenyezok ket, egymas kozott hasonlo teglalapnak az oldalait
3 es az 5 kozt nincs szamszeru kozeparanyos - nem 'hasonlo teglalap-szam'
nem bonthato fel 2-2 olyan tenyezore, hogy a tenyezok ket egymas kozott hasonlo teglalapnak az oldalai legyenek
megoldas:
Legyen 3 es 5 ugyanannak a teglalapnak ket oldala.
e ket szam kozott kozeparanyos szam, eppen annak a negyzetnek az oldalat adna meg, amelynek terulete egyenlo az adott teglalap teruletevel.
3:x=x:5
x a negyzeten= 3x5
Ilyen x szam ugyan nincs, de a keresett negyzetet - melynek terulete egyenlo az adott teglalapeval - megis megszerkeszthetjuk. A kapott negyzet oldala a keresett "kozeparanyos" - akkor is, ha hosszusagat sem egesz, sem tortszammal nem tudjuk megadni.
A pythagoreusok a szamokat regebben kavicsokkal (psephoi) raktak ki
-paros es paratlan-
a "szam" fogala kozvetenul a szamlalasbol adodott: az "egyhez" tovabbi "egyeket" adtak Eukleideszi definicio:"a szam egyekbol osszetett sokasag".
A konszonanciak aranyainal a kanonon, a szamoknak (12,6,9,8 stb.) egy-egy hurdarab felelt meg.
A 12 egyenlo reszre osztas nem volt szuksegszeru.
az oktav illusztralhato volt a kifeszitett es ket egyeno reszre osztott monochordon is.
A kvinthez harmas osztas
a kvarthoz pedig negy egyenlo resz hur
3:2 illetoeg 4:3
Ugyanaz a hur egyforman kepviselhette a 2,3,4 vagy akar 12 kulonbozo egysegbol allo hosszusagot.
Euklidesz az aritmetikaban ( az Elemek VI., VIII. es IX. konyveben) barmilyen szamot egy-egy tetszoleges vonalszkasszal jelkepez.
Addig, amig kavicsokkal raktak ki a szamokat csak valamlyen meghatarozott, konkret paros vagy paratlan szamot ( tehat a 6-ot vagy a 7-et) de nem altalaban meghatarozatlanul "valamely szamot" lehetett bemutatni.
A vonalszakasz viszont tetszolegesen jelkepezhetet bamilyen szamot.
Kifejezheto-e ugyanakkor egy-egy szammal barmely ket vonalszakasz egyszerre?"
Valtakozva kivonas.
kiserletek, amelyekkel megallapitottak a monochordon a konszonanciak aranyszamait,
muvelet (algoritmus) euklideszi modszer legnagyobb kozos oszto megtalalasa
(anthyphaireszisz)
nagyobb szambol vonja ki a kisebbet,
majd a kisebbol a maradekot,
mig vegul a maradek 0,
az utolso kivonando a legnagyobb kozos oszto.
I. 28-20=8
II.20-8.(2)=4
III.8-4.(2)=0
Mutatja ez a pelda azt is, hogy a II. lepesben az I.lepes maradekat (a 8-at) ketszer vonjuk ki a III. lepesben is a II. lepes maradekat (a 4-et) a 8-bol.
A "valtakozva kivonas" muveletet Eukleidesznel a VII. Konyvben a 2. tetel alkalmazza e ket szam legnagyobb kozos osztojanak a megtalalasara.
1. tetel azt mondja ki: ha ezt a muveletet (az un. eukleidesi modszert) alkalmazzuk ket szamra, es nem talalunk kozos osztot - mindaddig, amig a maradek 1 lesz -, a ket vizsgalt szam relativ prim.
Az Elemekben a szamokat vonalszakaszok jelkepezik, mint a zeneelmeleti munkakban.
A Sectio Canonis-ban is mind a monochord, mind pedig az egyes hurszakaszok jelkepe egy-egy vonalszakasz.
Valoszinu, hogy a "valtakozva kivonas" muveletet -mielott ezt az aritmetika altalanositotta volna barmely ket szam kozos osztojanak a megtalalasara - eredetileg a monochordon gyakoroltak annak a megallapitasara, mi az aranya annak a ket hurszakasznak, amelynek segitsegevel sikerul letrehozni valamely konszonancia ket hangjat.

A 'valtakozva kivonas' muveletet eredetileg a monochordon gyakoroltak, ket hurszakasz aranyanak megallapitasara, melynek segitsegevel letrehozhato ket konszonancia hangja.
- a kvint konszonancia regi neve: hemiolion diasztema = "egy egesz es egy fel szakasz" (3:2). Mikor nem tudtak meg, hogy a kvinthez harom egyenlo reszre kell osztani a monochordot - elobb mind a harom egyseget, majd a monochord ketharmad reszet kell megszolaltatniuk (3:2), elobb megszolalt az egesz monochord, az AB szakasz; majd empirikus probalgatassal megallapitottak: ha ezutan elnemul az AC szakasz, es csak a hurnak BC darabja szolal meg, akkor ez az utobbi (BC) adja az egesz hur (AB) hangjahoz kapcsolodo kvintet."Egy egesz es egy fel" hosszunak nevezhettek az egesz monochordot (AB) akkor, ha az AC szakasz eppen a fele a BC-nek. Ha BC-t tekintjuk "egy egesz"-nek, akkor AC a "fel".
Ebben az esetben - mint a "valtakozva kivonasnal" is -elobb a kisebb szakaszt (BC) vontak ki a nagyobbol (AB), majd a maradekot (AC) a kisebbol (BC ketszer).
Az aritmetikaban a "valtakozva kivonasnal" a legnagyobb kozos oszto az a mennyiseg, amelyet maradektalanul ki lehet vonni az utolso kisebbitendobol. Az itt bemutatott peldan tehat AC-nek kellene az egysegnek lennie, mert ez van meg maradektalanul mind AB-ben, ind BC-ben; igy lenne a kvint aranyszama csakugyan 3:2, mert AC haromszor van meg AB-ben, es ketszer BC-ben. A regi nev azonban - "egy egesz es egy fel"(1 1/2=3:2) - arra mutat, hogy abban az idoben, amikor ezt a modszert, a"valtakozva kivonas" algoritmusat a monochordon valo kiserletezes soran kialakitottak, megprobaltak azt a szakaszt tekinteni egysegnek,amely a keresett konszonancia masodik hangjat adta. - Igy volt ez a kvartnak az eseteben is.
A kvartnak a regi neve ti. "epitriton diasztema", "egy (egesz) es egyharmad hosszusag" ( 1 1/3=4:3).
Itt is tehat egy idoben azt a hurdarabot tekintettek eysegnek, amely a konszonancia masodik hangjat adta.

Ket kulonbozo, de egymashoz hasonlo kvintet kaptak ugyanazon a monochordon, akar az egesz hur 12 egysege utan szolaltattak meg masodjara 8 egyseget, akar pedig 9 egysegnyi hurdarabbal adtak az elso hangot, es ehhez kapcsoltak masodiknak 6 egyseg hangjat.
A ket arany - 12:8 es 9:6 - ugyanaz volt, mint 3:2.
Ugynez a monochordon a kvarttal i: 12:9=8:6, azaz 4:3.
A megfigyeles pedig az aranyparok egyenlosegere hivhatta fol a figyelmet, es meg valami masra is.
A pythagoreusok a szamokat regebben kavicsokkal raktak ki, gyakran mint geometriai alakzatokat. Tegyuk fel marmost, hogy egy-egy, kavicsokkal kirakott teglalap ket-ket oldalat feleltettek meg annak a harom szamparnak, amely mind egyforman jelolhette pl. a kvintet. Ily modon kaphattak harom olyan teglalapot, amelynek hosszabb oldalait 3,12 es 9, rovidebb oldalait pedig 2,8 es 6 kavics alkotta.
Ezek a teglalapok eppen ugy hasonloak egymas kozott, mint azok a kvintek, amelyeket a megfelelo aranyparok jelkepeznek a monochordon.
A harom kozul a legnagyobb teglalap ket szomszedos oldala - a 12 es a 8 - eppen negyszer akkora, mint a legkisebb teglalap megfelelo oldalai.
A harmadik teglalap ket megfelelo oldala pedig eppen haromszorosa a legkisebb oldalainak.
Innen mar csak egy lepes az aritmetikaban a "hasonlo szamok", illetoleg pontosabban a "hasonlo sik-szamok" fogalma. Eukleidesznel az Elemek VII. konyveben a 22. definicio " hasonlo sik-es test-szamokrol" beszel.

A pythagoreusok barmely szamot -miutan ket tenyezo szorzatara bontottak fel - ugy kezelek, mint 'teglalap szamot".
A ket tenyezo a teglalap ket oldalanak felel meg. A gorog aritmetika a 'tenyezo'(=faktor) fogalmat ugyanazzal a szoval jelolte, mint a sikidom oldalat: pleura.
Ha ket teglalap volt adva, amelyek eseteben a hosszabb es rovidebb oldalak aranya - kulon-kulon-ugyanaz volt, akkor az ilyen ket teglalapot 'hasonlonak" tekintettek.
Ervenyes volt ugyanez ket 'teglalap-szamra' is; ket ilyen szam is "hasonlo" volt egymas kozott, ha ket-ket tenyezoje ugyanazt az aranyt adta.
Vegyuk szemugyre a kovetkezo harom aranypart:
a) 3:2=12:8
b) 3:2=9:8
c)9:6=12:8.
Az elso (a) azt mutatja, hogy a harom egyenlo reszre osztott huron a kvint ugyanannak a ket hurresznek (3 es 2) a hangjat kepviseli, amelyet a tizenket reszre osztott kanonon a negyszer akkora szamok (12 es 8) mutatnak.
A masodik aranypar (b)azt jelzi, hogy a harom reszre osztott monokhord kvintjehez hasonlo kvintet kapunk akkor is, ha a nem teljes hosszusagu hurt es az ennek megfelelo ketharmad reszt szolaltatjuk meg, hanem csak 9 es 6 egysegnyi darabokat mukodtetunk belole.
A harmadik aranyparbol (c) latjuk, hogy ugyanazon a skalan belul elhelyezheto egy magasabb (9:6) es egy melyebb kvint 12:8).


Előzmény: spiroslyra (7430)